Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Асимптотические методы в гидроакустике. Учебное пособие
.pdf
5.2. Содержание модуля 5 71
1
inc
py x y e
= − , (5.1)
()
−
0
−
ik x y
0
где k = ω / c, а c – скорость распространения акустической волны.
Целью задачи является исследование давления в рассеянной
волне на замкнутой поверхности акустически твердого препятствия, находящегося в бесконечной акустической среде.
Как и в классической геометрической теории дифракции, раз-
работанной в задачах скалярной акустики [4] и развитой в задачах
динамической теории
упругости [22], следует различать асимптотику в локальном и в глобальном смысле. В глобальной постановке ставится задача вычисления полного поля в точке x сплошной
среды. В данном случае полное поле в точке x акустической среды
складывается из падающей круговой волны (2.1) и отраженных от
граничной поверхности акустических волн. Асимптотическое решение, построенное ниже, имеет локальный характер и дает главный асимптотический член амплитуды дифрагированного поля в
малой окрестности любого луча, вышедшего из точки x0, отразившегося от поверхности рассеивателя в точке y* и пришедшего в точку x0. Очевидно, что
такие лучи могут существовать только в
том случае, если обе
точки y* и x лежат в
освещенной области.
При распространении из точки x0 высокочастотной круговой
акустической волны
(5.1) в фиксированном направлении q,
она взаимодействует
с граничной поверхностью S препятствия
и отражается от нее.
Точка приема x будет располагаться на
Рис. 5.1. Отражение высокочастотной акустичес-
луче, вдоль которого распространяется
Рис. 5.1. Отражение высокочастотной акустичес-
кой волны от граничной поверхности препятствия
кой волны от граничной поверхности препятствия
72 М. 5. Высокочастотная дифракция акустических волн на поверхностях…
отраженная волна (рис. 5.1). В этом случае точка y* пересечения
гладкой граничной поверхности препятствия S с направлением
**
=qxy xy
00
будет являться точкой зеркального отражения
падающей волны (5.1). Ниже получим формулу для амплитуды
давления отраженной волны в точке приема x.
5.2.2. Метод решения
Изложим метод нахождения давления в однократно отраженной высокочастотной акустической волне от поверхности рассеивателя.
Как известно, давление в высокочастотной отраженной волне
определяется направлением падения волны и малой окрестностью
S* точки зеркального отражения y*∈S*. Поэтому с ростом частоты
давление в отраженной волне может быть получено в рамках лучевых представлений на основе метода стационарной фазы. Такой
подход применен в двумерной [19] и трехмерной [2; 5] задачах.
Если любой луч вида x0 – y – x отражается от поверхности S(y∈S)
только один раз (рис. 5.1), тогда, согласно физической теории дифракции Кирхгофа, давление p(x) в отраженной волне определяется
следующим интегралом [15]:
px p y dS
=
() ()
∫∫
inc
2
S
Φ∂
, (5.2)
n
∂
y
если граница S препятствия является акустически твердой
/0
pn∂∂ = . Здесь p
на границе S, Φ – потенциал фундаментального решения (функ-
S
inc
(y) – значение давления в падающей волне
ция Грина), ny – внешняя нормаль к поверхности S в точке y, k –
волновое число.
1
= − .
−
4
()
xy eΦπ
−
1
ik x y
−
При k → ∞
Φ
∂
nkxy
∂−
y
cos 4 1 O
ik x y e
= − +
γπ
1
−
()
1
−
ik x y
⎡⎤
−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
1
, (5.3)
где γ – угол между нормалью ny и направлением падения луча
xy− , 0xy− и xy− – расстояния между точками пространс-
0
тва x0 и y∈S, x и y соответственно.
5.2. Содержание модуля 5 73
∆
γ
При падении луча из точки x0 на поверхности S имеется точка
y* пересечения её с лучом, нормаль к поверхности в которой сов-
местно с лучом падения определяют плоскость, в которой лежит и
*
отраженный луч. Обозначим
xy L− = , *xy L− = . Таким
00
образом, из (5.1) – (5.3) может быть получено следующее основное
представление (после вынесения неосциллирующих функций за
знак интеграла)
cos
px e dS
()
ik
=
2
π
γ
LL
0
∫∫
ik
ϕ
,
(5.4)
S
0
.xy xyϕ = − + − (5.5)
Лучевое представление можно получить из (5.4), используя
метод стационарной фазы [17]. При оценке интеграла (5.4) необходимо учитывать точки y из малой окрестности точки y*. Отнесем малую окрестность точки y*∈S* к правой декартовой системе координат, определяемой нормалью и касательными к
линиям кривизны поверхности в точке y*∈S. Тогда произволь-
ная точка y∈S* из окрестности точки y* будет иметь координаты
,,0,5yss ks ksΔΔ Δ Δ− +
()
12 11 22
()
дуг вдоль линий кривизны,
22
() ()
kR
= и
11
, где Δs1, Δs2 – приращения
1
−
kR
22
1
−
= – главные кри-
визны, а R1 и R2 – главные радиусы кривизны поверхности S в точке y*∈S,
ks ksΔΔ+ – вторая квадратичная форма повер-
()
22
() ()
11 22
хности в точке y* поверхности S, отнесенной к линиям кривизны.
Применим к треугольникам x0y*y и xy*y (рис. 5.1) теорему коси-
нусов.
2
xy L L xyy
0
xy L L xyy−=+ − ∠
2
0
2
2
2
2−=+ − ∠cos
00
2
2 cos
*
, (5.6)
*
.
Из скалярных произведений векторов { cos α, cos β, cos γ } – орт
вектора y*x0 на
∆
s =−
ΔΔ Δ Δss ks ks
12 11222
{}
05,,,
(
()+()
2
и { -cos α,
)
-cos β, cos γ } – орт вектора y*x на Δs соответственно следует:
s cos cos cos , cos
*
∠= + +
xyy s s k s k s
01 2 11222
05ΔΔ ΔΔαβ
(
()+()
2
,
)
74 М. 5. Высокочастотная дифракция акустических волн на поверхностях…
∆
γ
s cos cos cos , cos
*
∠=− − +
xy y s s k s k sΔΔ ΔΔ
12 11
05αβ
(
2
()+()
2
22
)
Если пренебречь величинами, малыми по сравнению с (Δs1)2,
Δs1Δs2, (Δs2)2, то из формулы (5.6) следуют представления
−
− = −−++−
001 2 0 1 1
−−
112
cos cos 0,5 sin cosLssLksαβΔΔ β γΔ
− ++ , (5.7)
012022
− =+ + + + −
−−
112
cos cos 0,5 sin cosLssLksαβΔΔ β γΔ
− ++.
cos cos 0,5 sin cosxyL s s L k sΔαΔβ α γΔ
()
cos cos 0,5 sin cosxy L s s L k sΔαΔβ α γΔ
12 1 1
12 2 2
()
12
()
()
−
12
()
()
2
()
2
2
()
2
(5.8)
Следовательно,
01111212222
0,5 0,5 ;LL d s dss d sϕΔΔΔΔ=++ + + (5.9)
−−
=+ +
()
11 0 1
= − +
12 0
−−
=+ +
()
22 0 2
22
() ()
112
()
11 2
sin 2 cos ;dLL kαγ
11
−−
cos cos ;dLLαβ
sin 2 cos .dLL kβγ
Отсутствие первых степеней Δs1, Δs2 в фазе ϕ (5.9) говорит о том,
что точка y* прямого лучевого отражения соответствует стационарному значению фазы ϕ. Таким образом, главный член асимптотики интеграла (5.4) определяется коэффициентами при (Δs1)2,
Δs1Δs2, (Δs2)2 и может быть получен из выражения (5.4) применением метода двумерной стационарной фазы [17].
.
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎪⎪
exp 2
px
cos ,
γ
= (5.10)
()
⎢⎥
ikL L
⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
++ −
()()
02
⎢⎥
⎣⎦
LL D
02
det
π
δ
4
()
где D2 – матрица Гессе симметричной структуры (dij=dji, i,j=1,2),
а δ2 = sign D2 – разность между числом положительных и отрицательных собственных значений матрицы D2.
Вычисляя определитель в знаменателе и с учетом, что d21=d12,
выпишем формулу (5.10) в развернутом виде:
5.2. Содержание модуля 5 75
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎪⎪
*2 sinsincos4.LL LLLLk k LLKαβγ
++ + + +
()
00021 0
px i kL L
=++−
() ( ) ( )
2
()
⎢⎥
exp 2 *
⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
02
⎢⎥
⎣⎦
22122
()
π
δ
4
(5.11)
−
1
−
2
Здесь { –cos α, –cos β, –cos γ } – вектор, определяющий направле-
ние падения луча x0 – y* в выбранной системе координат.
Формула (5.11) получена для случая, когда высокочастотная
волна падает на выпуклую поверхность. Если волна падает на вогнутую поверхность, то главные кривизны k1 и k2 берутся отрицательными.
Для дальнейшего исследования полученную формулу (5.11)
удобно преобразовать с выделением в ней локальных геометрических параметров поверхности в точке зеркального отражения:
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎪⎪
* 2 2 cos sin cos 4LL LLLLH k LLKγγγ
++ + + +
() ()
000 0
px ikL Lπδ
=++−
() ( ) ( )
2
⎢⎥
exp 2 *
⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
02
⎢⎥
⎣⎦
()
4
22122
(5.12)
−
1
−
2
,
в которой K = k1k2 – гауссова кривизна, а H = (k1+k2) / 2 – средняя
кривизна поверхности в точке зеркального отражения y*, а k –
кривизна нормального сечения поверхности отражателя плоскостью луча x0 – y* – x. Кривизна k определяется формулой Эйлера
22
cos sinkk kϕϕ=+
12
(
cos
ϕγ=
sin
α
,
sin
ϕγ=
cos
sin
β
), выражаю-
cos
щей кривизну произвольного нормального сечения через главные
кривизны k1, k2 и угол ϕ, образуемый касательной этого нормального сечения с первым главным направлением.
Формула (5.12) дает главный член асимптотики давления при
kL0 >> 1, kL >> 1, kR1 >> 1, kR2 >> 1.
Амплитуда отраженной волны обратно пропорциональна ра-
дикалу, расположенному в знаменателе, который зависит от локальных геометрических характеристик поверхности в точке
зеркального отражения y*, от расстояний точек, участвующих в
формировании луча, и от углов между направлениями падения и
отражения луча и нормалью к поверхности в точке y*.
76 М. 5. Высокочастотная дифракция акустических волн на поверхностях…
Рассмотрим случай, когда расстояния L0, L и главные радиусы
кривизны R1 и R2 соизмеримы. В этом случае все три слагаемых в
знаменателе имеют один и тот же порядок. Второе слагаемое учитывает форму поверхности через среднюю кривизну H = (k
1+k2
) / 2
и кривизну k нормального сечения поверхности плоскостью луча
x0 – y – x. Третье слагаемое определяет учет формы поверхности
через гауссову кривизну K. Вклад второго и третьего слагаемых будет определяться локальной формой поверхности в точке зеркального отражения y*.
Если точка отражения y* эллиптическая и луч падает на выпуклую часть поверхности (k1 > 0, k2 > 0), то все слагаемые положительные и рассеяние наибольшее, если луч падает на вогнутую
часть (k1 < 0, k2 < 0), то второе слагаемое (H < 0, 0k <, K > 0) отрицательное и рассеяние меньше по сравнению с первым случаем.
Заметим, что при уменьшении γ вклад слагаемого со средней кривизной H увеличивается, а с k – уменьшается. В случае нормального падения волны второе слагаемое учитывает только среднюю
кривизну. С увеличением γ увеличивается вклад кривизны k нормального сечения.
Если точка отражения y* гиперболическая (K < 0), то главные
кривизны k1 и k2 имеют разные знаки. Следовательно, одно из
главных сечений загибается в сторону выбранной нормали, а другое – в обратную сторону. В такой точке существуют два асимптотических направления (0k =), симметрично расположенных относительно главных направлений. Из двух пар вертикальных углов,
образованных асимптотическими направлениями, одна пара заключает направления, отвечающие нормальным сечениям с отрицательной кривизной k, другая пара – с положительной. Вблизи
гиперболической точки поверхность имеет седлообразную форму.
При этом знак третьего слагаемого с K всегда отрицательный, а
знак второго зависит от H, k и γ.
Если точка отражения y* параболическая (K = 0), то по крайней
мере один из k1 и k2 равен нулю. Предельный случай k1 = k2 = 0 формулы (5.12) рассмотрен ниже. Пусть, например, k1 ≠ 0, k2 = 0. Средняя кривизна H = k1 и
2
coskk ϕ=
1
имеет такой же знак, как k1, ко-
торый может быть и положительным, и отрицательным. В случае
параболической точки третье слагаемое равно нулю, а второе имеет знак ненулевой главной кривизны, при этом для нормального
падения волны геометрические свойства поверхности определяют-
5.2. Содержание модуля 5 77
ся через ненулевую кривизну главного сечения, которая присутствует во втором слагаемом в качестве множителя.
Для формулы (5.12) выделим два предельных случая. Если
= k2 = 0, то из (5.12) следует известный результат для давления
k
1
в отраженной от плоскости волне:
1
( ) exppx L L ik L L
=+ +
()
−
00
⎡⎤
()
⎢⎥
⎣⎦
. (5.13)
В случае обратного рассеяния в дальнем поле (5.12) совпадает с
представлением [15]:
⎡⎤
2
px iL R R i kL
=+
()
−
0.5 exp 2
012 0 2
⎛⎞
⎜
⎢⎥
⎜
⎜
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
π
⎟
δ
. (5.14)
⎟
⎟
⎟
4
Таким образом, в этом параграфе получено явное выражение
(5.12) главного члена асимптотики давления p(x) в отраженной от
поверхности твердого рассеивателя высокочастотной акустической волне. Установлены количественные особенности зависимости
давления p(x) в отраженной волне от локальных параметров поверхности рассеивателя в точке зеркального отражения: средней и
гауссовой кривизны, кривизны нормального сечения поверхности
плоскостью падающего луча, расстояний между точками зеркального отражения, их удалений от источника волны и точками приема отраженной волны, а также направлений падающих волн.
Формула для давления в один раз отраженной волне (5.12) от
акустически твердой поверхности приведена в монографии [23].
В ней она получена на основе геометрической теории дифракции
(ГТД) Келлера. Это означает, что главный член асимптотики дифракционного интеграла совпадает с расчетами давления в отраженной волне по ГТД. Вместе с тем применение ГТД Келлера, основанной на использовании коэффициентов расходимости, уже
в случае двукратного отражения волны является достаточно громоздким. Если исследовать задачу о переотражении высокочастотной волны от поверхности произвольного N числа раз, то, на наш
взгляд, более удобно исходить из оценки 2N-кратного дифракционного интеграла методом многомерной стационарной фазы.
5.2.3. Выводы
Исследовано отражение высокочастотной акустической волны
от поверхности трехмерного препятствия произвольной формы,
78 М. 5. Высокочастотная дифракция акустических волн на поверхностях…
находящегося в бесконечной акустической среде. Методом двумерной стационарной фазы получен явный вид главного члена
асимптотики давления в отраженной волне. Дан анализ характерных особенностей зависимости давления от соотношения расстояний между точками, участвующими в формировании и отражении
луча, направления падения луча и локальных характеристик отражающей поверхности в точке зеркального
гауссовой кривизны, кривизны нормального сечения поверхности
плоскостью падающего луча.
отражения: средней и
5.3. Тест рубежного контроля к модулю 5
Задание 1–5
В акустической среде расположены два акустически твёрдых
отражателя, граничные поверхности которых являются вогнутыми частями поверхностей второго порядка:
кругового цилиндра x2+y2=R2 (поверхность 1)
сферы x2+y2+z2=1 (поверхность 2).
Исследуется модуль амплитуды давления (|p1(L1)|, L1=(R+z)/R
в обратно отраженной волне – для поверхности 1 (см. рис. 5.2),
|p2(L2)|, L2=(R+z)/R – для поверхности 2 (см. рис. 5.3)) при обратном отражении луча от граничных поверхностей. Точка B – точка обратного отражения, лежащая на граничной поверхности
(см. рис. 5.2, 5.3). Для каждой поверхности источник волны и приёмник расположены в одной и той же точке на расстоянии Li (i=1,2)
от i-й поверхности. В точке приёма измеряется давление pi(Li).
Задание 1. Если L1=2/3, а L2=1/2, то какому соотношению удовлетворяют |p1(L1)| и |p2(L2)|?
а) |p1|>|p2|;
б) |p1|=|p2|;
в) |p
|<|p
|.
Задание 2. Если L1=L2=1/2, то какому соотношению удовлетворяют |p1(L1)| и |p2(L2)|?
а) |p1|>|p2|;
б) |p1|<|p2|;
в) |p1|=|p2|.
5.3. Тест рубежного контроля к модулю 5 79
Задание 3. Если L1=2/3, а L2=3/2, то какому соотношению удов-
летворяют |p1(L1)| и |p2(L2)|?
|=|p2|;
а) |p
1
б) |p1|>|p2|;
в) |p1|<|p2|.
Задание 4. Если L1=L2=2, то какому соотношению удовлетворя-
ют |p1(L1)| и |p2(L2)|?
а) |p1|>|p2|;
б) |p1|<|p2|;
в) |p1|=|p2|.
Задание 5. Если L1=L2=3, то какому соотношению удовлетворя-
ют |p1(L1)| и |p2(L2)|?
а) |p1|>|p2|;
б) |p1|=|p2|;
в) |p1|<|p2|.
Задание 6–10
При выполнении условий заданий 1–5 рассмотрим плоский акус-
тически твёрдый отражатель, расположенный в касательной плоскости к цилиндрической поверхности (см. рис. 5.2) и в касательной
плоскости к сферической поверхности в точке отражения B.
L – расстояние от источника волны до точки отражения B при
обратном отражении.
|p1| – модуль амплитуды давления в отражённой волне от вог-
нутой части цилиндрической поверхности.
|p2| – модуль амплитуды давления в отражённой волне от вог-
нутой части сферической поверхности.
|p3| – модуль амплитуды давления в отражённой волне от
плоского отражателя.
Задание 6. При любом L какому соотношению удовлетворяют
|p1| и |p2|?
а) |p1|≥|p2|;
б) |p1|<|p2|;
в) требует полного исследования.
Задание 7. При L=1/2 какому соотношению удовлетворяют
|p1| и |p3|?
а) |p1|<|p3|;
80 М. 5. Высокочастотная дифракция акустических волн на поверхностях…
б) |p1|>|p3|;
в) |p1|=|p3|.
Задание 8. При L=3/2 какому соотношению удовлетворяют
| и |p3|?
|p
2
а) |p2|>|p3|;
б) |p2|=|p3|;
в) |p2|<|p3|.
Задание 9. При L=2 какому соотношению удовлетворяют |p2|
и |p3|?
а) |p2|=|p3|;
б) |p2|<|p3|;
в) |p2|>|p3|.
Задание 10. При L=3 какому соотношению удовлетворяют |p1|
и |p3|?
а) |p1|>|p3|;
б) |p1|=|p3|;
в) |p1|<|p3|.
5.4. Проектные задания к модулю 5
Оценка замены граничных поверхностей препятствий
плоскими отражателями в гидроакустике при однократном
обратном отражении
В рамках трехмерной задачи дать оценку замены цилиндрических поверхностей рассеивателей с произвольной гладкой направляющей набором плоских граничных поверхностей на примере однократного обратного рассеяния.
В гидроакустике произвольную отражающую гладкую цилиндрическую поверхность локально можно заменить соприкасающимся круговым цилиндром, а произвольную гладкую выпуклую
отражающую поверхность – соприкасающейся сферой. Этим определяется важность исследования однократного обратного отражения акустической волны от выделенных поверхностей канонической формы.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]