Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Асимптотическая кинетика образования объектов с квантовыми свойствами. Монография.pdf
Общий кинетический подход для объектов микромира…
21
член, отвечающий за перенос, можно записать это уравнение
в приближенном виде:
φβ 3β 6β
Разделив переменные
чим два обыкновенных дифференциальных уравнения
21 612
β
2
32 4 5
2ξξ ξ ξ
φξ, τξτ
345
ξ
φ 0.
в уравнении (1.25), полу-
λ ,
(1.25)
2
откуда
2
λ
2
(1.26)
Для функции
exp βτ .
ξ
записываем дифференциальное уравнение вто-
рого порядка
225
ξ 6ξ 12 λξ 0.
Решение этого уравнения ищем в виде степенного ряда [46]
Характеристическое уравнение для показателя степени k имеет вид
ks
ξαξ.
s
0
(1.28)
s
k(k – 1) – 6k + 12 = 0.
(1.27)
Решая это квадратное уравнение, находим k1 = 3, k2 = 4. Положив
α 1 , находим при k
0
= 3
1
αλ20
2
и
s
2
λ
38
ξξ.
(1.29)
20
Из выражений (1.26), (1.29) находим асимптотический вид частного решения уравнения (1.25) для малых кластеров:
25 2
λξ λ
φξ,τξ1expβτ , const.
λ
Условие максимума функции имеет вид
3
BB
20 2
(1.30)
22
22
8λ 56λ
27 6
3ξξ0, 6ξξ0.
Глава 1
(1.31)
20 20
«Сшивка» условия максимума (1.31) с условием первого максиму-
0, ξ 1n
ма в выражении (1.24)
вольную постоянную
3 λ 0 λ ,210.
λ :
815
22
позволяет определить произ-
0
(1.32)
20 2
Зная λ , можно определить координату первого «нуля» функции
:
22
λλ
38 5
0 ξξ01 ξ
20 20
15
20
0 ξ 1,216728684.
2
λ
(1.33)
Из выражения (1.20) можно приблизительно записать следующее
условие «нулей» функции
22λ
5
β
с учетом малости
52
ξ const π , 0,1, 3,... .
k
kk
2
c и c :
(1.34)
«Сшивка» выражений (1.33) и (1.34) при k = 0 позволяет найти постоянную в выражении (1.34) и записать условие для координат
«нулей» функции
Наличие множества «нулей» функции
:
22λ 20
5 λ
52
ξπ, 1,3,5,....
k
β
kk
означает существование
(1.35)
неустойчивых кластеров с соответствующими выражению (1.35) размерами, при этом первый «неустойчивый» размер
Выражение (1.29) показывает, что при
ξ = 1,216728684.
ξ < 1 плотность рас-
пределения продуктов разрушения зародышей приблизительно
пропорциональна их массам. Это соответствует представлению
о том, что разрушение зародыша на сравнительно крупные фрагменты более вероятно (энергетически выгодно), чем полное разрушение на отдельные составляющие элементы.
Общий кинетический подход для объектов микромира…
23
Проведенная линеаризация кинетического уравнения Фоккера –
Планка (1.5) позволяет установить основные свойства функции плотности распределения кластеров по размерам. Полученные выражения
(1.10), (1.13) могут быть использованы для нахождения законов роста
среднего размера больших кластеров
aa со временем. Будем
0
рассматривать два предельных режима роста: 1) малый поток зародышей, когда каждый из них успевает занять свое энергетически выгодное место на поверхности кластера до того, как начнется взаимодействие с последующим зародышем; 2) режим большого потока зародышей, когда они действуют на кластер почти одновременно, что
эквивалентно столкновению кластеров. В пер
не зависит от размера кластера и закон роста может быть записан как
52 2 , ,
aatttamt (1.36)
25
25
01 100
вом сл
учае параметр ti
i
где t1 – единица времени в режиме малого потока зародышей. В случае большого потока зародышей параметр t
пробега возмущения в теле кластера туда-обратно:
c
– скорость распространения возмущения в веществе кластера (ско-
0
рость звука). Тогда закон роста может быть записан как
13 13
32 , .aatttaamc (1.37)
02 20000
примем равным времени
i
2
tac , где
i
0
Здесь t2 – единица времени в режиме большого потока зародышей
(столкновения кластеров).
Необходимо отметить, что законы роста среднего размера объек-
тов можно вывести непосредственно из соотношения неопределенностей (1.11), если подставить в него
решить дифференциальное уравнение
tt
, определить a , а затем
i
da dt a t a t
i
с нулевым начальным условием. При малом потоке зародышей из
(1.11) получаем следующую цепочку:
a
22
32 32
aa
t
00
i
mtmtdt
32 32
aa
00
32
ada dt
ada
i
12
32
a
0
2
mt
0
i
.
24
E
E
E
Глава 1
Решая последнее дифференциальное соотношение в квадратурах,
получим
15
3
25
at
a
8
mt
0
25
0
i
.
(1.38)
Это в точности совпадает с законом (1.36), если раскрыть в нем параметр t
. Аналогично при
1
at
13
3
2
2tac находим
ca
m
3
00
0
0
16
13
.
(1.39)
Это совпадает с законом (1.37). В первом приближении можно полагать, что законы роста (1.38), (1.39) среднего размера объектов со временем являются инвариантами любого кинетического уравнения.
В ряде задач, связанных с исследованиями высокоинтенсивных процессов с большой энергетикой (например, при высокой
температуре кристаллических объектов), промежуток времени
элементарного акта взаимодействия целесообразно определять исходя из соотношения неопределенностей «энергия – время» [47]:
где
– ширина уровня энергии возбужденного состояния кван-
(1.40)
,tE
тово-механической системы. Подставляя выражение (1.40) в соотношение (1.11), запишем следующую цепочку:
33
a
Значение
aaE
22
mE t m dt
00
определяется природой объектов и режимом процесса.
11
00
aa
32
ada dt
32 32
ada
3
aE
0
2
m
0
12
12
.
(1.41)
Например, в случае фононных возбуждений мезоскопических кристаллов при высокой температуре
Больцмана,
циональна числу
ми:
ω – характеристическая частота)
char
атомов, охваченных фононными возбуждения-
3EkT
. Число может зависеть от среднего размера a
B
Bchar
ωkT (Bk – постоянная
прямо пропор-
t
Общий кинетический подход для объектов микромира…
25
области возбуждения. Решая дифференциальное соотношение (1.41)
в квадратурах, можно найти приблизительные законы роста средне-
го размера
a со временем в высокоинтенсивных процессах агрега-
ции объектов, сопровождающихся множественным рождением
и уничтожением фононов при высокой температуре.
Рассмотрим вопрос об ограничении сверху размера объектов.
Из соотношения неопределенностей (1.1) и условия сохранения
массы в элементарном акте взаимодействия большого кластера
с зародышем, когда
мального размера объекта:
a
max
Здесь
t – минимальный промежуток времени элементарного
min
32
3aa a , получим выражение для макси-
0
63
2 ρ 2
99
ama
000
α .
tt
min min
(1.42)
акта взаимодействия объектов, определяемый физической природой процесса.
Выводы к главе 1
На основе соотношения неопределенностей для координаты
и импульса в пространстве размеров объектов-кластеров, а также
линеаризации и качественного анализа решений кинетического
уравнения Фоккера – Планка получены следующие научные положения и результаты.
1. Установлены основные свойства функции (a, t) плотности
распределения объемно-упакованных объектов по размерам a:
а) в конце процесса агрегации функция плотнос
больших кластеров размером a >> a
пропорциональна a
3
, т. е массам кластеров, а средний размер класте-
(a0 – размер зародыша) обратно
0
ров много меньше максимального размера:
a << a
ти распределения
;
max
б) существует множество локальных максимумов функции (a, t),
связанных с наиболее вероятными размерами кластеров, а также множество нулей этой функции, отражающих неустойчивость кластеров
при определенных размерах.
26
2. Получены приблизительные законы роста среднего размера
a больших кластеров со временем t при малом и большом пото-
ках зародышей.
3. Получено приблизительное дифференциальное соотноше-
ние для определения законов роста
процессах с большой энергетикой.
4. Получено выражение для максимального размера объектов.
at в высокоинтенсивных
Глава 1
Глава 2
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДЕЛЫ КЛАСТЕРНОЙ
МОДЕЛИ ОБРАЗОВАНИЯ СУБЪЯДЕРНЫХ
И СУБАТОМНЫХ ОБЪЕКТОВ
В данной главе предпринята попытка рассмотреть разнообразные
ядерные явления с единой точки зрения – как процессы образования
и роста компактных кластеров с выраженными коллективными квантовыми свойствами (сильное взаимодействие) в замкнутой стохастической системе нуклонов, находящейся в возбужденном состоянии.
В кач
ес
тве возбужденной замкнутой системы можно рассматривать
материнское ядро либо два соприкасающихся ядра после столкновения (двойная система). В начальный момент времени такая система
состоит из зародышей ядерной материи: альфа-частиц и (или) их
фрагментов – тритонов и дейтронов. В результате случайного взаимодействия зародышей происходит их коалесценция: в системе образуются ком
пактные скопле
ния ядерной сплошной среды – кластеры.
Колебания нуклонов на поверхности соприкасающихся «ядерных»
кластеров с временно (виртуально) разорванными внешними связями
могут приводить к взаимной компенсации этих незадействованных
связей. В результате происходит консолидация соприкасающихся
кластеров и образование более крупных объектов ядерной среды
с различными массами (массовыми числами A). В результате кулоновского о
тталкивания эти объекты
могут разлетаться из области
взаимодействия. Задачами предлагаемой модели являются: 1) расчеты
наиболее вероятных массовых чисел A кластеров во всем диапазоне
существующей систематики нуклидов [48]; 2) расчетное определение
дискретного спектра наиболее вероятных массовых чисел A, характерных для кластерной радиоактивности [23, 49, 50]; 3) нахождение
наиболее вероятных и средних массовых чисел
А кластеров, обра-
зующихся в процессах спонтанного деления ядер [51, 52]; 4) определение наиболее вероятных значений A и оценка среднего значения
28
R
Глава 2
А сверхтяжелых кластеров, образующихся в процессах нуклеосин-
теза в звездах [25, 53]. При этом рассматриваются только быстрые
внутриядерные процессы (r-процессы), протекающие в течение времени жизни возбужденных состояний. Эти состояния задаются энергией колебательных и вращательных уровней, определяемых в оболочечной модели ядра. Время протекания таких процессов приближения
к равновесию лежит в промежутке между в
реакций (c характерным ядерным временем порядка 10
нем жизни составного ядра 10
–16
–10
ременем прямых яд
–15
с [54–56]. Кроме того, фор-
–22
ерных
с) и време-
мально определяются границы существования экзотических ядер.
2.1. Асимптотическая модель образования кластеров ядерной материи в процессах приближения к равновесию
В основу аналитического описания рассматриваемых явлений
положены приведенные в главе 1 феноменологические представления о волне (a,t) плотности распределения в пространстве размеров a компактных кластеров с квантовыми свойствами. Такой одномерный подход позволяет не учитывать отклонение реальной
геометрической формы ядра от сферической. Эволюция функции
(a,t) в течение стохастического процесса агр
жет быть описана
в диффузионном приближении с помощью урав-
егации объектов мо-
нения Фоккера – Планка (1.5), записанного для пространства размеров кластеров. Для определения наиболее вероятных массовых
чисел будем использовать выражение (1.24) с произвольным дейст-
вительным числом
λ 15 2 , найденным в главе 1 (см. выражение
(1.32)), а также известное выражение [56, 57], связывающее радиус
ядра R =
2a с массовым числом:
rA , (2.1)
0
13
где r0 1,3 Фм – характерный параметр сильного взаимодействия
[57]. Если принять, что данное выражение приблизительно выпол-
няется и для зародышей, то из формулы (1.24) можно получить следующее выражение для наиболее вероятных массовых чисел A
AA n n
n
0
5
22
β
π 1 , 1, 2, 3,... .
λ
65
(2.2)
:
n
Асимптотические пределы кластерной модели образования…
29
Здесь
λ 15 2 – «произвольное» действительное число, найден-
ное в главе 1; A
12
– массовое число зародыша; параметр
0
β 2
tma
i
2
00
определяется массой и размером зародыша, а также характерным
масштабом времени ti взаимодействия объектов. В качестве такого
масштаба целесообразно принять период высокочастотных колебаний
нуклонов в ядре, равный
2
trc ≈ 510
00
i
–23
с, где c0 = 5107 м/с – эф-
фективная скорость звука в ядерной материи, определяемая на основе
известной средней кинетической энергии идеального ферми-газа на
нуклон, равной 22 МэВ [57].
Для нахождения характерных средних размеров кластеров-
нуклидов воспользуемся выражениями (1.38), (1.39). Перепишем их как
52 2 6 πρ ,
att (2.3)
1
32 6 πρ ,act (2.4)
2
25
13
0
i
16
15
25
13
где – плотность ядерного вещества. С целью исключения из формул параметра a
было принято, что
0
π 6 ρma . Отсутствие
00
3
в формулах (2.3) и (2.4) размера (вида) зародыша отражает асимптотическую стадию процесса, когда система «забывает» о начальных условиях и ее эволюция протекает в соответствии с внутренней динамикой ядра. Эта динамика связана с возбуждением колебательных и вращательных уровней энергии, определяемых оболочечной моделью ядра.
Общее время проте
ется, исходя из уровня энергии оболочки,
кания неравновесного пр
по правилу Гейзенбер-
оцесса определя-
га [54]:
τ . (2.5)
Это правомерно для изолированных уровней возбуждений квантовой системы.
Верификацию предлагаемого формализма можно осуществить
на примере катастрофических явлений [58, 59] с участием адронов.
Рассмотрим эти явления как следующую цепочку событий [13, 24]:
лобовые столкновения лептон – нуклон или нуклон – нуклон выбивание кварков из глюонных облаков случайные взаимодейст-
30
M
M
M
M
Глава 2
вия в сплошной внутриадронной среде образование новых частиц
(адронных струй). Новые частицы рассматриваются как кластеры,
состоящие из элементов сплошной внутриадронной среды (партонов): кварков, глюонов, кварк-антикварковых пар. Условие рождения новых частиц может быть записано в виде
2
где
c – полная энергия партонов,
elem
новых частиц,
elem cl 0
2
c – полная энергия двух первоначальных стал-
0
22
Mc Mc
,
2
c – полная энергия
cl
кивающихся частиц. В конце рассматриваемого процесса, когда все
0M
партоны перешли в связанные состояния,
elem
, поэтому вы-
полняется соотношение (1.3) и предложенный в главе 1 стохастический подход применим. Тогда закон (1.37) эволюции среднего
размера кластеров дает следующее соотношение между единицами
длины a
модействии фундаментальных частиц:
, времени t
unit
и массы m
unit
unit unit unit
при глубоко неупругом взаи-
unit
32
,ma t c (2.6)
где c – максимальная скорость распространения взаимодействия
в адронной среде, т. е. скорость света в вакууме. На основе формулы (2.6), данных [59] для «условных» кварковых масс (u- и d-
кварки) глубоко внутри адронов и для характерных расстояний
можно получить следующую оценку единицы времени
токовых кварков (cq) в состоянии асимптотической свободы (af):
af
a 10
unit
Время перехода t
–16
м, m
unit
кварков от асимптотической свободы к связанно-
trans
cq
m 5 МэВ, m
u
af
t 10
unit
unit
–26
с.
cq
m 7 МэВ;
d
af
t для
unit
му состоянию (конфайнменту) внутри адрона оценивается по форму-
3
ле (1.37) как
t
trans
af conf af
ta a 10
unit unit unit
–23
с
conf –15
10 м .a
unit
Полученное значение соответствует масштабу времени сильного взаимодействия.
В процессах, рассматриваемых в [58], минимальная единица дли-
ны составляет
min
a 10
unit
–18
м. Ее можно рассматривать как верхнюю
оценку размера токового кварка. Тогда из формулы (2.6) следует, что