Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Асимптотические методы в гидроакустике. Учебное пособие
.pdf
9.2. Содержание модуля 9 151
∞
() cos( )( )Fs sxfxdx
=
∫
0
(9.46)
У этой формулы есть аналог конечной формы:
n
() (0) () (0)2
afak f fan F F
∑∑
kk
==
01
ak
=+++
[]
2
∞
⎛⎞
2
π
⎟
⎜
, (9.47)
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
a
Итак, рассмотрим второй ряд в (9.44):
⎧⎫
(1,2)
⎛⎞
S
⎜
⎜
(3)
⎜
⎜
S
⎝⎠
∞
⎟
⎟
=
∑
⎟
⎟
=
0
n
⎪⎪
n
⎪⎪
(1)
−
⎪⎪
⎨⎬
⎪⎪
r
n
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
(1,2)
cos
p
()
n
(3)
sin
pηη
()
n
, (9.48)
преобразование произведений тригонометрических функций к их
суммам приводит вычисление этого ряда к суммированию некоторого другого ряда, который мы рассматриваем отдельно в задачах(1,2) и (3).
Первая строка в представлении (9.48) приводит к ряду следую-
щей формы
∞
cosnn
πζ
0
nb
π
()
()
, (9.49)
2
2
+
(1,2)
S
=
∑
=
которая допускает непосредственное применение формулы Пуассона (9.45)–(9.46), так как здесь a=π,
() cos( )/fx x x bζ=+ и
22
∞∞
cos( ) cos( ) 1
()
Fs dx dx
== =
sx x
∫∫
xb xb
00
ζ
22 22
++
Kbs Kbsζζ++ −
00
= ,
cos ( ) cos ( )
xs xs
ζζ
+ −
[][]
2
()()
2
(9.50)
где K0 – функция Макдональда, которая экспоненциально убывает при увеличении аргумента. Следовательно, в этих задачах мы
приходим к ряду
Kb
ζ
11
(1,2)
SKbnKbn
=+ + ++ −
2
b
()
0
ππ
∞
⎡⎤
22
()()
∑
00
⎢⎥
⎣⎦
1
=
n
ζζ
, (9.51)
который сходится экспоненциально. В задаче (3) вторая строка в
выражении (9.48) приводит к рядам вида
152 М. 9. Волны в акустическом слое постоянной толщины
∞∞
cos ( 1/2) exp ( 1/2)
nin
πζ π ζ
++
(3)
S
== =
∑∑
nn
==−∞
exp / 2
= − +
[]
0
(1/2) (1/2)
nb nb
ππ
++ ++
[]
exp / 2
()
==
i
πζ
()
2
exp / 2
= −
22
i
πζ
2
∑
=−∞
n
∑
=−∞
n
⎡⎤
∞
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
ππ
[]()
⎢⎥
⎣⎦
i
πζ
()
1
22
2
∞
exp( ) exp( )
(1/2)
nbnb
∑
n
exp( )
(1/2)
nb
π
++
[]
ni ni
πζ πζ
22
++ +
⎡⎤
∞
⎢⎥
cos( ) 1
πζ
⎢⎥
2
⎢⎥
=
0
nb
π
()
⎢⎥
⎣⎦
[]
[]
ni
πζ
2
22
ni
2
+
(9.52)
2
,
2
b
где общий член первого ряда в правой части (9.52) снова убывает как 1/n3, а последний ряд выражается через S
(1,2)
, что было вы-
числено ранее. Таким образом, для малых и средних k преобразование Куммера приводит к весьма быстрой сходимости. Однако
это преобразование становится неэффективным при росте частоты
параметра k из-за специфического поведения разности в круглых
скобках первого ряда (9.44). Именно поэтому мы развиваем здесь
другой подход.
Отметим, что все подынтегральные выражения в (9.7)–(9.10)
раздела 1 представляют собой некоторые комбинации следующего типа:
±
(,) , 0
Ls
ζζ
=>
ζγ
−
e
γ
−
2
21
γ
()
h
e
±
. (9.53)
Точнее,
(, ) , ,2Lsy L sy y L s h y y
10 0
(, ) , ,2Lsy L sy y L s h y y
20 0
−−
= − + −− +
()( )
−−
,,2Lsy y Lsh y y
+++ −− ,
()( )
= − + −− − (9.54)
−−
− + −−−
()( )
00
−−
()( )
,,2Lsy y Lsh y y
00
,
9.2. Содержание модуля 9 153
(, ) , ,2Lsy L sy y L sh y y
30 0
++
= −− −−+
()( )
++
,,2Lsy y Lsh y y
++−−−.
()( )
00
Следовательно, задача сводится к эффективному вычислению
интеграла
∞
(,) 1 2 ,0 2
Gxy H k nh x x hζζ
10 0
где
i
=++−≤≤
4
(1)
H – функция Ханкеля.
0
Gx L s e dsζζ
()
1
==
4
πγ
∞
i
=++− =
∞
∑
0
=
n
∓
() ( ) ( )
∑
4
0
=
n
i
Hkxx Gxyζ
= − ++
4
n
∓ , (9.55)
() ( ) ( )
1
,(,)
==
∫
2
π
−∞
∞
∞
1
∓
()
∑
=
0
n
n
12
Hk nh xxζ
⎛⎞
(1) 2
⎜
00 1
⎜
⎜
⎝⎠
⎡⎤
(1)
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
− +
e
n
∫
−∞
⎡⎤
(1)
⎢⎥
00
⎢⎥
⎣⎦
()
−−
()
±
γζ
is x x
0
(2 )
nh
−−
()
is x x
0
eds
22
2
⎟
(,)
⎟
⎟
22
,
Вспомним, что мы изучаем суммирование для x=x0, где первые N
членов (N достаточно большое) могут быть непосредственно вычислены как
∞
i
∑
4
n
n
(1)
12
∓ , (9.56)
() ( )
0
=
⎡⎤
Hknhζ
0
⎣⎦
+
и для n > N мы можем использовать асимптотическое представление функции Ханкеля
(1) ( / 4)
()~ ,
Hz e z
0
2
iz
z
π
∞
π
−
∑
mmzi
0
m
=
1/2
Γ
()
!1/2 2
Γ
()()
m
+
−−
m
→∞
. (9.57)
В результате, задача суммирования сводится к вычислению
ряда следующего типа:
154 М. 9. Волны в акустическом слое постоянной толщины
2
∞
n
1
∓ , (9.58)
()
∑
1
n
=
khni
e
1/2
m
2
nh ζ
()
+
+
Выпишем несколько первых членов из разложенного в ряд Тейлора знаменателя (здесь ξ=ζ/2h):
11(1/2)(1/2)(3/2)
n
ξ
+
()
⎡⎤
⎢⎥
+ − + −
⎢⎥
⎢⎥
n
+
()
⎣⎦
= − ++
1/2 1/2 3/2 5/2
mm m m
++ + +
nn n
11(1/2)(1/2)(3/2)
1/2 1/2 3/2 5/2
mm m m
++ + +
ξ
nn n
mmm
mmm
ξξ
+++
ξξ
+++
. (9.59)
Сумма в квадратных скобках стремится к нулю, по крайней
мере как n
−7/2
при n → ∞, и достаточно удерживать только несколько членов ряда для хорошей точности, равномерно по частоте параметра k. Таким образом, задача сводится к медленно сходящемуся ряду вида
ni
δ
∞
e
β
n
n
=
1
() ()
CiS
δδ
=+∑, (9.60)
ββ
с некоторыми значениями δ и β. Этот ряд был изучен в предыдущем разделе.
Полезные комментарии
Интересно отметить, что в представлении (9.55) каждый член
подобен функции Грина точечного источника для всего неограниченного пространства. Это полностью согласуется с эвристической
идеей, что задача определения функции Грина в слое отличается
от аналогичной задачи в неограниченном пространстве лишь дополнительными граничными условиями ∂p/∂n на двух границах.
В построенном решении в рядах легко находится пара источников, которая располагается симметрично относительно обеих граничных линий, автоматически обеспечивая нулевую нормальную
производную на этой границе. С этой точки зрения, формула (9.55)
может рассматриваться как представление последовательности
источников, необходимых для обеспечения полного симметрично-
9.3. Тест рубежного контроля к модулю 9 155
го множества источников, сбалансированного относительно этих
границ.
9.3. Тест рубежного контроля к модулю 9
Задание 1. Что называется фазовой скоростью модовой волны
в слое постоянной толщины? Как соотносится фазовая скорость со
скоростью распространения звука в данной акустической среде?
а) фазовая скорость меньше скорости звука;
б) фазовая скорость больше скорости звука.
Задание 2. В модовом разложении (9.14) при x ≠ x0 общий член
ряда убывает как степенная или как экспоненциальная функция?
а) степенная;
б) экспоненциальная.
Задание 3. В модовом разложении (9.14) при x = x0 и y ≠ y0 бес-
конечный ряд сходится или расходится?
а) сходится;
б) расходится.
ЛИТЕРАТУРА
Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах диф-
1.
ракции коротких волн. – М.: Наука, – 1972.
Боев Н. В. Рассеяние высокочастотных волн на поверхностях в сплош-
2.
ных средах с учетом переотражений // Акустический журнал. – 2004. –
№ 6. – С. 756–761.
Боев Н. В., Сумбатян М. А. Коротковолновая дифракция на телах, ог-
3.
раниченных произвольной гладкой поверхностью // Доклады РАН. –
2003. – № 5. – С. 614–617.
Боровиков В. А., Кинбер Б. Е. Геометрическая теория дифракции. –
4.
М.: Связь, – 1978.
Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. – М.: Наука, 1973.
5.
Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в
6.
упругих телах. – Киев: Наукова думка, 1981.
Дружинина И. Д., Сумбатян М. А. Коротковолновая дифракция на
7.
телах с произвольной гладкой границей в двумерном случае // Акустический журнал. – 1992. – № 3. – С. 470–476.
Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных
8.
сред. – М.: Наука, 1980.
Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. – М.: Физмат-
9.
гиз, 1963.
Новацкий В. Теория упругости. – М.: Мир, 1975.
10.
Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука,
11.
1978.
Ржевкин С. Н. Курс лекций по теории звука. – М.: Изд-во МГУ,
12.
1960.
Сафонцев С. А. Кредитно-модульная рейтинговая технология: учеб.-
13.
метод. пособие. – Ростов н/Д, 2008.
Скучик Е. Основы акустики. Т. 1. М.: ИЛ, 1958.
14.
Тернстон Р. Распространение волн в жидкостях и твердых телах //
15.
Физическая акустика. Методы и приборы ультразвуковых исследований. Т. 1, Ч. А / под ред. У. Мезона. – М.: Мир, 1966.
Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. – М.: Мир, –
16.
1978. – Т. 1. – 547 с.; Т. 2.
Федорюк М. В. Метод перевала. – М.: Наука, 1977.
17.
Фок В. А. Обобщение отражательных формул на случай отражения
18.
произвольной
эксперимент. и теор. физики. – 1950. – Вып. 11. – С. 961–978.
Хенл Х., Мауэ Л., Вестпфаль К. Теория дифракции. – М.: Мир, 1964.
19.
волны от поверхности произвольной формы // Журнал
Литература 157
Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики. – Л.: Судостроение,
20.
1972.
Штагер Е. А. Рассеяние радиоволн на телах сложной формы. – М.:
21.
Радио и связь, 1986.
Achenbach J. D., Gautesen A. K., McMaken H. Ray Methods for Waves
22.
in Elastic Solids; with Applications to Scattering by Cracks. – N. Y.:
Pittman, 1982.
McNamara D. A., Pistorius C. W. I., Malherbe I. A. G. Introduction to
23.
the Uniform Geometrical Theory of Diffraction. – Norwood: Artech
House,1990.
Sumbatyan M. A., Boyev N. V. High-frequency Diffraction by Nonconvex
24.
Obstacles // J. Acoust. Soc. Am. – 1994. – 95, № 5. (Part 1). – P. 2347–
2353.
Uslengni P. L. Theory of the Scattering Waves. – N.Y.: Acad. Press,
25.
1978.
КЛЮЧИ ПРАВИЛЬНЫХ ОТВЕТОВ
ДЛЯ ТЕСТОВ РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ
Тест 1
12345
баабв
Правильное решение любой задачи – 1 балл
Критерии оценки
5 баллов – отлично
4 балла – хорошо
2–3 балла – удовлетворительно
Тест 2
12345678910
абввавбаав
Правильное решение любой задачи – 1 балл
Критерии оценки
9–10 баллов – отлично
7–8 баллов – хорошо
4–6 баллов – удовлетворительно
Тест 3
12345678
ббавабва
Правильное решение любой задачи – 1 балл
Критерии оценки
7–8 баллов – отлично
5–6 баллов – хорошо
3–4 баллов – удовлетворительно
Ключи правильных ответов для тестов рубежного контроля 159
Тест 4
12345
бабаб
Правильное решение любой задачи – 1 балл
Критерии оценки
5 баллов – отлично
4 балла – хорошо
2–3 балла – удовлетворительно
Тест 5
12345678910
вббвавбаав
Правильное решение любой задачи – 1 балл
Критерии оценки
9–10 баллов – отлично
7–8 баллов – хорошо
4–6 баллов – удовлетворительно
Тест 6
123
бба
Правильное решение любой задачи – 1 балл
Критерии оценки
3 балла – отлично
2 балла – хорошо
1 балл – удовлетворительно
Учебное издание
БОЕВ Николай Васильевич,
СУМБАТЯН Межлум Альбертович,
БОНДАРЧУК Алексей Алексеевич
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ГИДРОАКУСТИКЕ
Редактор Н. Н. Кадомцева
Корректор Н. Н. Кадомцева
Компьютерная верстка О. Ф. Жуковой
Подписано в печать 22.05.2020 г.
Бумага офсетная. Формат 60×84
1
/16. Тираж 30 экз.
Усл. печ. лист. 9,3. Уч. изд. л. 5,0. Заказ № 7603.
Издательство Южного федерального университета.
Отпечатано в отделе полиграфической, корпоративной и сувенирной продукции
Издательско‐полиграфического комплекса КИБИ МЕДИА ЦЕНТРА ЮФУ.
344090, г. Ростов‐на‐Дону, пр. Стачки, 200/1, тел (863) 243‐41‐66.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]