Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Асимптотические методы в гидроакустике. Учебное пособие
.pdf
8.2. Содержание модуля 8 121
()
ik R
p
e
, (8.11)
R
2
.
2
k
()
p
ux e y dl
()
= −
ry
() ( ) ( )
2 sin cos , 2 cos ,yuypuypΦμγγ μγλ
= − ++
p
2
π
k
4
μ
s
()
p
uxθ= ;
12
π
−
i
2
4
k
p
() 0
Φ
∫
l
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
При асимптотической оценке интеграла Кирхгофа в формуле
(8.11) компоненты полного поля перемещений uk(y,p), k = 1,2 под
знаком интеграла следует выбрать как решение локальной задачи
дифракции об отражении плоской падающей p-волны от прямой
границы упругой полуплоскости [5; 6].
⎛⎞
⎜
uyp V y V y u y
() () ()()()
1 1
⎜
;1 1sin
=+ −−
⎜
pp ps q
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
(; ) 1 tg
uyp V y V y u yγ= −− , (8.12)
22
()
k
s
sin
k
γ
p
() ()
pp ps q
2
k
p
2
γ
2
k
s
p
()
()
⎟
p
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
,
где Vpp и Vps – коэффициенты p - p отражения и p - s трансформации [5; 6], а
p
()
yu в падающей p-волне (8.2).
()
q
()
uy и
()
1pq
()
uy – компоненты вектора перемещений
()
2pq
1
V
pp
⎡⎤
4ctg ctg 1 ctg
= −−
⎢⎥
⎣⎦
z
V
ps
4ctg ctg 1 ctgz γγ γ=+− .
γγ γ
4
ctg 1 ctg
γγ= − , (8.13)
z
()
11
()
()
11
2
22
1
2
,
2
Угол γ1 – угол между нормалью и направлением отражения
s-волны при p - s трансформации.
Подставляя (8.12) и (8.2) в (8.11) получаем следующее интег-
ральное представление радиального перемещения в отраженной
p-волне.
122 М. 8. Рассеяние высокочастотных упругих волн на полостях, ограниченных…
22 2
Q
kk k
ppp p
()
ux V V
()
r pp ps
⎛⎞
k
⎜
s
⎜
+ −−−+
⎜
⎜
k
⎜
⎝⎠
q
= −−−++ − +
2
2
p
22 2
πμ
4
kk k
ss s
2
2sin cos 1 sin
γγ γ
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
∫
⎪
2
⎪
l
⎪
⎩
⎟
⎡⎤
⎟
⎟
⎢⎥
⎟
⎣⎦
⎟
⎡⎤
⎢⎥
γγ γ
sin2 sin 1 1 sin
VV dl
()
()
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
pp ps y
k
s
k
p
⎫
⎪
e
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
ik R R
+
()
0
p
RR
0
2
(8.14)
Подстановкой соотношений (8.13) в подынтегральное выражение (8.14) аналитически доказывается, что
⎧
22
⎪
kk
⎪
pp
⎪
−− ++ − +
⎨
22
⎪
2
kk
⎪
ss
⎪⎣ ⎦
⎩
2
⎛⎞
k
⎜
s
⎜
+ −−−+=
2sin cos 1 sin cos
⎜
2
⎜
k
⎜
⎝⎠
p
⎡⎤
⎢⎥
sin2 sin 1 1 sin
γγ γ
⎢⎥
⎢⎥
⎟
2
⎡⎤
⎟
γγ γ γ
⎟
⎢⎥
⎟
⎣⎦
⎟
VV
()
()
k
pp ps
s
k
p
VV V
pp ps pp
2
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
.
Полученное соотношение позволяет получить следующее основ-
p
ное представление
()
ux (после вынесения медленно меняющих-
()
r
ся функций за знак интеграла в высокочастотном приближении):
2
Q
k
cos
= −
*
q
4
πμ
k
,Lxy= −
p
()
ux Vy dl
()
rppy
00
p
2
s
LL
*
γ
0
,Lyx= −
*
()
p
ik
ϕ
p
p
e
∫
*
l
xy yxϕ = − + − (8.16)
0
, (8.15)
,
Лучевое представление можно получить из (8.15), используя
метод стационарной фазы [17]. При оценке интеграла (8.15) необходимо учитывать точки y из малой окрестности l* точки y*. Малую окрестность точки y*∈l* отнесем к правой локальной декартовой системе координат OX1X2. Тогда произвольная точка y∈l* из
окрестности точки y* будет иметь координаты
,0,5ys k sΔΔ, где
()
2
()
Δs – приращение дуги вдоль контура l*, 1k ρ−= – кривизна, а ρ –
радиус кривизны кривой l* в точке y*, который должен быть взят с
истинным знаком – положительным для выпуклой кривой и отри-
цательным для вогнутой.
8.2. Содержание модуля 8 123
}
Применим к треугольникам x0y*y и xy*y теорему косинусов.
22
00 0 0
2*
22
2*
2cosxy L L xyy− =+ −∠ssΔΔ ,
2cosxy L L xyy− =+ −∠ssΔΔ .
Из скалярных произведений векторов { sinγ, cosγ} – орт вектора
y*x0,
,0,5sksΔΔ=sΔ и { -sinγ, cosγ} – орт вектора y*x, Δs со-
{
2
()
ответственно следует
cos sin 0,5 cosxyy s sΔγ Δ γ
cos sin 0,5 cosxy y s sΔγ Δ γ
*
∠ =+sΔ ,
02
*
∠ = − +sΔ .
1
ρ
1
Если пренебречь величинами, малыми по сравнению с
()
()
2
ρ
2
2
2
sΔ
, то
()
для расстояний 0xy− и xy− получаем представления:
⎛⎞
−
12
− =+ + +
00 0
− = − ++
sin 0,5 cosxy L s L s
Δγ γ Δ
sin 0,5 cosxy L s L s
Δγ γ Δ
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
⎛⎞
−
12
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
cos
cos
ρ
γ
ρ
γ
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
()
⎟
⎟
()
2
, (8.17)
2
. (8.18)
Следовательно,
⎛⎞
11 2
⎜
2
LL s
ϕγΔ
=++ ++
p
0
0,5 cos
⎜
⎜
⎜
LL
⎜
⎝⎠
0
cos
ργ
⎟
⎟
()
⎟
⎟
⎟
2
. (8.19)
Отсутствие первой степени Δs в фазе ϕp (8.19) говорит о том, что
точка y* прямого лучевого отражения соответствует стационарному значению фазы ϕp. Таким образом, главный член асимптотики
интеграла (8.15) определяется коэффициентом при
2
sΔ
()
и может
быть получен из выражения (8.15) применением метода стационарной фазы [17].
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎪⎪
2
Q
k
2
= −
q
4
πμ
p
()
ux Vy
()
rpp
π
p
2
k
k
p
s
exp 1
*
()
⎢⎥
ik L L
()
⎨⎬
p
⎪⎪
⎢⎥
⎣⎦
⎪⎪
⎩⎭
LL
0
++ −
0
++
π
δ
()
4
2
LL
0
cos
ργ
,
(8.20)
124 М. 8. Рассеяние высокочастотных упругих волн на полостях, ограниченных…
⎛⎞
⎜
sign
=++
LLδ
⎜
0
⎜
⎜
⎝⎠
2
LL
0
⎟
⎟
.
⎟
⎟
cos
ργ
Аналогичная двумерная задача о коротковолновой дифракции
акустической волны на абсолютно твердом контуре была рассмотрена в [1] и [22] различными асимптотическими методами, при
этом формула для давления p(x) в точке x имеет вид [1]
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎪⎪
exp 1
px
()
=
⎢⎥
ik L L
⎨⎬
⎪⎪
⎢⎥
⎣⎦
⎪⎪
⎩⎭
++ −
()
0
p
LL
++
0
π
δ
()
4
2
LL
0
cos
ργ
. (8.21)
Формула (8.20) отличается от (8.21) лишь присутствием в качестве множителя коэффициента отражения Vpp(y*) для упругого случая (8.20).
Замечание. Следует выделить для формул (8.20), (8.21) особые
сингулярные случаи. К ним относятся случаи, когда выражение в
скобках в формуле (8.19) обращается в нуль. Такие случаи должны быть рассмотрены с учетом малых более высокого порядка ма-
лости, чем
2
sΔ
, так как в этих случаях выражение (8.20) не опре-
()
делено.
Случай p - s трансформации. В этом случае (рис. 8.1) дека-
s
ртовы координаты вектора перемещений
()
ux, k = 1,2 определя-
()
k
ются вторым слагаемым интегрального представления (8.6)
sk
()
ux yx ypdl
= ⋅
()
kys y
∫
l
()
⎡⎤
TU u
⎢⎥
⎣⎦
,;,
() ()
которое выпишем в развернутом виде:
kk
()
⎡⎤
⎛⎞
∂∂ ∂
Uyx Uyx Uyx
⎜
()
s
ux uyp uypdl
()
k y
⎢⎥
⎜
=+ +
μ
⎢⎥
⎜
∫
⎜
⎢⎥
⎜
⎝⎠
l
⎣⎦
,, ,
()()()
12 2
ss s
∂∂ ∂
yy y
21 2
⎟
⎟
,2 (,).
⎟
()
12
⎟
⎟
⎟
()
k
()
(8.22)
Для асимптотической оценки интегралов (8.22) используем
асимптотические представления при ks→∞.
8.2. Содержание модуля 8 125
k
()
∂
U
js
∂∂∂∂
ykyyykR
mskjms
k
s
= −− +
4
μπ
,,yyyy;
()
123
R
∂
==−
yR
∂
1
π
⎛⎞
i
−
21
⎜
4
⎜
e
δ
⎜
⎜
⎝⎠
yx
−
11
RR R
∂∂ ∂
kj
()
123
sin
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
,,xxxx
∂
γ
;
1
∂
yR
Здесь { -sinγ1, cosγ1} координаты орта
После подстановки (8.23) в (8.22) получаем выражения главных
ik R
s
⎡⎤
e
⎢⎥
1O
⎢⎥
R
⎢⎥
⎣⎦
;
; , , 1, 2kjm= ;
yl∈
yx
R
−
22
==
2
yx вектора
()
cos
0
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
γ
.
1
yx
; (8.23)
⎟
⎟
.
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
асимптотических членов для амплитуд перемещений
⎧
⎡⎤
π
⎪
i
()
s
() 1 2 ,
ux e uyp
1 1
()
s
() 1 2 ,
ux e uyp
= −− +
2 1
k
s
= −−−
4
μπ
RR Re
∂∂ ∂
2,
−
yy y
∂∂ ∂
k
4
+ −
2
s
μπ
kyy
s
⎡⎤
⎛⎞
⎢⎥
21 ,
⎜
⎜
⎢⎥
⎜
⎜
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
−
2
ky
s
12 2
π
i
−
4
2
RR e
∂∂
⎟
⎟
⎟
⎟
yy
∂∂
22
⎪
⎢⎥
⎪
4
⎨
⎢⎥
∫
⎪
⎢⎥
⎪
l
⎣⎦
⎪
⎩
⎫
⎪
uyp dl
2
∫
l
⎪
()
⎬
⎪
⎪
⎭
⎧
⎡⎤
⎪
⎪
⎢⎥
⎪
⎨
⎢⎥
⎪
⎢⎥
⎪
⎣⎦
⎪
⎩
⎛⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
∂∂
⎝⎠
uyp dl
()
2
2
⎛⎞
R
∂
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
∂
⎝⎠
1
ik R
s
R
2
RR
∂∂
⎟
⎟
⎟
⎟
21
⎫
ik R
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
s
R
()
,
y
.
y
()
Перейдем к локальной полярной системе координат r, θ в точке
y*. Компоненты вектора перемещений в отраженной s-волне при-
водятся к виду:
s
()
ux=,
r
()
0
Q
s
()
sin 2 cos 1 sin }
−−−+
{ cos 2 sin ( 1 ) 1 sin
× −−++ −−
∫
*
l
⎡⎤
γγ γ
1
⎢⎥
⎣⎦
ux
()
θ
⎡⎤
⎢⎥
γγ γ
⎢⎥
1
⎢⎥
⎣⎦
()
q
= − ×
42
πμ
VV dl
pp ps y
⎛⎞
kk
1
pp
⎜
⎜
⎜
⎜
kk
⎝⎠
ss
VV
pp ps
⎟
⎟
⎟
⎟
⎛⎞
k
s
kk
ps
k
p
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
ikR kR
+
()
0
ps
e
RR
0
2
. (8.24)
126 М. 8. Рассеяние высокочастотных упругих волн на полостях, ограниченных…
С использованием закона Снеллиуса kpsinγ = kssinγ1 и подстановкой явных выражений коэффициентов Vpp и Vps (8.13) в подынтегральное выражение (8.24) аналитически доказывается, что
⎡⎤
cos 2 sin 1 1 sin
−− ++ −−
sin 2 cos 1 sin 2 cos
−−−+=−
⎢⎥
γγ γ
⎢⎥
1
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
γγ γ γ
1 1
⎢⎥
⎣⎦
()
VV
()
VV V
pp ps ps
k
s
pp ps
k
p
Это соотношение позволяет перемещение
2
k
p
2
k
s
s
()
ux
θ
2
k
s
k
p
преобразовать
()
.
к виду (после вынесения медленно меняющихся функций за знак
интеграла в высокочастотном приближении)
s
Lxy= − ,
00
()
ux V y e dl
()
θ
*
Q
= −
4
Lyx= −,
1
q
πμ
k
cos
p
k
s
*
γ
1
LL
01
ϕ = − + −. (8.26)
ps
*
()
ps y
xy yx
0
ik
ϕ
pps
∫
*
l
k
s
k
p
, (8.25)
Как и в случае p - p отражения (8.17) и (8.18), используем разложения расстояний 0xy− и yx− с точностью до бесконечно
малых второго порядка.
⎛⎞
−
12
kk
ss
yx L s L s
kk
pp
− =+ + +
00 0
⎡⎤
− = − ++
⎢⎥
1111
⎢⎥
⎣⎦
sin 0,5 cosxy L s L s
Δγ γ Δ
sin 0,5 cos
Δγ γ Δ
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
⎛⎞
−
12
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
cos
cos
ρ
ρ
γ
γ
1
⎟
⎟
()
⎟
⎟
⎟
⎟
()
⎟
⎟
2
, (8.27)
2
. (8.28)
При p - s трансформации выполняется закон Снеллиуса
kpsinγ = kssinγ1, а это доказывает, что слагаемое с Δs в фазе ϕps (8.26)
отсутствует. Это говорит о том, что точка зеркального отражения y*
является стационарной для фазы ϕps, которая может быть приведена к виду
2.
kkk
ϕΔ
=+ + + + +
ps
sss
LL s
01
kLkL k
ppp
⎛⎞
cos cos
γγ
⎜
⎜
0,5
⎜
⎜
⎝⎠
01
2.
cos cos
γγ
11
ρρ
⎟
⎟
()
⎟
⎟
⎟
2
.
(8.29)
8.2. Содержание модуля 8 127
Таким образом, главный член асимптотики интеграла (8.25) оп-
ределяется коэффициентом при
2
sΔ
и может быть получен из вы-
()
ражения (8.25) применением метода стационарной фазы [17]
⎧⎫
⎡⎤
s
()
ux
()
θ
Q
q
=
μπ
22
⎪⎪
⎪⎪
⎢⎥
exp 1
ikL kL
cos
1
γ
1
k
LL
s
*
Vy
()
ps
01
⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
2
γγ
cos cos
LkL k
01
++ −
ps
01
⎢⎥
⎣⎦
2
kk
cos cos
ss
+++
pp
π
ps
()
δ
()
4
γγ
11
,
ρρ
(8.30)
2.
⎛⎞
cos cos
ps
()
δ
=+++
⎜
⎜
sign
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
γγ
LkL k
01
2.
cos cos
kk
γγ
ss
11
pp
ρρ
⎟
⎟
.
⎟
⎟
⎟
Таким образом, в данном параграфе получены явные выраже-
ния (8.20) и (8.30) главных членов асимптотических представлений амплитуд перемещений в отраженных волнах при p - p отражении и p - s трансформации на граничном контуре полости,
находящейся в упругой среде.
8.2.3. Однократное отражение поперечной волны от
криволинейного контура препятствия: s - s отражение,
s - p трансформация
Расчет полного дифрагированного поля от контура препятствия
в общем случае (8.6) включает в себя и отраженные волны при падении поперечной составляющей (8.3) круговой волны (8.1). Так
же, как и в пункте 8.1, исследуем при падении поперечной s-волны
(8.3) амплитудные характеристики отраженной s-волны и p-волны
(рис. 8.2). Это исследование проводится в таких же системах координат, как и при изучении отражения от криволинейного контура
p-волны в первой части пункта 8.2.2.
Метод решения. Направление падения волны q = { -sinγ1, -cosγ1}
(γ1 – угол между направлением падения волны и внешней норма-
лью к контуру) отнесем к правой декартовой системе координат
OX1X2 в точке y*, ось ординат OX2 которой совпадает с внешней нормалью n (направленной в сторону упругой среды) к контуру полос-
128 М. 8. Рассеяние высокочастотных упругих волн на полостях, ограниченных…
Рис. 8.2. Однократное отражение высокочастотной поперечной волны в поперечную
(s - s отражение) и трансформация поперечной волны в продольную (s - p трансфор-
мация) на криволинейной границе полости, находящейся в упругой среде
ти, а ось OX1 совпадает с касательной к контуру в точке y*. В этой
системе координат вектор q1 имеет координаты q1 = { -cosγ1, sinγ1},
а нормаль n имеет координаты n = {0,1}.
Случай s - s отражения. Декартовы координаты вектора пе-
ремещений
s
()
ux
()
k
в отраженной s-волне определяются четвертым
слагаемым в интегральном представлении (8.6)
sk
() ( )
() [(,)](,)
ux yx ysdl= ⋅
kys y
TU u , 1, 2k = (8.31)
∫
*
l
и в развернутом виде представляются соотношениями
kk
() ()
⎡⎤
⎛⎞
UU U
∂∂ ∂
()
s
ux uys uysdl
=+ +
()
k y
⎜
⎢⎥
12 2
ss s
⎜
μ
⎢⎥
⎜
∫
⎜
yy y
∂∂ ∂
⎜
⎢⎥
*
⎝⎠
l
21 2
⎣⎦
⎟
⎟
,2 (,)
()
⎟
12
⎟
⎟
()
k
. (8.32)
Приводимые ниже соотношения представляют главные члены
соответствующих асимптотических представлений при высоких
частотах колебаний.
Для асимптотической оценки при ks→∞ интегралов (8.32) ис-
пользуем асимптотические представления при ks→∞.
8.2. Содержание модуля 8 129
k
()
U
∂
js
∂∂∂∂
ykyyykR
mskjms
k
s
= −− +
4
μπ
,,yyyy ;
()
123
yx
R
∂
==−
yR
∂
1
π
⎛⎞
−
i
21
11
⎜
4
⎜
e
δ
⎜
⎜
⎝⎠
−
RR R
∂∂ ∂
kj
,,xxx x
()
123
sin
γ
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
;
R
∂
;
1
yR
2
Здесь { -sinγ1, cosγ1} координаты орта
ляющего направление отраженной s-волны при s - s отражении.
ik R
s
⎡⎤
e
R
; , , 1, 2kjm= ;
yl∈
yx
−
22
==∂.
yx вектора yx, опреде-
()
0
⎛⎞
⎟
⎜
⎢⎥
1O
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
cos
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
γ
1
; (8.33)
После подстановки (8.33) в (8.32) получаем выражения для
главных членов асимптотики амплитуд перемещений
⎧
π
i
()
s
() 1 2 ;
ux e uys
1 1
()
s
() 1 2 ;
ux e uys
2 1
k
s
= −−−
4
∂∂ ∂
2;
−
∂∂ ∂
k
2
s
= −− +
4
kyy
π
⎡⎤
⎢⎥
21 ;
+ −
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
−
2
4
ky
π
s
RR Re
yy y
⎛⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
uys dl
12 2
π
i
−
4
s
∫
l
2
RR e
∂∂
⎟
⎟
⎟
⎟
yy
∂∂
22
⎡⎤
⎪
⎪
⎢⎥
⎪
⎨
⎢⎥
∫
⎪
⎢⎥
*
⎪
l
⎣⎦
⎪
⎩
⎫
⎪
⎪
()
2
*
⎬
⎪
⎪
⎭
⎧
⎡⎤
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎛⎞
⎢⎥
⎜
⎜
⎢⎥
⎜
⎜
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
uys dl
()
2
2
⎛⎞
R
∂
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
⎜
∂
⎝⎠
1
ik R
s
R
2
RR
∂∂
⎟
⎟
⎟
⎟
∂∂
21
⎫
ik R
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
()
⎟
⎟
, (8.34)
y
s
. (8.35)
y
R
()
Перейдем в (8.34), (8.35) к локальной полярной системе координат r, θ в точке y* криволинейного контура l. При этом полюс
совпадает с точкой y*, а полярная ось с осью OX1. Тогда главные
асимптотические члены вектора перемещений отраженной волны
в полярной системе координат имеют вид
s
π
i
s
()
ux e uys uys dl
() () ()
θ
k
s
= −−−
4
−
2
4
∫
k
π
s
l
()
ux=
r
{cos2 , sin2 , .
*
0
()
γγ
,
11 12
ik R
e
}
s
R
y
(8.36)
130 М. 8. Рассеяние высокочастотных упругих волн на полостях, ограниченных…
При асимптотической оценке интеграла Кирхгофа в формуле (8.36) компоненты полного поля перемещений uk(y,s), k = 1,2 под
знаком интеграла следует выбрать как решение локальной задачи
дифракции об отражении плоской падающей s-волны от свободной
от нагрузок прямолинейной границы упругой полуплоскости [5; 6] .
s
,1tg ,
(,) 1 1 sin ,
uys V y V y u y
2 1
uys V y V y u yγ= −−
() () ()
11
⎛⎞
⎜
⎜
=++ −
() ()
⎜
ss sp
⎜
⎜
⎝⎠
()
ss sp
k
p
sin
k
γ
1
s
2
k
2
s
2
k
p
()
()
1
q
1
⎟
s
()
γ
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
(8.37)
()
q
2
1
где Vss и Vsp – коэффициенты s - s отражения и s - p трансформации [5; 2], а
s
()
yu в падающей s-волне (8.3).
()
q
1
()
uy и
()
1sq
1
V
ss
()
uy – компоненты вектора перемещений
()
2sq
1
1
⎡⎤
4 ctg ctg ctg 1 ,
= −−
⎢⎥
z
⎣⎦
V
sp
4 ctg ctg ctg 1 .z γγ γ=+−
γγ γ
11
4
ctg ctg 1 ,
γγ= − (8.38)
()
z
11
11
()
2
()
2
2
2
2
Подставляя (8.37) и (8.3) в (8.36), получим следующее интегральное представление тангенциального перемещения
Q
⎛⎞
1
s
()
ux Vy Vy
() ()
θ
γγ γ
sin2 sin 1 1 sin
q
1
⎟
= −− −− +
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
11 1
⎢⎥
⎣⎦
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
42
πμ
Vy V y dl
()
()
ss sp y
cos2 cos 1 sin
⎟
{
∫
⎟
⎟
*
l
++ −
⎡⎤
γγ γ
11 1
⎢⎥
⎣⎦
k
p
k
s
()
ss sp
2
k
2
s
2
k
p
()
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
ik R R
s
e
()
ux
θ
+
()
0
RR
0
s
()
()
Подстановкой соотношений (8.38) в подынтегральное выражение (8.39) аналитически доказывается, что
sin2 sin 1 1 sin
− ++ − =
cos2 cos 1 sin
−−−−
γγ γ
11 1
⎡⎤
11 1
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
()
Vy Vyγγ γ
()
ss sp
k
Vy Vy
()
ss sp
2cosssVyγ= − .
p
k
s
()
1
()
2
k
2
s
2
k
p
()
.
(8.39)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]