Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Асимптотические методы в гидроакустике. Учебное пособие
.pdf
7.3. Проектные задания к модулю 7 111
твердых отражателей в пространственном случае. При расположении луча в одной плоскости аналитически доказано, что формула
для давления в предельном случае может быть получена из общей
формулы. При распространении луча вдоль пространственной ломаной линии предельная формула подтверждена аналитически
для двукратного отражения.
7.3. Проектные задания к модулю 7
Оценка замены неплоского отражателя системой трех
прямолинейных на примере трехкратного отражения акустической волны от вогнутой части граничной поверхности
твердого отражателя
7.3.1. Трехкратное отражение акустической волны
от вогнутой части кругового полуцилиндра
На примере трехкратного переотражения звуковой волны про-
вести сравнение величины давления в переотраженной волне от
вогнутой части кругового полуцилиндра и от системы трех плоских
отражателей, касающихся цилиндрической поверхности в точках
зеркального отражения (рис. 7.2).
Источник высокочастотной сферической акустической волны
расположен в точке A, а приёмник в точке B. Расстояние от источника и приёмника до горизонтальной осевой плоскости полуцилиндра равны, обозначим их через x. Расстояние от горизонтальной осевой плоскости до первой точки зеркального отражения и от
второй точки отражения до горизонтальной осевой плоскости равны R / 2. Угол падения волны в точках зеркального отражения равен γ1 = γ2 = γ3 = π / 3. При такой траектории лучей длины векторов
**
yy
12
давление p(B) в точке B в зависимости от переменной x, которая
изменяется в интервале x∈(-R / 2,+∞).
(7.18) выписать аналитические выражения для давления в точке B в трехкратно отраженной акустической волне от круговой цилиндрической граничной поверхности отражателя и от системы
и
**
yy
23
равны
**
LyyR==
112
и
**
223
.LyyR==
Исследовать
С учетом принятых обозначений на основе формул (7.16) –
112 М. 7. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз
трех плоских твердых отражателей, расположенных на касательных плоскостях к цилиндрической поверхности в точках зеркального отражения.
Рис. 7.2. Трёхкратное отражение высокочастотной акустической волны от системы
трёх плоских отражателей и от вогнутой части полуцилиндра. В точке A помещен
источник круговой акустической волны, в точке B находится приёмник
Построить графики функции величины
RRPB от перемен-
()
ной x / R. Кривая 1 должна соответствовать отражению от системы трех прямолинейных отражателей, а кривая 2 должна соответствовать трехкратному отражению от кругового полуцилиндра
(рис. 7.2).
Сделать практические выводы.
7.3.2. Трехкратное отражение акустической волны
от вогнутой части полусферы
На примере трехкратного переотражения звуковой волны провести сравнение величины давления в переотраженной волне от
вогнутой части полусферы и от системы трех плоских отражате-
7.3. Проектные задания к модулю 7 113
лей, касающихся сферической поверхности в точках зеркального
отражения (рис. 7.3).
Источник высокочастотной сферической акустической волны
расположен в точке A, а приёмник в точке B. Расстояние от источника и приёмника до горизонтальной диаметральной плоскости
полусферы равны, обозначим их через x. Расстояние от горизонтальной диаметральной плоскости до первой точки зеркального
отражения и
от второй точки отражения до горизонтальной диаметральной плоскости равны R / 2. Угол падения волны в точках
зеркального отражения равен γ1 = γ2 = γ3 = π / 3. При такой траек-
тории лучей длины векторов
**
LyyR==
223
. Исследовать давление p(B) в точке B в зависимости
**
yy
12
и
**
yy
23
равны
**
LyyR==
112
и
от переменной x, которая изменяется в интервале x∈(-R / 2,+∞).
Рис. 7.3. Трёхкратное отражение высокочастотной акустической волны от системы
трёх плоских отражателей и от вогнутой части полусферы. В точке A помещен ис-
точник круговой акустической волны, в точке B находится приёмник
114 М. 7. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз
С учетом принятых обозначений на основе формул (7.16) – (7.18)
выписать аналитические выражения для давления в точке B в
трехкратно отраженной акустической волне от круговой сферической граничной поверхности отражателя и от системы трех плоских
твердых отражателей, расположенных на касательных плоскостях
к сферической поверхности в точках зеркального отражения.
Построить графики функции величины
ной x / R. Кривая 1 должна соответствовать отражению от системы
трех прямолинейных отражателей, а кривая 2 – трехкратному отражению от полусферы (рис. 7.2).
Сделать практические выводы.
RRPB от перемен-
()
МОДУЛЬ 8
РАССЕЯНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ УПРУГИХ ВОЛН
НА ПОЛОСТЯХ, ОГРАНИЧЕННЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
С НАПРАВЛЯЮЩИМИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
(ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА)
8.1. Комплексная цель модуля 8
Целью модуля является обобщение разработанного метода для
скалярной модели к исследованию высокочастотной дифракции
продольных и поперечных волн на произвольных гладких невыпуклых препятствий, находящихся в упругой среде. Взаимодействие на границах препятствий в упругих средах продольных и
поперечных волн с учетом их трансформаций одной в другую существенно усложняет дифракционную картину. Рассматривается
двумерная задача. На основе физической теории дифракции Кирхгофа получены дифракционные интегралы для всех типов отражений и трансформаций упругих волн. Излагается асимптотический метод оценки дифракционных интегралов, основанный на
методе стационарной фазы. В рамках ГТД получены явные выражения для перемещений в однократно отраженных и трансформированных упругих волнах.
В рамках двумерной задачи исследуется рассеяние продоль-
ных и поперечных упругих волн, излучаемых точечным источником на замкнутом гладком контуре произвольной формы. На основе асимптотической оценки дифракционного интеграла Кирхгофа
методом стационарной фазы получен главный асимптотический
член для амплитуды перемещений в случае отражения продольной волны в продольную, поперечной в поперечную, а также в случае трансформации продольной волны в поперечную и поперечной в продольную.
116 М. 7. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз
8.2. Содержание модуля 8
8.2.1. Постановка задачи
Пусть из точки x0 бесконечной упругой плоскости на граничный
контур l находящейся в ней полости падает круговая монохроматическая высокочастотная волна. Волна порождается сосредоточенной в точке x0 силой Qe
перемещения в точке y упругой плоскости определяются матрицей
Купрадзе [9].
() () ()
Uyx HkR R xy
() 2
k
Uyx k HkR HkR
js s k j s s
kkk
(, ) (, ) (, ), , 1,2
Uyx Uyx Uyx kj=+ =, (8.1)
k
()
()
jp p
,
()
00000
000
jjpjs
= − = −
Q
Q
i
4
ρω
,,,
00000
=+
Здесь ρ – плотность, λ, μ – коэффициенты Лямэ, kp = ω/cp, ks = ω/cs,
cp, cs – волновые числа и скорости продольной и поперечной волн,
δkj – символы Кронекера, H0 – функция Ханкеля первого рода нулевого порядка, y1 и y2 – декартовы координаты точки y.
Целью является исследование амплитудных характеристик рассеянного поля на поверхности полости, свободной от напряжений.
–iωt
, где ω – частота колебаний. При этом
2
∂
i
2
∂∂
yy
ρω
4
⎡⎤
⎢⎥
2
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
kj
δ
()
()
()
2
()
∂
yy
∂∂
kj
()
()
.
8.2.2. Метод решения
Рассеяние высокочастотной продольной волны на замкнутом гладком контуре полости, находящейся в упругой плоскости: p - p отражение, p - s трансформация
В данном пункте для двумерной задачи выписываются главные
члены асимптотики перемещений в отраженных продольной и поперечной волнах при отражении падающей продольной составляющей высокочастотной монохроматической круговой волны от
гладкого криволинейного замкнутого контура полости в упругой
плоскости. Показано, что явный вид главного члена асимптотики перемещений при отражении продольной волны в продольную
отличается с точностью до несущественного множителя, от давле-
8.2. Содержание модуля 8 117
ния, полученного в рамках лучевого решения такой же задачи коротковолновой дифракции акустических волн на абсолютно твердом рассеивателе лишь присутствием коэффициента отражения
продольной волны в продольную в случае упругой проблемы.
Зависимость характеристик задачи от времени монохромати-
ческая, в частности, для перемещений в упругой среде она имеет
вид: u(x
,t) = Re[ u(x1,x2) exp(-iωt) ].
1,x2
Матрица Купрадзе определяет в точке y упругой среды в ради-
xy
альном направлении
дольной ()()pyu
(p-волне) и поперечной ()()sy
q
q
=
0
ненулевые перемещения в про-
xy
0
u
(s-волне) волнах.
q
1
В высокочастотном режиме колебаний при kp→∞ и ks→∞ с учетом
асимптотики функций Ханкеля H0(kpR0) и H0(ksR0)
ik R
HkR e
()
00
p
HkR e
()
00
s
π
i
−
21
=+
π
=+
4
kkR
pp
π
i
−
21
4
kkR
π
ss
⎡⎤
0
p
e
⎢⎥
⎢⎥
R
⎢⎥
0
⎣⎦
ik R
⎡⎤
0
s
e
⎢⎥
⎢⎥
R
⎢⎥
0
⎣⎦
⎛⎞
⎜
⎜
O
1
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
⎛⎞
⎜
⎜
1O
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
0
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
0
,
kR >> ,
,
kR >> ,
01p
01s
в направлениях q и q1 имеем асимптотические представления перемещений в падающей волне
Q
p
()
() 1 O
uq
q
s
()
uq , (8.3)
q
1
q
yi e
=+
4
μπ
Q
() 1 O
yie
=+
4
2
k
21
p
2
kkR
k
s
q
1
μπ
q
21
1
kkR
ss
Q, qQ =
()
Здесь тангенциальное направление q1 перпендикулярно q.
ik R
⎡⎤
π
0
p
−
i
e
⎢⎥
4
⎢⎥
R
pp
i
−
,
⎢⎥
0
⎣⎦
π
ik R
0
s
e
4
R
0
Q, qQ =
()
q
1
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
⎝⎠
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
.
1
0
0
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
, (8.2)
Qq
и 1Qq– проекции силы Q на направления q и q1.
Компоненты вектора перемещений в отраженной от свободного
граничного контура волне в точке x упругой плоскости определяются следующим интегралом [10]
()
() [ (, )] ()
ux yx ydl= ⋅
ky
∫
l
k
TU u , 1, 2k = , (8.4)
118 М. 8. Рассеяние высокочастотных упругих волн на полостях, ограниченных…
()
k
∂
() () ()
kkk
⎡⎤
( , ) 2 div rot ,
yx
TU n n U (8.5)
y
⎢⎥
⎣⎦
=+ +×
где матрица Купрадзе
U
μλ μ
n
∂
()
k
(, )
yxU получается из матрицы
U
() ()
()
()
k
(, )
yxU
0
заменой x0 на x и R0 на Ryx= − . Ty – вектор силы в точке y,
u(y) – вектор полного поля перемещений на граничной поверхнос-
ти, n – внешняя нормаль к контуру l, направленная в сторону упругой среды.
Выделим в векторах полного перемещения на граничной поверхности и в векторе Ty в точке y слагаемые, определяемые продольной (p-волной) и поперечной (s-волной) волнами.
kk
() [ (, )] [ ( , )] (; ) (;)
ux yx yx yp ysdl=+⋅ +
kypys y
() [ (, )] (;) [ (,)] (;)
u x yx yp dl yx yp dl= ⋅ + ⋅ +
kyp yys y
{}
∫
l
TU u TU u
∫∫
ll
[ (, )] (;) [ (, )] (;)
TU u T U u . (8.6)
yp y y s y
∫∫
ll
() ()
TU TU u u
kk
() ()
kk
() ()
yx ys dl yx ys dl+ ⋅ + ⋅
[]
,
Первое и последнее слагаемые описывают p - p и s - s отражения, а второе и третье p - s и s - p трансформации.
Как и в классической геометрической теории дифракции, разработанной в задачах скалярной акустики [4] и развитой в задачах
динамической теории упругости [22], следует различать асимптотику в локальном и в глобальном смысле. В глобальной постановке ставится задача вычисления полного поля в точке x упругой
плоскости. В данном случае на основе представления (8.6) полное поле в точке x упругой среды складывается из выделенных в
(8.6) четырех интегральных слагаемых и падающей круговой волны. Асимптотическое решение, построенное ниже, имеет локальный характер и дает главный асимптотический член амплитуды
дифрагированного поля в малой окрестности любого луча, вышедшего из точки x0, отразившегося от поверхности полости в точке y*
и пришедшего в точку x. Очевидно, что такие лучи могут существовать только в том случае, если обе точки y* и x лежат в освещенной области.
8.2. Содержание модуля 8 119
Рассмотрим детально распространение в упругой среде про-
дольной (p) составляющей круговой волны (8.2) в фиксированном
направлении q, при котором p-волна взаимодействует со свободным контуром l полости и отражается от неё. При этом продольная волна (рис. 8.1) будет отражаться в p-волну (p - p отражение) и
трансформироваться в поперечную s-волну
Точки приема x и
x
будут различны и будут располагаться на лу-
(p - s трансформация).
чах, вдоль которых распространяются отраженные продольная и
поперечная волны. В этом случае точка y* пересечения гладкого
контура полости l с направлением
**
=q xy xy будет являть-
00
ся точкой зеркального отражения падающей p-волны (8.2). Ниже
получим формулы для амплитуд отраженных волн в точках при-
ема x и
x
.
Рис. 8.1. Однократное отражение высокочастотной продольной волны в продольную
(p - p отражение) и трансформация продольной волны в поперечную (p - s трансфор-
мация) на криволинейной границе полости, находящейся в упругой среде.
Случай p - p отражения. Направление падения волны
q = { -sinγ, -cosγ} отнесем к декартовой системе координат OX1X2 в
точке y*, ось ординат OX2 которой совпадает с внешней нормалью
n (направленной в сторону упругой среды) к контуру полости, а
ось OX1 совпадает с касательной к контуру в точке y*и ее направление указано на рисунке 8.1. В этой системе координат вектор q1
имеет координаты q1 = { -cosγ, sinγ}, а нормаль n = {0,1}.
120 М. 8. Рассеяние высокочастотных упругих волн на полостях, ограниченных…
Координаты вектора перемещений в отраженной волне определяются первым слагаемым формулы (8.6)
pk
() ()
() [ (, )] (, )
ux yx ypdl= ⋅
kyp y
TU u , 1, 2k = ,
∫
l
которое выпишем в развернутом виде с учетом n = {0,1}:
k
2
Uyx
∂
∑
1
m
=
()
()
mp
y
∂
2
,
()
k
()
U . (8.7)
()()
2
()
p
ux uyp yxuypdl
()
kmpy
⎡⎤
⎢⎥
2,div,,
=+
μλ
⎢⎥
∫
⎢⎥
l
⎣⎦
Приводимые ниже соотношения представляют главные члены
соответствующих асимптотических представлений при высоких
частотах колебаний.
Для асимптотической оценки при kp→∞ интеграла (8.7) используем асимптотические представления при kp→∞
3
k
()
div , 1 O
U
∂
ykyyykR
∂∂∂∂
yx e
U , (8.8)
()
p
k
()
jp
= − +
mpmkjp
3
k
p
4
k
μ
k
= − +
p
4
μ
21
2
π
s
,yy y ;
()
12
21
2
kykR
π
k
s
e
pkp
ik R
π
p
−
i
eRRR
4
R
,xx x ; yl∈ ; , , 1, 2kjm= ,
()
12
ik R
π
p
−
i
eR
4
∂
∂
R
∂∂∂
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
⎛⎞
⎜
⎜
1O
⎜
⎜
⎝⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
, (8.9)
yx
R
∂
yR
∂
−
11
==−
1
sin
γ
,
yx
R
∂
yR
−
22
==∂.
2
cos
γ
Здесь { -sinγ, cosγ} – координаты орта (yx)0 вектора yx.
После подстановки (8.8) и (8.9) в (8.7) получаем
2
kk
p
()
()
ux e y dl
k y
2,2 ,
yuyp uyp
Φμ μ λ
=++
() ( ) ( )
pp
= −
RR R
∂∂ ∂
yy y
∂∂ ∂
2
4
k
μ
s
12 2
12
π
i
−
2
4
Φ
()
π
∫
l
⎡⎤
⎛⎞
⎢⎥
⎜
⎜
⎢⎥
⎜
⎜
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
ik R
p
R
e
∂
y
∂
k
2
⎟
⎟
⎟
⎟
, (8.10)
R
.
Перейдем к локальной полярной системе координат r, θ в точке y*. При этом полюс совпадает с точкой y*, а полярная ось – с
осью OX1. Компоненты вектора перемещений приводятся к виду
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]