Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Асимптотические методы в гидроакустике. Учебное пособие
.pdf
4.2. Содержание модуля 4 61
(,)
yy
Φ
∂
2cos1O
1
nn
−
nkyy
∂−
1 1
n nn
− −
где γ
yy
yl
– угол между нормалью n
n–1
− , а
21nn
−−
*
∈
11nn
−−
и
i
π
−
4
e
=+
1, 2, ..., 1nN=+
yy
1nn
−
*
yl∈
nn
Обозначим расстояния
*
yx L
− = , n=1,…,N-1. После вынесения за знак интегра-
1NN N
+
ik y y
ke
2
π
−
1
nn
−
yy
−
1
nn
−
,
yx= ,
00
и направлением падения луча
n-1
⎡⎤
⎛⎞
1
⎜
⎢⎥
γ
1
n
−
yx
⎜
⎢⎥
⎜
⎜
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
= ,
11NN
++
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
(4.7)
− – расстояние между точками плоскости
.
*
xy L− = ,
01 0
**
yy L
− = ,
1nn n
+
ла (4.5) медленно меняющихся функций в асимптотических представлениях (4.7) нормальных производных функций Грина можно
выписать следующее интегральное представление для давления в
точке приема
2
p x e e dl dl dl dl
()
N NN
+ −
()
=
1 12 1
xy yy y y y xϕ
= − + − ++ − + − . (4.9)
01 12 1 1
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
π
2
N
⎛⎞
k
π
−
4
Ni
В множителях перед интегралом берутся значения cosγn для па-
дающего луча в точке зеркального отражения
Окрестности
** *
, ,...,
ll l отнесем к локальным декартовым сис-
12
N
cos
∏
n
γ
n
1
∫∫ ∫∫
** * *
N
ll l l
NN
=
1
LL
0
...
N
ϕ
... ...
121
−
NN NN
− +
ik
*
y .
n
, (4.8)
темам координат, определяемым нормалями n1,n2,…,nN к поверхностям в точках
** *
, ,...,
yy y, направленными в сторону акустичес-
12
N
кой среды, и касательными к граничным контурам. Обозначим
nn
() ()
OX X , n=1,2,…,N декартову систему координат с началом в
12
n
точке
каждой окрестности
*
y .
n
Для задания координат текущей точки
*
l будем отсчитывать от
N
*
yl∈
, n=1,2,…,N в
nn
*
y вдоль контура
n
длину дуги Δsn. Тогда текущая точка yn выпуклой поверхности
nn
Sn в локальной системе координат
⎛⎞
⎜
ys
⎜
nn
⎜
⎜
⎝⎠
,
Δ
−−
2
()
s
Δ
⎟
n
⎟
⎟
⎟
⎟
2
ρ
n
, где ρn – радиус кривизны контура в точке yn.
() ()
OX X имеет координаты
12
n
С точностью до малых второго порядка асимптотические представ-
62 М. 4. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз…
yx
ления для
xy−
01
и
−
имеют такую же структуру, как
1NN
+
и (3.7) и (3.8).
⎛⎞
12
−
sin 0,5 cosxy L s L s
− = − ++
01 0 1 1 0 1 1
Δγ γ Δ
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
cos
ρ
1
γ
⎟
1
⎟
⎟
⎟
2
, (4.10)
()
⎛⎞
12
−
yx L s L s
− = − ++
1
+
NN N N N N N N
sin 0,5 cos
Δγ γ Δ
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
cos
γ
⎟
N
⎟
⎟
⎟
ρ
N
2
()
(4.11)
В приведенных формулах и далее в этом параграфе { -sin γn,
-cos γn} – направление падающего, а { -sin γn, cos γn} – направление
отраженного лучей в точке yn окрестности
*
l , отнесенной к локаль-
n
ной системе координат.
Найдем слагаемые
(4.9). Каждое из расстояний
nn
динат
() ()
OX X , связанной с точкой
12
n
нат обозначим координаты точек
*00
y ξη
111
nnn
−−−
,
()
nn- n n n
. С учетом этого вектор
nn- nn n n n- nn
{, }
ξξηη
= −−yy ;
11 n-1
−
Здесь координаты векторов
кальных декартовых системах координат точек
Матрица
1nn
nij
хода от базиса декартовой системы координат
*
y к базису декартовой системы координат
n
*
ке
y−.
1n
yy
− = yy n=2,3,…,N в фазе ϕ
11nnnn
−−
yy
− рассмотрим в системе коор-
1nn
−
** 1* *
=+ −Ay y yy y y yy
11 11
*
= −−
yy .
nn n
a−=A , i, j = 1, 2 – ортогональная матрица пере-
()
n
−−
⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪
Δ
⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
*
yy
ii
*
y . В этой системе коорди-
n
,
y ξη ,
()
nnn
yy представим в виде:
−
**
nn- n n
2
()
ssΔ
,
n
2
ρ
n
y ξη
111
nnn
−−−
1nn−
,
00
{, }
ξη
=yy ; (4.12)
111
−−
,
()
(i = n–1, n) выписаны в ло-
*
y− и
OX X в точке
n
OX X
11 2
n
−
*
y .
1n
n
nn
() ()
12
11
nn
−−
()()
в точ-
.
,
4.2. Содержание модуля 4 63
⎛⎞
cos sin
αα
−
1
n-
=
A .
n
Проводя для каждого из расстояний
nn
⎜
⎜
⎜
⎜
sin cos
αα
⎝⎠
nn
⎟
⎟
⎟
⎟
yy
− , n = 2,3,…,N
1nn
−
в фазе ϕ (4.9) такие же преобразования, как и для расстояния
yy− в случае двукратного переотражения (пункт 3.2.2), по-
12
лучаем асимптотическое представление каждого из расстояний с
точностью до малых второго порядка приводится к виду:
yyL s sΔγΔ γ
− =+ + + (4.13)
111122
nnnn nn n
−−−−−−
⎛⎞
⎜
0,5 cos
+++
+++
Ls
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
⎛⎞
⎜
0,5 cos
Ls
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
−
LssγγΔΔ
+
nnnnn
()sin ()sin
cos
cos
γ
⎟
1
n
−
⎟
⎟
⎟
ρ
1
n
−
γ
⎟
2
n
−
⎟
⎟
⎟
ρ
2
n
−
12
−
nn n
−− −
12
−
nn n
−− −
1
11212
−−−−−
γΔ
11 1
γΔ
12 2
cos cos ( )
2
()
()
2
2,...,nN= .
В общем случае N–кратного переотражения в фазе ϕ (4.9) от-
сутствуют слагаемые с первыми степенями nsΔ (n = 1,2,…,N). Это
говорит о том, что точки
**
yl∈
прямого лучевого отражения соот-
nn
ветствуют стационарному значению фазы ϕ.
2
ϕ
∂
cos
=++
2
s
∂
n
22
ϕϕ
∂∂
ssL ss
∂∂ ∂∂
1
nn n nm
+
1
==≠≠+
Окончательный результат для амплитуды давления
⎛⎞
11 2
⎜
2
⎜
γ
n
⎜
⎜
LL
⎜
⎝⎠
1
nnnn
−
,0,,1
ργ
nmnm
cos
⎟
⎟
, (4.14)
⎟
⎟
⎟
.
px+ N
()
1N
раз переотраженной волны в точке приема 1Nx+ может быть получен из выражения (4.8) применением многомерной (N-мерной)
стационарной фазы [17]
N
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎪⎪
⎢⎥
exp
ik L N
⎨⎬
∑
⎢⎥
⎪⎪
n
=
⎪⎪
⎣⎦
px
()
N
1
+
⎩⎭
=
N
∏
n
=
π
δ
+ −
()
nN
4
0
det
LD
()
nN
0
, (4.15)
64 М. 4. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз…
где DN = (dij), i, j = 1,2,…,N – симметричная ленточная матрица Гес-
се. Параметр δN = sign(DN) – разность между числом положительных и отрицательных собственных значений матрицы D
dd d nmnmnm
== =≠≠+ ≠−.
1, , 1
nn nn nm
++
(), ,
Dd d
==++ (4.16)
Nnmnn
1
,0,, 1, 1
L
n
11 2
LLργ
1
nnnn
−
cos
.
N
Заметим, что оценка многомерного дифракционного интеграла
(4.8) не сводится к последовательному асимптотическому анали-
зу двукратных интегралов, поскольку структура фазовой функции
представляет собой довольно сложную комбинацию, зависящую
от всех точек окрестностей
** *
, ,...,
ll l, участвующих в отражении
12
N
луча.
Формула (4.15) для давления p(x) в отраженной волне устанавливает его зависимость от параметров задачи, которые определяются кривизнами граничных контуров, расстояниями между
точками зеркального отражения, удалением источника волны от
первой точки отражения, удалением точки приема от последней
точки отражения, а также от направлений падающих волн.
4.2.3. Многократное отражение акустической волны
от скопления выпуклых препятствий. Предельный случай
многократного переотражения акустической волны
от системы плоских твердых отражателей в двумерном случае
Важно выделить те случаи, для которых δN = sign(DN) может
быть легко вычислено. Например, если все ρn > 0, n = 1,…,N. Тогда
матрица DN может быть представлена в виде суммы двух положительно определенных матриц:
DAB=+,
NNN
b
=
nn
a
ρϑ
nn
11
=+,
nn
LL
1
nn
−
2
, 0
cos
b = , nm≠ .
aa
nn nn
nm
==,
1, , 1
++
1
L
n
Положительность матрицы BN очевидна, поскольку она имеет
диагональную структуру со всеми положительными элементами.
4.2. Содержание модуля 4 65
Положительность матрицы AN доказывают, используя явное выражение для ее детерминанта:
N
L
∑
n
n
0
det( )
A
=
=
N
. (4.17)
N
L
∏
n
n
0
=
Выведем это выражение. Пусть IN = det(AN), где матрица AN есть
()
Aa= ,
Nnn
0
, 1, ... ,nm N=
a = , 1nm≠ + , 1nm≠−.
nm
;
a
11
=+,
nn
LL
1
nn
−
aa
nn nn
==,
1, , 1
++
1
L
n
Вывод основан на методе математической индукции. Для N = 1
и N = 2 формула (4.17) очевидна. Для N ≥ 3 разложение IN по элементам первой колонки дает
⎛⎞
11 1
⎛⎞
11 1
⎜
+ −
⎜
⎜
⎜
LL L
⎝⎠
NN N
11
−−
===
⎜
III
=+ − =
⎜
NNN
⎜
⎜
LL
⎝⎠
NN
−
⎛⎞
11 1
⎜
=+ − =
⎜
⎜
⎜
LL
⎝⎠
1
NN
−
12
NN
−−
⎟
⎟
LL
∑∑
nn
⎟
⎟
nn
00
==
NNN
11
−−
LLL
∏∏∏
nnn
nnn
000
===
⎟
⎟
12
−−
⎟
⎟
1
12
NN
−−
LL
∑∑
nn
⎟
00
nn
==
⎟
⎟
122
NN
−−
⎟
LL
∏∏
nn
00
nn
==
2
L
1
N
−
L
1
N
−
1
1
+
L
N
N
∑
n
=
1
−
0
N
L
n
∑
n
=
L
n
0
что и доказывает справедливость соотношения (4.17).
Поскольку det(AN) > 0 для каждого N = 1,2,… мы можем исполь-
зовать хорошо известный критерий Сильвестра: эрмитова матрица
является положительно определённой, если все её главные подматрицы имеют положительные детерминанты. Для рассматриваемой матрицы AN её главные подматрицы совпадают с AM для
меньших размерностей M = 1,…,N. Таким образом, критерий Сильвестра доказывает положительность AN. После этого требуемый результат DN > 0 очевиден. Следовательно, в случае, когда все pn > 0,
66 М. 4. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз…
имеем ν+ = N, ν– = 0, поскольку все собственные значения эрмитовой положительно определённой матрицы положительны. Таким
образом, в этом случае δ
= N.
N
Следует заметить, что матрица AN соответствует задаче, в которой все pn = ∞, n = 1,…N, т. е. задаче, в которой каждый отражатель ln локально является плоским «зеркалом». Легко видеть, используя (4.17), что
N
exp( )
ik L
∑
n
n
0
∑
n
=
N
0
=
. (4.18)
L
n
()
px
n
1
+
=
Это соответствует простым оптическим представлениям.
4.2.4. Выводы
На основе асимптотической оценки кратных интегралов Кирхгофа методом многомерной стационарной фазы получен главный
член асимптотики давления в переотраженной произвольное конечное число раз высокочастотной акустической волне от контуров
отражателей, находящихся в безграничной акустической среде.
Амплитуда давления выражается через определитель ленточной
симметричной структуры с шириной ленты, равной трем. Особенности элементов определителя такие же, как и при двукратном переотражении.
Получено явное выражение для давления в многократно переотраженной волне от скопления выпуклых препятствий. Исследован предельный случай многократного переотражения акустической волны от контуров скопления плоских акустически твердых
отражателей в двумерном случае.
4.3. Тест рубежного контроля к модулю 4
Задание 1. Возможно ли многократное переотражение акустической волны в пределах одного граничного контура невыпуклого
препятствия? Если возможно, то приведите пример:
а) невозможно;
б) возможно.
4.4. Проектное задание к модулю 4 67
Задание 2. Возможно ли многократное переотражение акусти-
ческой волны на границах скопления препятствий выпуклой формы? Если возможно, то приведите примеры для рассеивателей канонической формы (окружность, эллипс, парабола):
а) возможно;
б) невозможно.
Задание 3. Возможно ли трёхкратное переотражение высоко-
частотной акустической волны от вогнутой части полуокружности
(акустически твёрдая граница) с параллельным
луча из точечного источника давления и отражённого луча от контура в третьей точке зеркального отражения? Если возможно, то
постройте траекторию переотражения такого луча:
а) невозможно;
б) возможно.
Задание 4. Если из точечного источника давления в неогра-
ниченной акустической среде на препятствие, ограниченное замкнутой кривой, падает круговая волна, то касательные к рассеивателю, проведённые из источника, делят границу на две части.
Лицевая часть контура, обращённая к источнику, – это зона «света», а остальная часть – зона «глобальной тени». Возможны ли переотражения высокочастотной акустической волны в зонах «локальной тени», находящихся в зоне «света»? Если возможны, то
приведите примеры:
а) возможны;
б) невозможны.
ходом падающего
Задание 5. Возможно ли существование двукратно переотра-
жённого луча, при котором луч возвращается в точку, где находится источник? Если возможно, то приведите примеры:
а) невозможно;
б) возможно.
4.4. Проектное задание к модулю 4
Оценка замены криволинейного отражателя системой
трех прямолинейных на примере трехкратного отражения
акустической волны от вогнутой дуги окружности
68 М. 4. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз…
На примере трехкратного переотражения звуковой волны провести сравнение величины давления в переотраженной волне от
вогнутого кругового контура твёрдого отражателя и от системы
трех прямолинейных отражателей, касающихся криволинейного
контура в точках зеркального отражения (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Трёхкратное отражение высокочастотной акустической волны от системы
трёх прямолинейных отражателей и от кривой границы. В точке A помещен источ-
ник круговой акустической волны, в точке B находится приемник
Источник высокочастотной сферической акустической волны
расположен в точке A, а приёмник в точке B. Расстояние от источника и приёмника до горизонтального диаметра полуокружности
равны, обозначим их через x. Расстояние от горизонтального диаметра до первой точки зеркального отражения и от второй точки
отражения до горизонтального диаметра равны R / 2. Угол падения волны в точках зеркального отражения равен γ1 = γ2 = γ3 = π / 3.
При такой траектории лучей длины векторов
LyyR==
**
112
и
LyyR==
**
223
. Исследовать давление p(B) в точ-
**
yy
12
и
**
yy
23
равны
4.4. Проектное задание к модулю 4 69
ке B в зависимости от переменной x, которая изменяется в интервале x∈(-R / 2,+∞).
С учетом принятых обозначений на основе формул (4.15) и
(4.18) выписать аналитические выражения для давления в точке
B в трехкратно отраженной акустической волне от круговой границы отражателя и от системы трех прямолинейных твердых отражателей, расположенных
кального отражения.
Для каждого из случаев построить графики функции величины
RRPB от переменной x / R. Кривая 1 должна соответствовать
отражению от системы трех прямолинейных отражателей, а кривая 2 должна соответствовать переотражению от кругового контура (рис. 4.2).
()
Сделать практические выводы.
на касательных к контуру в точках зер-
МОДУЛЬ 5
ВЫСОКОЧАСТОТНАЯ ДИФРАКЦИЯ АКУСТИЧЕСКИХ
ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТЯХ АКУСТИЧЕСКИ ТВЕРДЫХ
ОТРАЖАТЕЛЕЙ (ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА)
5.1. Комплексная цель модуля 5
Целью модуля является освоение развития лучевой теории
дифракции применительно к произвольным гладким невыпуклым препятствиям, находящимся в гидроакустической среде. Рассматривается трехмерная задача. Двукратные дифракционные
интегралы получены на основе физической теории дифракции
Кирхгофа. Излагается асимптотический метод оценки двукратных дифракционных интегралов, основанный на методе двумерной стационарной фазы. Получена явная формула для давления в
однократно отраженной волне.
5.2. Содержание модуля 5
5.2.1. Постановка задачи о рассеянии высокочастотной
акустической волны на гладкой граничной поверхности
твердого препятствия, находящегося в бесконечной
акустической среде (однократное отражение)
Пусть из точки x0 бесконечной акустической среды на гладкую
граничную поверхность S препятствия (трехмерная задача) падает круговая монохроматическая высокочастотная волна (рис. 5.1).
Волна порождается точечным источником давления δ(x0)e
дящимся в точке x
в падающей волне в точке y бесконечной трехмерной акустической
среды определяется выражением:
, где ω – частота колебаний. При этом давление
0
-iωt
, нахо-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]