Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Асимптотические методы в гидроакустике. Учебное пособие
.pdf
Введение 11
ражения продольной волны в продольную, поперечной в поперечную, а также в случае трансформации продольной волны в поперечную и поперечной в продольную.
Модуль 9 посвящен аналитическим свойствам волновых полей
в акустическом слое постоянной толщины. Рассматривается случай двумерной задачи. К волновому уравнению в гармоническом
режиме применяется преобразование Фурье, в результате удов
летворения граничным условиям формула для акустического давления сводится к одномерному интегралу Фурье. Использование
теории вычетов в сочетании с обобщенной леммой Жордана сводит
это представление к ряду в виде разложения по модам, который
сходится как геометрическая прогрессия. Излагается физическая
трактовка полученных выражений.
-
МОДУЛЬ 1
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ВОЛНОВОЙ
ГИДРОАКУСТИКИ
1.1. Комплексная цель модуля 1
Целью модуля 1 является краткое изложение основных уравнений звуковых волн и типов граничных условий в задачах дифракции акустических волн. Поскольку в пособии коротковолновая
дифракция исследуется на основе интегральных представлений,
то в модуле 1 приводятся основные положения метода одномерной
и многомерной фазы.
1.2. Содержание модуля 1
1.2.1. Основные уравнения линейной акустики
Определяющие соотношения линейной акустики являются линеаризованными уравнениями общих нелинейных соотношений
газовой динамики при малых скоростях возмущений.
Пусть в невозмущенном состоянии жидкой или газообразной
среды ее плотность ρ0 и давление p0 постоянны, а скорость
Тогда полное давление равно p = p0 + p′, возмущенная плотность
ρ = ρ0 + ρ′, а скорость v = v′, где значения со штрихами являются
малыми величинами, по которым необходимо произвести линеаризацию. Тогда уравнения движения Эйлера
0v = .
0
v
в случае малых колебаний (линеаризованные уравнения) принимают вид
∂
ρρ
∂
vv p
+ ⋅∇ +=
()
t
'
v
∂
ρ
+=
0
t
∂
grad 0
grad ' 0
p
(1.1)
. (1.2)
1.2. Содержание модуля 1 13
Предположим, что жидкость баротропная. Тогда уравнение со-
стояния p = p(ρ) ⇔ ρ = ρ(p) в линеаризованной форме:
p
pp p c constρρ ρ
=+ −⇔=+∂, (1.3)
∂
()
00
ρ
2
''
где величина
p
∂
2
c ρρ
()
==∂, (1.4)
ρ
0
называется скоростью звука в данной среде. Легко проверить,
что размерность величины c есть м/с, что оправдывает ее название. Кроме того, из физических соображений ясно, что для реальных сред зависимость плотности от давления является монотонно
возрастающей, следовательно, величина ∂p/∂ρ > 0, поэтому c2 > 0.
Таким образом, скорость звука всегда величина реальная и положительная.
Уравнение неразрывности
ρρ∂
div 0v
+=
t
∂
()
(1.5)
в линеаризованном виде
'
ρρ∂
t
div ' 0v
+ ⋅ =∂. (1.6)
()
0
Выведем из уравнений (1.2), (1.3), (1.6) волновое уравнение
(штрихи в дальнейшем опускаем). Для этого продифференцируем
уравнение (1.6) по ∂t и подставим в него
/vtρ ∂∂, выраженное из
0
уравнения (1.2):
22
ρρ
∂∂
div(grad )pp
= ⇔ =
22
tt
∂∂
Δ
. (1.7)
Тогда из этого уравнения с учетом (1.3) вытекает:
2
p
∂
∂
t
2
cp
=
2
Δ
(1.8)
– волновое уравнение.
Если колебания гармонические по времени:
(,,,) Re{ (,,)}
px yzt e px yz
=
it
ω−
, где новая функция
не зависит от
p
времени, то имеем (знак реальной части и тильды в дальнейшем
опускаем)
14 М. 1. Основные соотношения волновой гидроакустики
2
0pkpΔ +=
, (1.9)
где k = ω / c – волновое число.
Уравнение (1.9) называется уравнением Гельмгольца.
Задача дифракции формулируется следующим образом. На
тело, находящееся в жидкости и ограниченное поверхностью S, падает волна p0. В результате рассеяния возникает новое поле p, которое можно представить в виде p = p0 + ps, причем разница между новым полем и первоначальным называется рассеянной волной
ps. Требуется определить ps таким образом, чтобы полное поле p на
поверхности S удовлетворяло одному из следующих граничных условий:
1) 0
p = – задача Дирихле, соответствующая дифракции зву-
S
ка на абсолютно мягкой поверхности;
pn∂
2)
0
=∂ – задача Неймана, соответствующая дифракции на
S
абсолютно жесткой поверхности;
⎡⎤
p
∂
⎢⎥
3)
⎢⎥
∂
⎣⎦
pnσ
+=
– смешанная (или третья) краевая задача, соот-
0
S
ветствующая дифракции на импедансной поверхности [15].
1.2.2. Простейшие виды волн
Очевидно, что любая функция вида
где
{,, }nnnn= – единичный вектор,
123
(),pfnrct= ⋅ ±
ет волновому уравнению (1.8). Проверим это:
pnnnf f cf
Δ
=++ = =∂. (1.11)
()pfnx nx nx ct=++±;
11 2 2 3 3
222 2
();
123
′′ ′′ ′′
Найдем координатное множество, на котором эта функция постоянна. Это соответствует постоянству аргумента:
n r ct const n r const ct⋅ ±= ⇔⋅= ∓ . (1.12)
(1.10)
{,, }rxxx= , удовлетворя-
123
2
p
∂
2
t
1.2. Содержание модуля 1 15
Из аналитической геометрии известно, что если единичное на-
правление {cos ,cos ,cos }n αβγ= , то уравнение x1cosα + x2cosβ +
cosγ - q = 0 определяет плоскость с нормалью n , отстоящую от
+ x
3
начала координат на расстояние q.
В нашем случае
нат равно
()dt const ct= ∓
{,, }nnnn= , а расстояние до начала коорди-
123
. Эта плоскость называется фронтом
волны, а направление n определяет единичную нормаль к этому фронту. При этом скорость, с которой фронт волны удаляется от
начала координат:
()dt c=∓
(1.13)
определяет скорость распространения фронта.
Волны бывают и неплоские.
Сферическая волна:
1
(), ( )p frct rr xxx
=± ==++,
r
22
22pp
∂∂ ∂ ∂
ΔΔ
=+ ⇒ =+ =
22
rr r r
∂∂
rr
∂∂
222
1()
rp f p c
∂∂
= ⇒ ==
22
rrr
rt
∂∂
p
pf
Δ
222
123
′′
;
1
2
(1.14)
′′
,
поэтому волновое уравнение (1.8) автоматически выполняется.
Здесь фронт волны описывается множеством
r ct const r±= ⇔ =
const ct= ∓ . Очевидно, в любой момент времени t – это сфера. Ско-
рость распространения фронта волны по-прежнему равна
()rt c=∓
Таким образом, скорость распространения фронта и плоской, и сферической волны равна скорости звука в данной акустической среде.
В гармоническом режиме колебаний с частотой ω, когда ком-
плексная амплитуда давления (или просто «функция давления»)
удовлетворяет уравнению (1.9), будем разыскивать плоскую волну в виде
pf kf f Ae AeΔ
()( )pfnr fnx nx nx= ⋅ =++⇒
2
′′
=+ =⇒ =+ . (1.15)
11 2 2 3 3
0
12
ikn r ikn r
⋅−⋅
Рассмотрим, какой знак отвечает за распространение волны
вдоль n , а какой – вдоль n− .
.
16 М. 1. Основные соотношения волновой гидроакустики
t
ωω
t knr const d nr const d c
ω ± ⋅ = ⇒ = ⋅ ===⇒
()
itknr it iknr
вдоль
nAe Ae e
ωω−−⋅ − ⋅
:
= ⋅
;;
∓∓∓
kk
. (1.16)
Длина волны λ определяется как наименьшее расстояние в направлении вектора n , для которого фаза колебаний (т. е. аргумент
экспоненциальной функции в уравнении (1.16)) в точке, определяемой радиус-вектором r и радиус-вектором rnλ+ , совпадают:
λk = 2π ⇒
22cf
ππ
λ
== =, (1.17)
k
ωω
где ω = 2πf.
При этом ω называется круговой частотой колебаний и измеряется в рад/с, а f называется просто частотой колебаний и
измеряется в 1/с = Гц.
1.2.3. Отражение плоской волны
от границы раздела двух сред
Рис. 1.1. Преломление плоской волны на границе раздела двух сред
1.2. Содержание модуля 1 17
Пусть из верхнего полупространства 1 на плоскую границу раздела с полупространством 2 падает плоская гармоническая во времени волна с круговой частотой ω (рис. 1.1). Пусть скорость звука в
этих средах равна соответственно c
волновые числа в них k
= ω/c
1,2
и c2, а плотность ρ1 и ρ2. Тогда
1
. Как обычно, полное давление в
1,2
комплексном виде можно представить в виде произведения гармонического во времени множителя и комплексной амплитуды, причем последняя удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
−
epr pkp k
В первой среде p1 = p
it
ω
(): 0,
inc
+ psc, где p
2
Δ
+= =
1,2 1,2
⎛⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
inc
– падающая известная плос-
ω
⎟
⎟
. (1.18)
⎟
⎟
⎟
c
1,2
кая волна, а psc – неизвестная отраженная (рассеянная на границе) волна. При этом падающая волна плоская
ik n r ik x y
inc
pe e n
⋅−
11
== =− , (1.19)
(sin cos)
θθ
;{sin,cos,0}
θθ
причем θ – угол между нормалью N к границе раздела двух сред и
направлением распространения фронта падающей волны n (угол
падения).
Будем искать решение для рассеянной волны и волны, прошедшей в нижнее полупространство, в виде плоских волн:
ik n r ik x y
sc
pRe Re n
== =
pTe Te n
== =
22
⋅ +
11 1
ik n r ik x y
⋅−
22 2
(sin cos )
αα
(sin cos)
ββ
;{sin,cos};
1
;{sin,cos}
αα
ββ
, (1.20)
где ни угол отражения α, ни угол преломления β пока неизвестны
и должны быть определены из граничных условий. Заметим, что
физический смысл неизвестных постоянных R и T состоит в том,
что первая из них равна коэффициенту отражения (R) падаю-
щей волны в верхнем полупространстве, а вторая – коэффициен-
ту прохождения (T) этой волны во второе полупространство.
Перейдем к формулировке граничных условий, которые состоят
в том, что на границе идеального контакта двух акустических сред
должна быть обеспечена непрерывность давления и нормальной
составляющей скорости: при y = 0 имеем
pp
∂∂
11
pp
,
==
12
12
yyρρ
∂∂
12
. (1.21)
18 М. 1. Основные соотношения волновой гидроакустики
Заметим, что второе равенство следует из уравнения (1.2), если
его записать для выражения скорости через давление в гармоническом режиме.
Граничные условия (1.21) дают два соотношения
sin sin
ik x ik x
sin
ik x
θ
( cos cos ) cos
kR e e kT e
12
1
eRe Te
ik x ik x
αθ β− = ,
+= (1.22)
sin sin
αβ
1 2
αβ
12
sin
ik x
θ
1
которые должны выполняться тождественно для ∀x∈( ∞,∞). Это воз-
можно лишь при выполнении следующих соотношений:
1. Закон отражения. Угол падения равен углу отражения:
. (1.23)
αθ=
2. Закон преломления (закон Снеллиуса):
sin sinkkθβ=
12
sin sin
⇔ = . (1.24)
θβ
cc
12
Кроме того, после некоторых упрощений в (1.22) имеем два
уравнения для двух неизвестных R и T:
cos cos
1,RT+=
θβ
(1)RT
− = − . (1.25)
cc
ρρ
11 2 2
Решением этой системы является пара
ZZ
R
=
21
ZZ
,
+
21
−
T
=
2Z
2
ZZ
, (1.26)
+
21
где величины
cZρ
11
= ,
1
cos
θ
cZρ
22
= (1.27)
2
cos
β
соответственно импеданс верхней и нижней среды.
1.2.4. Основы теории дифракции
Пусть в безграничной акустической среде имеется некоторая
известная акустическая волна. Тогда при встрече с каким-либо
препятствием структура этой волны начинает изменяться. Любое
изменение волнового поля из-за взаимодействия с препятствием
называется дифракцией.
1.2. Содержание модуля 1 19
Наиболее характерная картина дифракции получается при
распространении плоских акустических волн. Пусть вдоль положительного направления оси x
распространяется плоская моно-
1
хроматическая волна с частотой ω:
in c ik n r
pe e n
()
== = . (1.28)
ikx
⋅
1
; 1,0,0
{}
Тогда, если бы на пути распространения волны не было ника-
ких препятствий, то не было бы и дифракции, т. е. полное давление в волне было бы p = p
inc
. На самом же деле имеется препятс-
твие (рис. 1).
Рис. 1.2. Рассеяние плоской акустической волны
на абсолютно твердом препятствии
Поэтому p = p
inc
+ psc, где psc – рассеянное волновое поле. Рассе-
янное поле должно удовлетворять условию уходящей на бесконечность волны (условие излучения на бесконечность) и, как правило,
именно оно является основной искомой величиной в задачах дифракции.
Возьмем элементарное решение уравнения Гельмгольца:
⎧
i
⎪
(1)
⎪
Hkxy
⎪
0
⎪
4
⎪
⎪
=
Φ
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
4
⎪
⎪
⎩
−
()
e
1
xy
π
ik x y
−
, (1.29)
−
20 М. 1. Основные соотношения волновой гидроакустики
где первая строка соответствует двумерной задаче, а вторая – трехмерной задаче, y – ∀ текущая точка пространства, x – ∀ фиксированная точка. Функция Φ регулярна, удовлетворяет уравнению
Гельмгольца во внешности V
по переменной y и условию излуче-
ε
ния на бесконечности. Кроме того, рассеянная волна также удовлетворяет уравнению Гельмгольца во внешности препятствия, занимающего область V. Тогда
2
sc
pkpΔ+= (во внешностиV ) (1.30)
y
kΔΦ+ Φ= (во внешностиVε),
y
0,
2
0,
где нижний индекс у оператора Лапласа показывает, что этот
оператор действует по переменной y=(y1,y2,y3). При этом точка
x=(x1,x2,x3) считается произвольной, но фиксированной в пространстве. Для определенности пока рассматриваем только трехмерный
случай, так как все окончательные результаты справедливы и в
2-мерной задаче.
Умножим первое уравнение в (1.30) на Φ, а второе – на psc(y).
Тогда применение формулы Грина приводит к соотношению
sc
Φ
0( )( )
= − = −
∫∫
3
()
RVV
− +
sc sc sc
ppdVp dS
ΔΦ ΦΔ Φ
yy
ε
SS
+
∂∂
nn
∂∂
E
p
. (1.31)
yy
Далее легко доказывается непосредственно, что и для двумерного и для трехмерного случая
sc
p
∂∂
∫∫
nn
∂∂
yy
SS
εε
sc sc
() [ () (,) ]
px py xy dS
⇒ = −
0, ( );
dS p dS p x
→→−⇒
0
ε
→
∫
S
Φ
sc sc
ε
→
(,) ()
xy p y
ΦΦ∂∂
nn
∂∂
yy
sc
(1.32)
0
.
y
Но внутри V имеем:
22
0( ) ( )
⇒ = − = −−
∫∫
VS
inc inc
pkp kΔΔΦΦ+= +=⇒ (1.33)
yy
inc inc inc
ppdVp dS
ΔΦ ΦΔ Φ
yy
0; 0
Φ
∂∂
nn
∂∂
inc
p
yy
,
поэтому сложение двух последних формул дает основное интегральное представление рассеянной волны через значение полно-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]