Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Асимптотические методы в гидроакустике. Учебное пособие
.pdf
1.3. Тест рубежного контроля к модулю 1 31
Задание 5. Если в фиксированной точке поверхности K < 0, то
эта точка на поверхности отражателя является:
а) параболической;
б) эллиптической;
в) гиперболической.
1.4. Проектное задание к модулю 1
Получить уравнения акустики из полной системы уравнений
гидродинамики.
МОДУЛЬ 2
КОРОТКОВОЛНОВАЯ ДИФРАКЦИЯ
АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН НА ПРЕПЯТСТВИЯХ,
ОГРАНИЧЕННЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
С НАПРАВЛЯЮЩИМИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ
ГЛАДКОЙ ФОРМЫ (ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА)
2.1. Комплексная цель модуля 2
Целью модуля является освоение развития лучевой теории дифракции применительно к произвольным гладким невыпуклым
препятствиям, находящимся в гидроакустической среде. Рассматривается двумерная задача. Дифракционные интегралы получены на основе физической теории дифракции Кирхгофа. Излагается асимптотический метод оценки дифракционных интегралов,
основанный на методе стационарной фазы. Получена явная формула для давления в однократно отраженной волне.
2.2. Содержание модуля 2
2.2.1. Постановка задачи о рассеянии высокочастотной
акустической волны на замкнутом гладком контуре
твердого препятствия, находящегося в бесконечной
акустической среде (однократное отражение)
Пусть из точки x0 бесконечной акустической среды на замкнутый гладкий граничный контур l препятствия (двумерная задача) падает круговая монохроматическая высокочастотная волна (рис. 2.1). Волна порождается точечным источником давления
–iωt
δ(x0)e
этом давление в падающей волне в точке y бесконечной двумерной
акустической среды определяется выражением:
, находящимся в точке x0, где ω – частота колебаний. При
2.2. Содержание модуля 2 33
1
−
ik x y
inc
py x y e
= − , (2.1)
()
0
−
0
2
где k = ω / c, а c – скорость распространения акустической волны.
Целью задачи является исследование давления в рассеянной
волне на акустически твердом препятствии, находящемся в акустической среде.
Как и в классической геометрической теории дифракции, раз-
работанной в задачах скалярной акустики [4] и развитой в задачах
динамической теории упругости [22], следует различать
асимптотику в локальном и в глобальном смысле. В глобальной постановке ставится задача вычисления полного поля в точке x сплошной
среды. В данном случае полное поле в точке x акустической среды
складывается из падающей круговой волны (2.1) и отраженных от
граничного контура волн. Асимптотическое решение, построенное
ниже, имеет локальный характер и дает главный асимптотический член амплитуды дифрагированного поля в малой окрестности
любого луча, вышедшего из точки x0, отразившегося от контура
рассеивателя в точке y* и пришедшего
в точку x. Очевидно,
что такие лучи могут
существовать только
в том случае, если обе
точки y* и x лежат в
освещенной области.
При распространении из точки x0 высокочастотной круговой
акустической волны
(2.1) в фиксированном направлении q,
она взаимодействует
с граничным контуром l препятствия и
отражается от него.
Рис. 2.1. Отражение высокочастотной акустической
волны от граничного контура препятствия
34 М. 2. Коротковолновая дифракция акустических волн на препятствиях…
Точка приема x будет располагаться на луче, вдоль которого
распространяется отраженная волна (рис. 2.1). В этом случае точ-
*
пересечения гладкого контура препятствия l с направлением
ка y
**
=qxy xy будет являться точкой зеркального отражения па-
00
дающей волны (2.1). Ниже получим формулу для амплитуды дав-
ления отраженной волны в точке приема x.
2.2.2. Метод решения
Изложим метод нахождения давления в однократно отраженной
высокочастотной акустической волне от контура рассеивателя.
Как известно, давление в высокочастотной отраженной волне
определяется направлением падения волны и малой окрестностью
l* точки зеркального отражения y*∈l*. Поэтому с ростом частоты
давление в отраженной волне может быть получено в рамках лу-
чевых представлений на основе метода стационарной фазы. Такой
подход применен в двумерной [24] и трехмерной [2; 5] задачах.
Если любой луч вида x0 – y – x отражается от контура l (y∈l)
только один раз (рис. 2.1), тогда, согласно физической теории дифракции Кирхгофа [20], давление p(x) в отраженной волне определяется следующим интегралом [20]:
,
yx
Φ∂
()
n
∂
y
, (2.2)
px p y dl
=
() ()
∫∫
inc
2
l
если граница l препятствия является акустически твердой
/0
pn∂∂ = . Здесь p
l
на границе l,
ного решения (функция Грина),
inc
(y) – значение давления в падающей волне
i
,
yx H kx yΦ = − – потенциал фундаменталь-
()
(1)
()
0
4
(1)
H – функция Ханкеля первого
0
рода нулевого порядка, ny – внешняя нормаль к контуру l в точке
y, k– волновое число.
Подставим в интегральное представление (2.2) давление падающего поля (2.1) и главный член асимптотики нормальной производной функции Грина при k→∞
ik x y
π
−
xy
−
⎡⎤
⎢⎥
γ
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
⎟
⎟
,
⎟
⎟
⎟
i
π
(,) 1
yx k e
Φ
∂
2cos1O
nkxy
∂−
−
4
e
=+
y
2
2.2. Содержание модуля 2 35
∆
∆
∆s ∆
∆
∆
где γ – угол между нормалью ny и направлением падения луча
xy− , 0xy− и xy− – расстояния между точками плоскости
0
и y∈l, x и y соответственно.
x
0
Вынесем за знак интеграла медленно меняющиеся функции, в
результате получим следующее основное интегральное представление для давления в отраженной волне в точке приема x:
i
π
px e e dl
Lxy= − , *Lyx= − ,
−
=
()
00
cos
k
4
2
*
π
γ
LL
0
ik
ϕ
(2.3)
∫
*
l
y
xy yxϕ = − + − . (2.4)
0
Лучевое представление можно получить из (2.3), используя ме-
тод стационарной фазы [17]. При оценке интеграла (2.3) необходимо учитывать точки y из малой окрестности l* точки y*. Малую
окрестность точки y*∈l* отнесем к локальной декартовой системе
координат OX1X2 (рис. 2.1). Тогда произвольная точка y∈l* из окрестности точки y* будет иметь координаты
,0,5ys ksΔΔ, где
()
2
()
Δs – приращение дуги вдоль контура l*, отсчитываемое от точки
зеркального отражения y*, k = ρ-1 – кривизна, а ρ – радиус кривизны кривой l* в точке y*, который должен быть взят с истинным знаком – положительным для выпуклой кривой и отрицательным для
вогнутой.
Применим к треугольникам x0y*y и xy*y теорему косинусов.
2
xy L L xyy
0
xy L L xyy−=+ − ∠
2
0
2
2
2
2−=+ − ∠
s
2
s cos
00
2
s cos
*
,
*
.
Из скалярных произведений векторов { -sinγ, cosγ } – орт векто-
ра y*x0,
∆
s =
ΔΔsks,,05
{}
2
и { -sinγ, cosγ } – орт вектора y*x, Δs
)
(
соответственно следует
s cos sin , cos
s cos sin , cos
*
∠= +
xyy s s
02
∠=− +
xy y s sΔΔγ
ΔΔγ
*
05
1
ρ
1
ρ
2
()
()
2
γ
2
γ05
,
.
36 М. 2. Коротковолновая дифракция акустических волн на препятствиях…
Если пренебречь величинами, малыми по сравнению с (Δs)2, то
для расстояний 0xy− и xy− получаем представления:
⎛⎞
−
12
sin 0,5 cos ,xy L s L s
− =+ + +
00 0
− = − ++
Δγ γ Δ
sin 0,5 cos .xy L s L s
Δγ γ Δ
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
⎛⎞
−
12
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
cos
cos
ρ
ρ
γ
γ
⎟
⎟
()
⎟
⎟
⎟
⎟
()
⎟
⎟
2
(2.5)
2
(2.6)
Следовательно,
⎛⎞
11 2
⎜
2
LL s
ϕγ Δ
=++ ++
0
0,5 cos .
⎜
⎜
⎜
LL
⎜
⎝⎠
0
cos
ργ
⎟
⎟
()
⎟
⎟
⎟
2
(2.7)
Отсутствие первой степени Δs в фазе ϕ (2.7) говорит о том, что
точка y* прямого лучевого отражения соответствует стационарному
значению фазы ϕ. Таким образом, главный член асимптотики интеграла (2.3) определяется коэффициентом при (Δs)2 и может быть
получен из выражения (2.3) применением метода стационарной
фазы [17].
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎪⎪
exp 1
px
()
=
⎢⎥
ikL L
⎨⎬
⎪⎪
⎢⎥
⎣⎦
⎪⎪
⎩⎭
sign .
=++
++ −
()
0
LL
++
0
⎛⎞
⎜
LLδ
⎜
0
⎜
⎜
⎝⎠
π
δ
()
4
2
LL
0
cos
ργ
2
LL
0
⎟
⎟
⎟
⎟
cos
ργ
(2.8)
Замечание 1. Следует выделить для формулы (2.8) особые сингулярные случаи. К ним относятся случаи, когда выражение в
скобках в знаменателе выражения (2.8) обращается в нуль. Такие
случаи должны быть рассмотрены с учетом малых более высокого
порядка малости, чем (Δs)2, так как в этих случаях выражение (2.8)
не определено.
Замечание 2. При осуществлении предельного перехода при
k = ρ-1 = 0 в формуле (2.8) получаем известную формулу для дав-
ления в точке приема x в отраженной волне от прямолинейного
участка границы:
2.3. Тест рубежного контроля к модулю 2 37
exp.ik L L
px
()
Полученное выражение (2.8) для давления в отраженной вы-
сокочастотной акустической волне полностью совпадает с выражением для давления [1], полученным методами геометрической
теории дифракции (ГТД). Это означает, что главный член асимптотики интегрального представления (2.2) соответствует ГТД.
{}
=
+
()
0
LL
+
0
(2.9)
2.2.3. Выводы
Исследовано отражение высокочастотной акустической волны
от двумерного препятствия произвольной формы, находящегося в
бесконечной акустической среде. Методом стационарной фазы получен явный вид главного члена асимптотики давления в отраженной волне. Дан анализ характерных особенностей зависимости давления от соотношения расстояний между точками, участвующими в
формировании и отражении луча, направления падения луча и радиуса кривизны контура в точке зеркального отражения.
2.3. Тест рубежного контроля к модулю 2
Задание 1–5
В акустической среде расположены три акустически твёрдых от-
ражателя, граничные контуры которых являются вогнутыми частями кривых второго порядка:
окружности x2+y2=1 (кривая 1)
эллипса x2/4+y2=1 (кривая 2)
параболы y=x2 (кривая 3).
Исследуется модуль амплитуды давления (|p1(x0,y0)| – для кри-
вой 1, |p1(x0,y0)| – для кривой 2, |p1(x0,y0)| – для кривой 3) при обратном отражении луча от криволинейных границ. Точка (x0,y0) – точка отражения, лежащая на границе. Источник волны и приёмник
расположены в одной и той же точке на расстоянии Li (i=1,2,3) от
i-й кривой. В точке приёма измеряется давление pi(x0,y0).
Задание 1. Если L1=3/2, а L2=5/4, то какому соотношению удов-
летворяют |p1(0,1)| и |p2(0,1)|?
38 М. 2. Коротковолновая дифракция акустических волн на препятствиях…
а) |p1|>|p2|;
б) |p1|=|p2|;
|<|p2|.
в) |p
1
Задание 2. Если L1=3/2, а L2=3/4, то какому соотношению удовлетворяют |p1(0,1)| и |p2(0,1)|?
а) |p1|>|p2|;
б) |p1|<|p2|;
в) |p1|=|p2|.
Задание 3. Если L1=3/2, а L3=4/5, то какому соотношению удовлетворяют |p1(0,1)| и |p3(0,1)|?
а) |p1|=|p3|;
б) |p1|>|p3|;
в) |p1|<|p3|.
Задание 4. Если L2=L3=3/2, то какому соотношению удовлетворяют |p2(0,1)| и |p3(0,1)|?
а) |p2|>|p3|;
б) |p2|<|p3|;
в) |p2|=|p3|.
Задание 5. Если
удовлетворяют
(1)
(0,1)p и
2
(1)
1L = , а
2
(2)
(2,0)p (обе точки (0,1) и (2,0) берут-
2
3
(2)
L = , то какому соотношению
2
4
ся на эллипсе) ?
(1) (2 )
а)
pp< ;
22
(1) ( 2)
б)
pp= ;
22
(1) (2 )
в)
pp> .
22
Задание 6–10
При выполнении условий заданий 1–5 рассмотрим прямолинейный акустически твёрдый отражатель, расположенный на касательной к окружности в точке отражения (x0,y0).
L – расстояние от источника волны до точки отражения (x0,y0)
при обратном отражении.
|p1| – модуль амплитуды давления в отражённой волне от вогнутой части окружности.
|p4| – модуль амплитуды давления в отражённой волне от прямолинейного отражателя.
2.4. Проектные задания к модулю 2 39
Задание 6. При любом L какому соотношению удовлетворяют
|p1| и |p4|?
|≥|p4|;
а) |p
1
б) |p1|<|p4|;
в) требует полного исследования.
Задание 7. При L=1/2 какому соотношению удовлетворяют
|p1| и |p4|?
а) |p1|<|p4|;
б) |p1|>|p4|;
в) |p1|=|p4|.
Задание 8. При L=3/2 какому соотношению удовлетворяют
|p1| и |p4|?
а) |p1|>|p4|;
б) |p1|=|p4|;
в) |p1|<|p4|.
Задание 9. При L=2 какому соотношению удовлетворяют |p1|
и |p4|?
а) |p1|=|p4|;
б) |p1|<|p4|;
в) |p1|>|p4|.
Задание 10. При L=3 какому соотношению удовлетворяют |p1|
и |p4|?
а) |p1|>|p4|;
б) |p1|=|p4|;
в) |p1|<|p4|.
2.4. Проектные задания к модулю 2
Оценка замены, применяемой в практических гидроакус-
тических расчетах, искривленных контуров препят ствий
плоскими при однократном обратном отражении
Задание 2.4.1. В рамках двумерной задачи дать оценку заме-
ны цилиндрических поверхностей рассеивателей с произвольной
гладкой направляющей набором плоских граничных поверхностей на примере однократного обратного рассеяния.
40 М. 2. Коротковолновая дифракция акустических волн на препятствиях…
Каждую гладкую плоскую кривую локально можно заменить
участком соприкасающейся окружности (рис. 2.2). При этом однократное обратное отражение реализуется вдоль нормали к кривой,
которая совпадает с радиусом соприкасающейся окружности. Этим
обстоятельством определяется важность исследования обратного
отражения от дуги окружности.
Пусть на вогнутую круговую границу плоского акустически
твердого препятствия в акустической среде падает
круговая волна (рис. 2.3). Будем исследовать обратное отражение от вогнутой
круговой части границы радиуса R. Расстояние точки излучения
и приема волны A от дуги окружности будет изменяться, и обозначим его LA = R + x, где x – переменная величина, отсчитываемая от
центра окружности.
Рис. 2.2. Обратное отражение высокочастотной акустической волны
от криволинейного контура отражателя
С учетом принятых обозначений на основе формул (2.8) и (2.9)
выписать аналитические выражения для давления в точке B в отраженной акустической волне от круговой границы отражателя и
от прямолинейного твердого отражателя, расположенного на касательной к контуру в точке зеркального отражения.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]