Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Асимптотические методы в гидроакустике. Учебное пособие
.pdf
1.2. Содержание модуля 1 21
го давления и ее нормальной производной на граничной поверхности:
(,) ()
xy py
sc
() [() (,) ]
px py xy dS
= −
∫
S
ΦΦ∂∂
nn
∂∂
yy
, (1.34)
y
если точка наблюдения x расположена во внешности области V.
Если бы и давление, и ее нормальная производная были одно-
временно известны на границе области S, то соотношение (1.34)
позволило бы выписать решение в произвольной точке акустической среды.
Однако, как хорошо известно из общей теории краевых задач,
обычно заданной на границе бывает либо сама неизвестная функция (краевая задача Дирихле), либо ее нормальная производная (краевая задача Неймана). Поэтому непосредственно формулу
(1.34) для вычисления рассеянного на препятствии волнового поля
применять нельзя. Дальнейшие рассуждения позволяют преодолеть указанную трудность.
Пусть для определенности препятствие – абсолютно твердое
тело, тогда имеем следующее граничное условие типа Неймана,
позволяющее упростить формулу (1.34):
pxy
= ⇒ =
nn
∂∂
yy
S
sc
0()()
px py dS
∫
S
(,)
Φ∂∂
. (1.35)
y
Далее воспользуемся известным из теории потенциала гранич-
ным свойством потенциала двойного слоя при x → y0 ∈ S:
(,) ()
yy py
(,)
xy
∫∫
∂
() ()
py dS py dS
SS
nn
∂∂
yy
→ +
yy
ΦΦ∂
00
. (1.36)
2
Тогда с учетом того, что
sc inc
() () ()
py py p y= −
00 0
, (1.37)
получаем основное интегральное уравнение для нахождения p(y)
на границе:
() (,)
py y y
00
− = ∈
∫
2
S
Φ∂
() ( ),
py dS p y y S
n
∂
y
inc
y
00
. (1.38)
Заметим, что в общем случае интегральное уравнение (1.38)
требует численного решения. Найденное таким образом граничное значение полного давления может быть подставлено в выра-
22 М. 1. Основные соотношения волновой гидроакустики
жение (1.35) для нахождения рассеянного волнового поля в произвольной точке x.
1.2.5. Рассеянное поле в дальней зоне
Формула (1.35) позволяет вычислить наиболее интересную в теории дифракции характеристику отражающей способности препятствия, а именно, диаграмму рассеяния в дальней зоне.
В трехмерном случае имеем:
ik x y
−
11
(,)
xy r ik r r
ΦΦ
∂∂∂ ∂∂
= ⇔⋅ = −
nrnrnn
∂∂∂ ∂∂
yy yy
(,)
xy
Φ
r
→∞
ee
==− (1.39)
44
xy r
ππ
ikr
enxy
4
π
Далее, при |x|→∞ можем оценить поведение расстояния в дальней зоне, причем, поскольку эта величина попадает в показатель
сильно осциллирующей экспоненциальной функции, необходимо
учесть не только главный, но и следующий член при большом x:
ikr
; cos( ^ )
y
.
222 222
123 112233 123
~1
x
→∞
Тогда, при |x|→∞ имеем
sc
( ) ~ ( ) cos( ^ )
px e py n x ye dS
ik
4
xπ
Следовательно,
sc
( ) ~ ( )cos( ^ )
px py n xe dS
()( )()rxy xy x y x y= − = − + − + − =
222
11 2 2 3 3
2( ) ~xxx xyxyxy yyy=++− + + +++
⎧⎫
⎪⎪
() ()
xy xy
⎪⎪
⎪⎪
xx
⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
⇒
ik x ik x y x
k
4
⋅⋅
− = −⇒
2
x
ik x ik x y x
ikr
~
eee
∫
xπ
⋅−
S
∫
S
()/
−⋅
yy
yy
(1.40)
x
.
()/
−⋅
()/
ik x y x
−⋅
. (1.41)
. (1.42)
1.2. Содержание модуля 1 23
В 2-мерном случае имеем:
/4 3 /4
i ikr i ikr
ππ
0
44 4
sc
( ) ~ ( ) cos( ^ )
px py n xe dl
iee kee
1
()~ ~
Hkx y
Φ
= −⇒ ⇒
22
ππ
(3/4)
ikx
ke
22
rk r k
ππ+
∫
xk
Φ
∂
r
∂
()/
ik x y x
−⋅
yy
22
k
∫
xπ
yy
sc
( ) ~ ( )cos( ^ )
px py n xe d
()/
ik x y x
−⋅
. (1.43)
1.2.6. Дифракция на круге малого радиуса (плоская задача)
Пусть a – радиус круга. Тогда имеем
inc
pe HkrryyΦ== =−
Если круг малый, то
11
~ln()
Φ
−⇒= ⋅ = −⋅= −
kr
222
πππ
nrn
yy
a
= .
Поэтому
ikx
1
;();
∂∂∂ ∂
∂∂∂ ∂
cos , sin , cos , sinya a y a aθθ ψψ== (1.45)
{}{ }
{}
0
cos , sin , cos( ^ )
===
θθ
{}
cos (cos cos ) sin (sin sin )
θθ ψ θθ ψ− + −
i
(1)
00
4
ΦΦ
nrn rn r
yy y
rr
0
. (1.44)
cos( ^ )
rn
(cos cos ), (sin sin )ryy a aθψ θψ= − = −−
()
rn
⋅
y
r
r
y
Φθψ
∂−−
na
∂
y
11cos()
= − =
2
π
(cos cos ) (sin sin )
θψ θψ
− + −
11cos( ) 1
= − = −
2 2 1 cos( ) 4aa
−−
πθψπ
−−
[]
22
θψ
.
(1.46)
24 М. 1. Основные соотношения волновой гидроакустики
Отсюда вытекает основное интегральное уравнение для давления на круге малого радиуса:
2
() 1
p
ψ
24
π
() ( ), ( ) ~
pd p d ad
+= =
~()
θθ ψ θ
∫
π
0
() 1
p
ψ
+=
24
inc
2
π
pd e
θθ
∫
π
0
(1.47)
y
cos
ika
ψ
.
Если проинтегрировать это уравнение по отрезку [0,2π], то получим
222
πππ
22 2
ππ π
() {1 cos [()]} 2 [()],
p d e d ika O ak d O ak
θθ ψ ψ ψ π==++=+
∫∫ ∫
00 0
11
() ()
pd pd e d
ψψ θθ ψ+= ⇒
∫∫∫
22
000
cos 2 2
ika
ψ
ika
cos
ψ
(1.48)
поэтому с точностью до O[(ak)2] из уравнения (5.8) получаем следующее представление для полного давления на поверхности
круга
cos
ika
( ) 2 1 2(1 cos ) 1 1 2 cos
pe ika ika
ψψψ= −≈ + − =+ . (1.49)
ψ
Каково рассеянное поле в дальней зоне? Если
( cos , sin ), ( cos , sin ), cos ,sin
xR R ya a nαα ψψ ψψ== =
{}
y
, (1.50)
тогда в дальнем поле
cos( ^ ) cos( ^ )
cos( ^ ) cos( )
nxy
−≈ ==−
y
() (coscos sinsin)
xy Ra
⋅ +
==−
xR
nxy nx−≈ ⇒ (1.51)
yy
()
nx
⋅
y
(cos cos sin sin )
R
ψα ψα
+
xR
ψα ψα
cos( )
a
ψα
,
ψα
поэтому интеграл в формуле (1.43) для рассеянного поля в плоской
задаче, с точностью до малых порядка O[(ak)2], имеет вид
1.2. Содержание модуля 1 25
()/
ik x y x
()cos( ,^)
py n xe dS
∫
=+ −⋅ =
=+ + =
aika ikaαπ π α
=+⋅ = −−
2
π
(1 2 cos ) cos( )
aik e d
∫
0
2
π
12 cos( )cos
aika ed
[]
∫
0
2
π
cos [(1 cos ) 2 cos( )]aikaikad
ψψψαψ= − ++=
∫
0
⎛⎞
ika
−
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
22
ψψα ψ
1
2cos2 (12cos)
−⋅
yy
ψα ψ ψ
⎟
⎟
⎟
⎟
=
ika
−−
cos( )
ψα
ika
−
cos
ψ
2
. (1.52)
Следовательно, если мы интересуемся зависимостью амплиту-
ды рассеяния от угла наблюдения A(α), то с точностью до несущественного множителя получаем:
( ) ~ 1 2 cos , 0 2A αααπ− << . (1.53)
1.2.7. Низкочастотная дифракция на твердом экране
Рис. 1.3. Рассеяние плоской акустической волны
на абсолютно твердом плоском экране
26 М. 1. Основные соотношения волновой гидроакустики
Рассмотрим нормальное падение плоской акустической волны, распространяющейся вдоль оси x1:
pe= , на твер-
inc
ikx
1
дой пластине длиной 2a (рис. 1.3). Если взять замкнутый
контур , охватывающий пластину и близко прилегающий к ней,
то в произвольной точке x=(x
) вне этого контура выполняется
1,x2
основное интегральное соотношение (1.34), которое приводит к
следующему представлению
(,) () (,)
xy py xy
ΦΦ
sc
() [() (,) ] ( )()
px py xy d py d
= − =+ =
∫∫∫
()()
∂∂ ∂
∂∂ ∂
nn n
Φ
yy y
a
+ −
ppy d
= −
∫
a
−
yy
+ −
ll
Φ
∂
. (1.54)
y
n
∂
y
Если взять нормальную производную от последнего соотношения по переменной x, предполагая, что эта точка находится вблизи граничного контура, а затем устремить эту точку на контур:
xy→∈
Введем новую неизвестную функцию ()|()pp gy
:
0
sc
p
∂∂
= −
nn n
∂∂ ∂
yy y
00
a
+ −
()()
ppy d
∫
a
−
(,)
Φ
∂
yy
0
. (1.55)
y
+ −
− =
физический смысл которой – скачок давления при прохождении
сквозь пластину ( т. е. разность давлений слева и справа от пластины).
Вспомним также, что p = p
условия ( / )| 0 ~ ( / )| ( / )|
pn p n p n ik∂∂ = ∂∂= −∂ ∂ = −
к основному интегральному уравнению по пластине
a
∂
∫
nn
∂∂
yo y
a
Φ−∂
() , ( ,)
gy d ik y aa
inc
+ psc, поэтому в силу граничного
sc inc
(,)
yy
0
= −∈−
. (1.56)
y
, приходим
0
Для решения этого уравнения заметим, что мы рассматриваем
низкочастотный режим дифракции, когда волновое число k = ω / c
мало. Тогда функция Грина
,
Φ
111
ln( ) ,
≈− ⇒ = −⋅ = −⋅
kr
222
πππ
где
()()
ryy yy
= − + −⇒ = −⋅
101 202
22
Φ
∂∂∂
nrnry
∂∂∂
yy
rr
r
∂
nrrπ
∂
1
2
y
(1.57)
1
yy
−
101
, (1.58)
1.2. Содержание модуля 1 27
поэтому
2
Φ
∂
nn
∂∂
0
yy
11
==
22
22()
ryy
ππ
−
202
. (1.59)
Следовательно, основное уравнение (1.56) принимает следую-
щий вид
a
1()
2
gy
∫
π
()
yy
−
a
−
dy ik x a
2
0
,||
= − <
. (1.60)
Для построения решения этого уравнения проинтегрируем по
частям:
aa
() () '()
gy gy g y
dy dy
∫∫
()
yy
−
aa
−−
= − +
2
0
a
yy yy
−−
00
a
−
, (1.61)
откуда, в силу того что при приближении к концам твердого экрана скачок давления (а следовательно, и функция g(y)) должен
исчезать, вытекает, что внеинтегральный член в (1.61) исчезает.
Тогда приходим к сингулярному интегральному уравнению с
ядром типа Коши, решение которого хорошо известно из теории
сингулярных уравнений
aa
'( )
gy ik
∫∫
yy yy
−−
aa
−−
0 0
;'()
ik g y C
= − = −−
2
ay
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
22
⎢⎥
−
⎣⎦
22
aydy
−
00
. (1.62)
Сингулярный интеграл в (1.62) является табличным:
a
22
aydy
−
∫
a
−
00
yy
−
0
y
π
=
(1.63)
Поскольку в нашей задаче функция g(y) по физическому
смыслу четная, то функция g′(y) нечетная, следовательно, с учетом
(1.62) и (1.63), константа C = 0. В результате решение основного
интегрального уравнения принимает следующий вид:
iky
'( )
gy
=
2
π
22
ay
−
. (1.64)
Теперь вычислим рассеянное волновое поле в дальней зоне.
Пусть x = (Rcosα, Rsinα), тогда имеем
28 М. 1. Основные соотношения волновой гидроакустики
()/
ik x y x
sc iky
( ) ~ ( )cos( ^ ) ( )cos
px py n xe dl gy e dy
∫∫
la
==
aa
ππ
=
22
ykydy
∫∫
22 22
ay ay
−−
−−
aa
−⋅
yy
cos
ik
a
α
cos
edy
'( )
gye dy
∫
α
−
a
cos
α
−
iky
~cos
a
= ⋅ =
−
cos
α
−
iky
α
2
α
α
cos
−
, (1.65)
где в средней части преобразований было применено интегрирование по частям.
Таким образом, окончательная форма диаграммы рассеяния, т.
е. зависимости амплитуды рассеяния от угла наблюдения, с точностью до несущественного множителя, не зависящего от α ,
( ) ~ cos , 0 2A αααπ<< . (1.66)
1.2.8. Метод стационарной фазы
Как известно, на основе уравнения Гельмгольца (1.9) можно получить интегральное представление Кирхгофа [20] для поля дав-
ления
Если рассматривать высокочастотные звуковые волны в жидкой среде, то при исследовании поля давления на основе интегральных представлений возникают интегралы от быстро осциллирующих функций, для асимптотического анализа которых можно
воспользоваться методом стационарной фазы.
Теорию метода стационарной фазы можно найти в литературе
[17]. Приведем необходимые в дальнейшем формулы. Рассмотрим
интеграл типа
()pr
.
b
Ifxedx
=
∫
a
()
ϕ
ik x
()
. (1.6)
Здесь f(x) – медленно меняющаяся в промежутке [a,b] амплитудная функция; ϕ(x) – фазовая функция; k – большое число.
Приближенное значение интеграла (1.6) определяется выражением
1.2. Содержание модуля 1 29
π
ϕ
()
ik x i
±
0
′′
()
x
0
4
. (1.7)
2
Ifx
=
k
π
e
()
0
ϕ
Здесь x0 – корень уравнения ϕ′(x0) = 0. Точка x0 называется точ-
кой стационарной фазы, поскольку вблизи этой точки фаза ϕ(x) меняется наиболее медленно. Знак показателя экспоненты совпадает со знаком величины ϕ″(x0). Таким образом, величина интеграла
пропорциональна амплитуде, вычисленной в точке стационарной
фазы. Фаза результирующего колебания также определяется фазой в стационарной точке. Кроме того, в выражение (1.7) входит
величина ϕ″(x0). Она определяет кривизну фазовой функции в стационарной точке. Следует заметить, что применение метода стационарной фазы требует, чтобы велико было не k, а kϕ″. Это означает,
что точность метода определяется не расстоянием от поверхности
до точки наблюдения, а скоростью изменения фазовой функции.
Может оказаться, что стационарных точек несколько. В этом случае величина интеграла определяется суммой членов типа (1.7),
соответствующих каждой из точек стационарной фазы.
Метод стационарной фазы для многократных интегралов. Ме-
тод стационарной фазы может быть применен также и к многомерным интегралам. Рассмотрим интеграл следующего вида:
∞∞
... ( , ,..., ) ...
I e f x x x dx dx dx
=
∫∫
−∞ −∞
( , ,..., )
ik x x x
ϕ
12
n
12 1 2
nn
.
Асимптотические формулы для интегралов подобного типа по-
лучены в монографии [17]. Выпишем главный член асимптотики
n
2
⎛⎞ ⎡ ⎤
2
ππ
⎟
⎜
IikxxxfxOk
=+ +
⎜
⎜
⎝⎠
k
⎢⎥
exp ( ) ( ) det ( ) ( ) ( )
⎟
⎟
⎟
ϕϕ ϕ
⎢⎥
⎣⎦
i
00001
′′ ′′
xx xx
4
1
−
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
−
.
Здесь
0000
( , ,..., )
xxxx= – стационарная точка фазы ϕ, которая
12
n
определяется из уравнения
′′
а 0()
xϕ
– матрица Гессе, элементы которой определяется по фор-
xx
мулам
grad 0ϕ =
,
30 М. 1. Основные соотношения волновой гидроакустики
200 0
(,,,)
xx x
′′
() ,
xx i j
ϕϕ∂
=
,
12
∂∂
xx
ij
…
n
, 1,2,...,ij n=
,
а 0sgn ( )xxxϕνν
′′
= −
, где ν+(ν–) – число положительных (отрица-
+ −
тельных) собственных значений матрицы Гессе.
1.3. Тест рубежного контроля к модулю 1
Задание 1. В центре вогнутой части полуокружности, которая является границей акустически твёрдого препятствия, находится точечный источник давления. Можно ли для дифракционного интеграла Кирхгофа выписать главный член асимптотики в
виде (1.7). Обоснуйте почему?
а) да;
б) нет.
Задание 2. Уравнение Гельмгольца (1.9) является дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка.
Укажите тип этого уравнения:
а) эллиптический;
б) гиперболический;
в) параболический.
Задание 3. В бесконечной акустической среде находятся два
одинаковых акустически твёрдых шаровых препятствия. Возможно ли двукратное переотражение высокочастотной акустической
волны, вызванной точечным источником давления, вдоль траектории, представляющей собой пространственную ломаную линию.
Если возможно, то приведите пример такого переотражения:
а) возможно;
б) невозможно.
Задание 4. Какая локальная характеристика в фиксированной
точке поверхности определяет форму поверхности в малой окрестности этой точки: K = k1k2 – гауссова кривизна или H = (k1+k2) / 2 –
средняя кривизна поверхности (k1 и k2 – главные кривизны поверхности в рассматриваемой точке).
а) H;
б) K.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]