Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Асимптотические методы в гидроакустике. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Н. В. Боев
М. А. Сумбатян
А. А. Бондарчук
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ГИДРОАКУСТИКЕ
Учебное пособие
Ростов-на-Дону – Таганрог
Издательство Южного федерального университета
2020
УДК 534.2(075.8)
ББК 22.32я73
Б75
Печатается по решению кафедры теоретической и компьютерной
гидроаэродинамики Института математики, механики и компьютер-
ных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета
(протокол № 7 от 29 марта 2019 г.)
Рецензенты:
главный научный сотрудник ИММ и КН ЮФУ им. И. И. Воровича,
доктор физико-математических наук, профессор М. И. Чебаков;
ведущий научный сотрудник
ЮНЦ РАН,
кандидат физико-математических наук, Д. Н. Шейдаков
Боев, Н. В.
Б75
Асимптотические методы в гидроакустике: учебное пособие/
Н. В. Боев,
М. А. Сумбатян, А. А. Бондарчук; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство
Южного федерального университета, 2020. – 160 с.
ISBN 978-5-9275-3283-4
В учебном пособии излагаются современные асимптотические методы решения прямых задач коротковолновой дифракции акустических волн в жидкости. В рамках прямых
задач дифракции на основе интегрального представления Кирхгофа и его модификации
исследована в локальной постановке задача рассеяния высокочастотных акустических
волн на препятствиях сложной невыпуклой формы, находящихся в бесконечной гидроакустической среде.
Пособие
тельной программы по направлению «Механика и математическое моделирование».
подготовлено по дисциплине «Аэроакустика» для магистерской образова-
ISBN 978-5-9275-3283-4
УДК 534.2(075.8)
ББК 22.32я73
© Южный федеральный университет, 2020
© Боев Н. В., Сумбатян М. А.,
Бондарчук А. А., 2020
© Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2020
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ..............................................................................................7
Модуль 1. Основные соотношения волновой
гидроакустики .............................................................. 12
1.1. Комплексная цель модуля 1 ......................................................12
1.2. Содержание модуля 1 .................................................................12
1.2.1. Основные уравнения линейной акустики...................... 12
1.2.2. Простейшие виды волн .....................................................14
1.2.3. Отражение плоской волны от границы раздела
двух сред ............................................................................. 16
1.2.4. Основы теории дифракции .............................................. 18
1.2.5. Рассеянное поле в дальней зоне ...................................... 22
1.2.6. Дифракция на круге малого радиуса
(плоская задача) ................................................................ 23
1.2.7. Низкочастотная дифракция на твердом экране ...........25
1.2.8. Метод стационарной фазы ............................................... 28
1.3. Тест рубежного контроля к модулю 1 ........................................30
1.4. Проектное задание к модулю 1 ..................................................31
Модуль 2. Коротковолновая дифракция акустических
волн на препятствиях, ограниченных
бесконечными цилиндрическими поверхностями
с направляющими произвольной гладкой
формы (двумерная задача) ....................................... 32
2.1. Комплексная цель модуля 2 ......................................................32
2.2. Содержание модуля 2 .................................................................32
2.2.1. Постановка задачи о рассеянии высокочастотной
акустической волны на замкнутом гладком контуре
твердого препятствия, находящегося в бесконечной
акустической среде (однократное отражение) ............... 32
2.2.2. Метод решения .................................................................. 34
2.2.3. Выводы ............................................................................... 37
2.3. Тест рубежного контроля к модулю 2 ........................................37
2.4. Проектные задания к модулю 2 .................................................39
4 Оглавление
Модуль 3. Двукратное переотражение акустических волн
от гладких контуров препятствий, находящихся
в бесконечной жидкой среде ...................................43
3.1. Комплексная цель модуля 3 ......................................................43
3.2. Содержание модуля 3 .................................................................43
3.2.1. Постановка задачи ............................................................ 43
3.2.2. Метод решения .................................................................. 45
3.2.3. Выводы ............................................................................... 52
3.3. Тест рубежного контроля к модулю 3 ........................................53
3.4. Проектное задание к модулю 3 ..................................................55
Модуль 4. Переотражение акустической волны
произвольное конечное число раз от граничных
контуров скопления препятствий, находящихся
в жидкой среде ............................................................. 57
4.1. Комплексная цель модуля 4 ......................................................57
4.2. Содержание модуля 4 .................................................................57
4.2.1. Постановка задачи ............................................................ 57
4.2.2. Метод решения .................................................................. 58
4.2.3. Многократное отражение акустической волны
от скопления выпуклых препятствий. Предельный
случай многократного переотражения акустической
волны от системы плоских твердых отражателей
в двумерном случае ........................................................... 64
4.2.4. Выводы ............................................................................... 66
4.3. Тест рубежного контроля к модулю 4 ........................................66
4.4. Проектное задание к модулю 4 ..................................................67
Модуль 5. Высокочастотная дифракция акустических
волн на поверхностях акустически твердых
отражателей (трехмерная задача) ......................... 70
5.1. Комплексная цель модуля 5 ......................................................70
5.2. Содержание модуля 5 .................................................................70
5.2.1. Постановка задачи о рассеянии высокочастотной
акустической волны на гладкой граничной поверхности
Оглавление 5
твердого препятствия, находящегося в бесконечной
акустической среде (однократное отражение) ............... 70
5.2.2. Метод решения .................................................................. 72
5.2.3. Выводы ............................................................................... 77
5.3. Тест рубежного контроля к модулю 5 ........................................78
5.4. Проектные задания к модулю 5 .................................................80
Модуль 6. Коротковолновая дифракция акустических
волн на граничных поверхностях с учетом
двукратных переотражений ....................................84
6.1. Комплексная цель модуля 6 ......................................................84
6.2. Содержание модуля 6 .................................................................84
6.2.1. Постановка задачи о двукратном рассеянии
высокочастотной акустической волны
на гладких
граничных поверхностях твердых препятствий,
находящихся в бесконечной акустической среде ..........84
6.2.2. Метод решения. Двукратное отражение акустической
волны от граничных поверхностей препятствий ..........85
6.2.3. Выводы к модулю 6 ...........................................................91
6.3. Проектное задание к модулю 6 ..................................................92
Модуль 7. Переотражение акустической волны
произвольное конечное число раз .........................96
7.1. Комплексная цель модуля 7 ......................................................96
7.2. Содержание модуля 7 .................................................................96
7.2.1. Постановка задачи о многократном рассеянии
высокочастотной акустической волны на гладких
граничных поверхностях скопления твердых
препятствий, находящихся в бесконечной
акустической среде ............................................................ 96
7.2.2. Метод решения. Многократное отражение
акустической волны от граничных поверхностей
скопления препятствий .................................................... 97
7.2.3. Предельный случай многократного отражения
акустической волны от системы плоских акустически
твердых отражателей в пространственном случае .....106
6 Оглавление
7.2.4. Случай расположения переотраженного луча
в одной плоскости ............................................................ 107
7.2.5. Случай переотраженного луча, представляющего
собой пространственную ломаную линию .................... 110
7.2.6. Выводы к модулю 7 .........................................................110
7.3. Проектные задания к модулю 7 ...............................................111
Модуль 8. Рассеяние высокочастотных упругих волн
на полостях, ограниченных бесконечными
цилиндрическими поверхностями
с направляющими произвольной формы
(двумерная задача) ...................................................115
8.1. Комплексная цель модуля 8 ....................................................115
8.2. Содержание модуля 8 ...............................................................116
8.2.1. Постановка задачи
8.2.2. Метод решения. ..............................................................116
8.2.3. Однократное отражение поперечной волны от
криволинейного контура препятствия:
s - s отражение, s - p трансформация ............................ 127
8.2.4. Выводы к модулю 8 .........................................................134
8.3. Проектные задания к модулю 8 ...............................................135
.......................................................... 116
Модуль 9. Волны в акустическом слое постоянной
толщины ....................................................................... 137
9.1. Комплексная цель модуля 9 ....................................................137
9.2. Содержание модуля 9 ...............................................................137
9.2.1. Волновой оператор в акустическом слое ...................... 137
9.2.2. Суммирование осциллирующих рядов ......................... 143
9.2.3. Приложение: Эффективный расчет волнового
поля в слое........................................................................149
9.3. Тест рубежного контроля к модулю 9 ......................................155
Литература ......................................................................................156
Ключи правильных ответов
для тестов рубежного контроля ...............................................158
ВВЕДЕНИЕ
Математические модели высокочастотных волновых задач находят широкое применение в расчетах волновых полей в гидроакустических средах при нахождении в них статических и движущихся объектов, в ультразвуковой медицинской томографии и в
других важных волновых задачах прикладной акустики.
Исследование таких моделей на основе современных методов
математической физики входит в образовательную программу
подготовки магистров по направлению «Механика и математическое моделирование» и излагается в рамках дисциплины «Аэроакустика».
Волновые задачи гидроакустики исследуются в рамках скалярной модели на основе уравнения Гельмгольца.
Важность разрабатываемых в гидроакустике методов связана
и с тем, что они служат основой исследования высокочастотных
волновых процессов в более сложных сплошных средах, например
упругих средах, в которых, в отличие от акустической среды, существуют два типа волн: продольные и поперечные. Использование высокочастотного режима колебаний для обнаружения препятствий в жидких средах позволяет применять при решении
возникающих здесь проблем коротковолновой дифракции методы геометрической теории дифракции и асимптотические методы. Распространение волн в акустических средах имеет свои специфические особенности, знание которых может дать объективную
информацию о расположении, форме и поведении препятствия во
времени. Эта проблема формулируется в рамках прямых задач математической физики.
Точное исследование рассеяния высокочастотных волн на поверхностях в гидроакустических средах сталкивается с существенными трудностями, если длина волны много меньше среднего размера препятствия [17]. Численные методы, такие как метод
конечных элементов, метод граничных элементов, требуют в этом
случае большого количества узлов на сетке. Это приводит к неустойчивости счета.
Для преодоления этой трудности были развиты различные
асимптотические подходы, такие как геометрическая теория диф-
8 Введение
ракционных лучей Келлера, теория Кирхгофа, ползущие волны и
др. Аналитические методы для рассматриваемого класса задач до-
статочно подробно изложены в монографиях [4; 8; 19; 25].
Основное ограничение лучевых методов связано с тем, что они
развиты в основном для выпуклых препятствий, поскольку только
для таких объектов легко разделяются зоны «света» и «тени».
Дифракционная задача существенно усложняется
ничная поверхность рассеивателя допускает переотражения
волн. В принципе, многократные переотражения могут быть исследованы в рамках лучевых переотражений, например, на основе геометрической теории дифракции (ГТД) Келлера [23]. Однако нам неизвестны работы, в которых формулы для многократных
переотражений были бы получены в явном виде. Известны лишь
частные двумерные задачи [21], в которых для отражателей канонической формы выписаны результаты для случая двукратных
переотражений.
Данное пособие посвящено детальному исследованию дифракции высокочастотной падающей волны в случаях однократного,
двукратного и многократного отражений.
Научное обоснование методики изучения раздела « Асимптотические методы в гидроакустике» в дисциплине «Аэроакустика». Указанные выше трудности в исследовании высо-
кочастотных волновых полей на основе обсуждаемых методов,
обосновывают актуальность разработки в рамках ГТД новых методов, позволяющих получить решение задач дифракции в явном
виде для препятствий сложной невыпуклой формы, допускающих
многократные переотражения акустических волн на граничных
поверхностях. Такие методы исследования волновых задач гидроакустики разработаны в последние годы авторами пособия и опубликованы в ведущих российских и западных научных журналах.
Эти методы основаны на асимптотическом анализе интегральных
представлений характеристик волновых полей.
Рассматриваемый подробно в настоящем пособии альтернативный метод [2; 3; 7], основанный на исследовании кратных дифракционных интегралов Кирхгофа методом многомерной стационарной фазы, позволяет в рамках геометрической теории дифракции
выписать в едином явном виде амплитуду переотраженного волнового поля при произвольном числе переотражений от поверхности
одного или нескольких рассеивателей.
, если гра-
Введение 9
Изложенный метод может служить основой для исследования
многих задач гидроакустики, биомеханики, акустики, архитектурной акустики.
Цель пособия состоит в изложении построения, в рамках ис-
следования прямых двумерных задач высокочастотного рассеяния
на основе асимптотических методов, аналитических выражений
характеристик отраженных произвольное конечное число раз высокочастотных волн от поверхностей скопления препятствий, находящихся
в гидроакустических средах.
Методика исследований изложенных в пособии прямых
высокочастотных волновых задач гидроакустики основана:
на интегральных представлениях их основных искомых ха-
1)
рактеристик и применении к их анализу асимптотических
методов;
на модификации интегральных представлений в высокочас-
2)
тотной области колебаний с учетом механических особенностей взаимодействия волнового поля с граничной поверхностью объекта сложной невыпуклой формы.
Настоящее учебное пособие разработано в соответствии с кре-
дитно-модульной рейтинговой технологией [13] и содержит шесть
модулей, содержание которых соответствует последовательности
изучения и приобретения навыков по выбранной проблеме, а также содержит набор заданий для контроля усвоения соответствующих блоков.
В модуле 1 представлены основные уравнения звуковых волн
и основные типы граничных условий в задачах дифракции. Дано
краткое изложение метода одномерной и многомерной стационарной фазы, применяемого для асимптотической оценки дифракционных интегралов.
В модулях 2–5 пособия в рамках двумерной постановки иссле-
дуется классическая задача рассеяния высокочастотной волны от
точечного источника, находящегося в гидроакустической среде
на поверхности одного рассеивателя или поверхностей скопления
рассеивателей.
В модуле 2 в рамках двумерной задачи исследовано высоко-
частотное рассеяние волны на криволинейной замкнутой гладкой
границе препятствия, находящегося в акустической среде. Падающая высокочастотная круговая волна обусловлена точечным давлением, изменяющимся во времени по гармоническому закону. На
10 Введение
основе оценки дифракционного интеграла Кирхгофа методом стационарной фазы получен главный член асимптотики давления в
однократно отраженной волне.
В модуле 3 исследовано двукратное высокочастотное рассеяние
акустических волн на граничных контурах системы двух твердых
препятствий, находящихся в безграничной акустической среде.
В модуле 4 на основе асимптотической оценки кратных интегралов Кирхгофа методом многомерной стационарной
чен главный член асимптотики давления в переотраженной произвольное конечное число раз акустической волне на граничных
поверхностях скопления препятствий, находящихся в акустической среде.
В модуле 5 в рамках пространственной задачи исследовано высокочастотное рассеяние акустической волны на замкнутой граничной поверхности рассеивателя сложной формы, находящегося
в бесконечной акустической среде.
Модуль 6 посвящен нахождению в рамках ГТД явного выражения амплитуды давления в двукратно отраженной волне от граничных поверхностей как выпуклых, так и невыпуклых препятствий, находящихся в гидроакустической среде. Рассматривается
трехмерная задача. Излагается асимптотический метод оценки четырехкратных дифракционных интегралов, основанный на методе
четырехмерной стационарной фазы.
В модуле 7 в рамках ГТД построено явное выражение амплитуды давления в отраженной волне произвольное конечное число
N раз от граничных поверхностей скопления как выпуклых, так и
невыпуклых препятствий, находящихся в гидроакустической среде. Рассматривается трехмерная задача. 2N-кратные дифракционные интегралы для амплитуды давления в переотраженной волне
получены на основе модификации физической теории дифракции
Кирхгофа.
Целью модуля 8 является обобщение разработанного метода
для скалярной модели к исследованию высокочастотной дифракции продольных и поперечных волн на произвольных гладких невыпуклых препятствий, находящихся в упругой среде. В рамках
двумерной задачи исследуется рассеяние продольных и поперечных упругих волн, излучаемых точечным источником на замкнутом гладком контуре произвольной формы. Получен главный
асимптотический член для амплитуды перемещений в случае от-
фазы полу-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]