Асимптотические методы в гидроакустике. Учебное пособие

7.2. Содержание модуля 7 101

Обозначим расстояния

*

yx L

− =

1NN N

+

, n = 1,…,N-1. После вынесения за знак интегра-

*

xy L− = ,

01 0

**

yy L

− = ,

1nn n

+

ла (7.5) медленно меняющихся функций в асимптотических представлениях (7.7) нормальных производных функций Грина можно выписать следующее интегральное представление для давления в точке приема

N

⎛⎞

ik

⎟

⎜

⎟

px L L e dS dS dS

()

=

⎜

10 11

+ −

Nnn NN

⎟

⎜

⎟

⎜

2

π

⎝⎠

(7.8)

xy yy y y y xϕ

= − + − ++ − + − . (7.9)

01 12 1 1

В множителях перед интегралом берутся значения cosγn для па-

дающего луча в точке зеркального отражения

Окрестности

мам координат, определяемым нормалями хностям в точках

N

11

−−

∏

=

n

** *

, ,...,

SS S отнесем к правым декартовым систе-

12

** *

, ,...,

yy y, направленными в сторону акусти-

12

cos ... ...

γ

...

N

∫∫ ∫∫ ∫∫

** *

SS S

NN

−

11

NNNN

− +

1

N

ϕ

ik

*

y .

n

, ,...,

nn n к повер-

12

N

,

ческой среды, и касательными к линиям кривизны. Обозначим

nnn

() () ()

OXXX

123

n

лом в точке

Для задания координат текущей точки

в каждой окрестности кривизны длины дуг поверхности Sn в локальной системе координат

, n = 1,2,…,N декартову систему координат с нача-

*

y .

n

*

S будем отсчитывать от

N

n

()

sΔ ,

()

sΔ . Тогда текущая точка y

1

2

*

yS∈ , n = 1,2,…,N

nn

*

y вдоль линий

n

выпуклой

n

nnn

() () ()

OXXX

123

n

име-

ет координаты:

где

⎛⎞

nn nn nn

() () () ()

⎜⎟

yss ksksΔΔ Δ Δ

= − +

n

()

k ,

k – главные кривизны, а

1

2

,,0,5

⎜

12 11 22

⎜

⎝⎠

⎛⎞ ⎜

⎜

⎝⎠

⎛⎞ ⎜

⎜

⎝⎠

рая квадратичная форма поверхности тью до малых второго порядка

NN

() ()

ssΔΔ,

12

yx

− имеют такую же структуру, как и (6.6) и (6.7).

()

1NN

+

2

N

()

sΔ асимптотические представления для

2

()

sΔ

()

1

22

()

nn n n

() ()

ks k sΔΔ

11 2 2

2

1

,

() ()

22

()

S

+

*

в точке

n

11

() ()

ssΔΔ,

12

⎟

()

⎟

() ()

()

*

y . С точнос-

n

2

1

()

sΔ ,

()

2

,

⎟

– вто-

⎟

N

()

sΔ ,

()

1

xy− и

01

2

102 М. 7. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз

}

11

() ()

01 0 1 1 2 1

12

0,5 sin cosLk sαγΔ

++ −

++ , (7.10)

yx L s sΔαΔβ

− =+ + +

NN N N N

0,5 sin cos

++ −

0,5 sin cos

++ . (7.11)

−

()

011 11

1

−

cos cosLssαβΔΔ

− +

01112

12

0,5 sin cosLk sβγΔ

−

()

012 11

11 2

+

12

−

Lk sαγΔ

()

NN N

1

−

cos cos

LssαβΔΔ

− +

NNN

−

12

Lk sβγΔ

()

NN N

cos cosxy L s sΔαΔβ− = −−+

11

()

11

() ()

11

()

NN

() ()

cos cos

NN

()

11

NN

() ()

12

NN

()

22

2

()

2

()

2

()

2

()

В приведенных формулах и далее в этом параграфе { -cos αn,

-cos βn, -cos γn } – направление падающего, а { -cos αn, -cos βn, cos γn } – направление отраженного лучей в точке yn окрестности

*

S

, отнесенной к локальной системе координат.

n

Найдем слагаемые ϕ (7.9). Каждое из расстояний ме координат

() () ()

OXXX

123

n

теме координат обозначим координаты точек

y ξηζ

yny

,,

()

111

nn n n

−−−

представим в виде:

n-1

nn nn n n- n nn

yy

− = yy , n = 2,3,…,N в фазе

11nn nn

−−

yy

− рассмотрим в систе-

1nn

nnn

,

y ξηζ

=+ −yy yy y y y yy; (7.12)

11 11

−− −

, связанной с точкой

*000

nnnn

−−−−

1111

,,

()

** n * *

−

*

y . В этой сис-

n

,,

y ξηζ,

()

nn n n

. С учетом этого вектор

1

−

nn- n n n n

*nn nnnn nn

{

{, , }

ξξηηζζ

= −−−yy ;

11 n-1 n-1

() () () () () ()

ss ks ksΔΔ Δ Δ= − +yy .

12 11 22

−

** nn- n n n

,,0,5

000

{, , }

ξηζ

=yy ;

1111

−−−

() ()

()

22

7.2. Содержание модуля 7 103

*

Здесь координаты векторов

кальных декартовых системах координат

nnn

() () ()

OXXX

123

n

Матрица

соответственно точек

1n- n

a=A , i,j = 1,2,3 – ортогональная матрица пере-

()

nij

хода от базиса декартовой системы координат

*

ке

y к базису декартовой системы координат

n

в точке

Замечание. Представление (7.12) справедливо при произволь-

ном расположении луча

*

y

.

−

1n

****

yyyy

Элементы ортогональных матриц

yy

(i = n-1,n) выписаны в ло-

ii

OXXX

*

y

−

−−− в пространстве.

−− +

21 1nnnn

A могут быть выражены

n

*

и

y .

1n

n

1n-

n

111

nnn

−−−

()()()

11 2 3

−

nnn

() () ()

OXXX

123

n

111

nnn

−−−

()()()

OXXX

11 2 3

n

−

и

в точ-

через тригонометрические функции направляющих углов падающих и отраженных волн при повторном отражении. В этом случае элементы

n

⎧⎫

⎪⎪

a

11

⎪⎪ ⎨⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

n

⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

a

⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

21

⎩⎭

n

⎧⎫

⎪⎪

a

12

⎪⎪ ⎨⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

n

⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

a

⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

22

⎩⎭

n

a ортогональной матрицы

ij

= − +

cos cos cos ( )

nn n nn

⎢⎥ ⎢⎥

⎣⎦

⎡⎤

−

1

⎢⎥

G

cos cos cos ( )

nn n nn

⎢⎥ ⎢⎥

⎣⎦

⎡⎤

1

−

⎢⎥

G

⎧⎫ ⎧⎫

βα

cos cos

⎪⎪ ⎪⎪

nn

⎪⎪ ⎪⎪

βαγγ

111

−−−

⎩⎭ ⎩⎭

⎧⎫ ⎧⎫

⎪⎪ ⎪⎪

αβγγ

−−−

111

⎩⎭ ⎩⎭

αβ

−

cos cos

nn

βα

−

cos cos

nn

αβ

cos cos

nn

1n-

A имеют вид:

n

,

n

⎧⎫

⎪⎪

⎪⎪⎪ ⎪ ⎨⎬⎨ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎪

⎪⎪⎪ ⎪

⎩⎭

⎧⎫

cos

−

⎪⎪

a

13

=

n

a

23

cos

−

⎩⎭

α

n

β

n

a γγ

33 1

γγ

sin

= − +

+

()

nn

1

−

γ

sin

n

cos

()

−

nn

С учетом свойств ортогональных матриц

n

⎧⎫

⎪⎪

,

⎨⎬⎨ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎪

⎪⎪⎪ ⎪

⎩⎭

,

⎧⎫

α

cos

⎪⎪

a

31

=

n

a

32

Gsin sin

= . (7.13)

n1

n

⎪⎪

β

cos

n

⎩⎭

−

γγ

nn

−

sin

1

−

1

1n-

A , а также соот-

n

ношений, аналогичных (6.10), каждое из слагаемых

n = 2,3,…,N в фазе ϕ (7.9) приводится к виду:

(1) (1)

nn

yyL s sαΔ βΔ

− =+ + −

1111 12

nn n n n

−−− −

0,5 cos

− + −

() () () () () ()

cos cos 0,5 cos

n n nn nn

s s ks ksαΔ βΔ γ Δ Δ−−− ++

12 1122

nn n

n

−

cos cos

(1) (1) (1) (1)

nn nn

−− −−

ks ksγΔ Δ

11 1 2 2

() ()

()

−−

22

() ()

()

+

γγ

()

nn

1

−

sin

yy

,

γ

n

− ,

1nn

−

104 М. 7. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз

}

22

−− −

12(1) 2(1)

0,5 sin 0,5 sin

Ls sαΔ βΔ

++−

nn n

−− −

111 12

0,5 sin 0,5 sin cos cos

cos cos cos cos

+− +−+

()

cos cos cos cos

+ − + −

()

{

cos cos

− +

2 () 2 () () ()

nn nn

11111 11221

−−

nn nn

12112 12222

−−

nn nn

ss ssαΔ βΔ α βΔ Δ++ − +

() ()

12 12

nnnn

nn

22

nn

()

(1) () (1) ()

as s as sαα ΔΔ βα ΔΔ

nn

()

as s as sα β ΔΔ β β ΔΔ

nn

() ()

1

n

−

()

1112

−−

nn nn

−−

nn nn

(1) () (1) ()

−−

ssαβΔΔ

()

(1)

n

−

()

2,...,nN= . (7.14)

Формирование структуры фазы ϕ в общем случае (7.9) покажем на примере трехкратного переотражения луча

x y yy yx yx L L L Lϕ = − + − + − + − =++++

01 12 2 3 34 0 1 2 3

2

1111212

0,5 ds dssdssdssΔΔΔΔΔΔΔ+++++

0,5 ds dssdss dssΔΔΔΔΔΔΔ+++++

()

11 1 121 2 131 1 141 2

0,5 ds dssdssΔΔΔΔΔ++++

()

33 1 34 1 2 35 1 1 36 1 2

()

22 2 23 2 1 24 2 2

2

2222323

()

0,5 ds dssdssΔΔΔΔΔ++++

()

44 2 45 2 1 46 2 2

0,5 ds dssΔΔΔ+++

() () () ( ) () ()

2

11212

()

() () () () () ()

2

22323

()

55 1 56 1 2

0,5 dsΔ+ . (7.15)

() () () ()

2

333

()

66 2

()

3

()

() ()

2

***

xyyyx−−−−

01 2 3 4

В общем случае N–кратного переотражения в фазе ϕ (7.9) отсут-

n

ствуют слагаемые с первыми степенями Это говорит о том, что точки

**

yS∈ прямого лучевого отражения

nn

()

sΔ

(j = 1,2; n = 1,2,…,N).

j

соответствуют стационарному значению фазы ϕ.

Окончательный результат для амплитуды давления

N раз переотраженной волны в точке приема

1Nx+

()

может быть по-

1Npx+

лучен из выражения (7.8) применением многомерной (2N-мерной) стационарной фазы [12]

7.2. Содержание модуля 7 105

N

⎡⎤ ⎢⎥

ik L N

∑

⎢⎥

0

n

=

⎣⎦

π

δ

+ −

()

nN

det

()

2

4

D

2

N

, (7.16)

px

()

1

N

+

N

cos

1

=

∏

LL

n

0

γ

1

=

n

⎧⎫

⎪⎪

exp 2

⎨⎬ ⎪⎪

n

⎪⎪

⎩⎭

где D2N = (dij), i,j = 1,2,…,2N – симметричная матрица Гессе ленточной структуры с шириной ленты, равной семи. Параметр δ2N = sign(D2N) – разность между числом положительных и отрицательных собственных значений матрицы D2N.

Приведем схематичную структуру матрицы D2N с указанием

расположения ненулевых элементов dij.

⎛

dddd

11 12 13 14

⎜

dddd

⎜

21 22 23 24

⎜

dddddd

⎜

31 32 33 34 35 36

⎜

dddddd

41 42 43 44 45 46

⎜

=

D

0 0 ...

⎜

N

2

⎜

0 0 ...

⎜

0 0 0 0 ...

⎜

0 0 0 0 ...

⎜

... ... ... ... ... ... ... ... ...

⎝⎠

dddddd

53 54 55 56 57 58

dddddd

63 64 65 66 67 68

0 0 0 0 ...

0 0 ...

dddd

75 76 77 78

dddd

85 86 87 88

⎞

⎟

.

⎟

Приведем формулы для ненулевых элементов матрицы Гессе

dij, i ≤ j:

– диагональные элементы

2

⎧⎫

d

⎪⎪

21,21

nn

−−

⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎬ ⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪

d

2,2

nn

⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪

⎩⎭

11

−−

=+ + =

LL nN

()

1

nn n

−

⎧⎫

⎪⎪

sin

α

n

2

sin

β

n

⎩⎭

()

n

⎧⎫

⎪⎪

k

1

2cos,1,

()

k

2

⎩⎭

γ

n

; (7.17)

– внедиагональные элементы

11

dLL nNαβ

nn n n n n

21,2 1

−−

dL anNαα

21,21 1 11

nn n n n

− ++

dL anNαβ

21,2 2 1 21

nn n n n

− ++

dL anNβα

dL anNββ

= − = −

2,2 1 1 12

nn n n n

++

= − = − .

2,2 2 1 22

nn n n n

++

−−

= − += (7.18)

()

1

−

cos cos , 1, 1

= − = −

()

1

−

cos cos , 1, 1

= − = −

()

1

−

cos cos , 1, 1

()

1

−

cos cos , 1, 1

()

cos cos , 1,

n

106 М. 7. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз

Заметим, что оценка многомерного дифракционного интеграла (7.8) не сводится к последовательному асимптотическому анализу

двукратных интегралов, поскольку структура фазовой функции представляет собой довольно сложную комбинацию, зависящую от всех точек окрестностей

** *

, ,...,

SS S, участвующих в отражении луча.

12

N

Получено явное выражение (7.16) главного члена асимптотики дифрагированного поля в случае многократного отражения.

Формулы для давления p(x) в отраженной волне устанавливают его зависимость от параметров задачи, которые определяются главными кривизнами поверхностей в точках зеркального отражения, расстояниями между точками зеркального отражения, удалением источника волны от первой точки отражения, удалением точки приема от последней точки отражения, от направлений падающих волн.

Теоретическая значимость формулы (7.16) состоит в том, что давление в отраженной акустической волне в случае произвольного конечного числа её переотражений получено в замкнутом виде. Практическая важность формулы (7.16) определяется тем, что вычисление давления в переотраженной N раз волне сведено к вычислению определителя симметричной ленточной матрицы Гессе порядка 2N с шириной ленты, равной семи, который на современных компьютерах вычисляется в реальном масштабе времени.

7.2.3. Предельный случай многократного отражения

акустической волны от системы плоских акустически

твердых отражателей в пространственном случае

В данном пункте исследуется полученная в предыдущем параграфе формула амплитуды акустической волны, переотраженной произвольное конечное число раз в предельном случае расположения в точках зеркального отражения плоских участков отражающих поверхностей. Рассмотрены переотражения волны в двух случаях. Первым исследован случай многократного переотражения высокочастотной волны от плоских частей вдоль луча, расположенного в одной плоскости. Во втором случае изучается амплитуда многократно переотраженной волны от системы плоских отражателей вдоль луча, представляющего собой пространственную ломаную линию.

7.2. Содержание модуля 7 107

7.2.4. Случай расположения переотраженного луча в одной плоскости

Выпишем полученную в 7.1 формулу (7.16) для амплитуды

N раз переотраженной высокочастотной акустической волны вдоль луча

** * *

xyy y y x

−−−− − −

01 2 1 1

...

NNN

− +

N

⎡⎤ ⎢⎥

ik L N

∑

⎢⎥

=

n

⎢⎥

⎣⎦

N

LD

∏

nN

=

0

n

π

δ

+ −

()

nN

0

det

2

4

()

2

(7.19

px

⎧⎫

⎪⎪

exp 2

N

γ

=

()

+

1

Nn

cos .

∏

=

1

n

⎨⎬ ⎪⎪

⎪⎪

⎩⎭

Здесь элементы симметричной матрицы D2N = (dij), i,j = 1,2,…,2N

задаются формулами (7.17) и (7.18).

Если в точках зеркального отражения расположены плоские отражатели, то в этих точках все направления могут быть выбраны в качестве главных, причем главные радиусы кривизны

n

()

R = ∞ ,

j

j = 1,2; n = 1,2,…N. Это позволяет в каждой точке зеркального от-

ражения рассматривать падающий луч в координатной плоскости

nn

() ()

XOX правой декартовой системы координат

13

nnn

() () ()

OXXX

123

, ко-

торая имеет по отношению к падающему лучу те же характерные особенности, что и в общем случае. В выбранной системе координат направление падающего луча – { –sinγn, 0, –cosγn}, в связи с тем

что

αγ= −

nn

π

2

,

β =

n

π

и cosαn = sinγn, cosβn = 0, sinβn = 1.

2

Выпишем ненулевые элементы симметричной матрицы D2N.

112

dLL nNγ

nn n n n

21,21 1

−− −

dLLnN

2,2 1

−−

=+ =

()

11

−−

=+ =

nn n n

−

cos , 1,

,1,

)

1

dd L nNγγ

nn n n n n n

21,2 1 21,21 1

− ++− +

==− = −

ddLnN

2,2 2 2 2,2

===−

nn n n n

++

−

cos cos , 1, 1

1

−

,1,1.

Для наглядности приведем структуру матрицы D2N.

108 М. 7. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз

⎛⎞ ⎜

⎜

D

=

⎜

N

2

⎜

⎝⎠

0 0 0 0 0 0 ...

dd

11 13

0 0 0 0 0 0 ...

dd

22 24

0 0 0 0 0 ...

ddd

31 33 35

0 0 0 0 0 ...

ddd

42 44 46

0 0 0 0 0 ...

0 0 0 0 0 0 ...

ddd

53 55 57

ddd

64 66 68

dd

75 77

dd

86 88

... ... ... ... ... ... ... ... ...

⎟

.

⎟

Определитель матрицы D2N такой структуры, следуя [11], мож-

но представить в виде произведения определителей двух матриц

12

где матрица

det det det ,

DDD= ⋅

()

2

NNN

1

()

D размера NЧN составлена из строк матрицы D

N

нечетными номерами, а матрица

()

()()()

2

()

D размера NЧN составлена из

N

2N

строк матрицы D2N с четными номерами.

Если из каждой строки определителя симметричной матрицы

1

()

D вынести соответствующий множитель 2cosnγ , n = 1,2,…,N, то

N

элементы определителя ленточной матрицы

11

() ()

Dd= , i,j = 1,2,…,N

Nij

примут вид:

1

11

() ()

dd Lγγ

==−

,1 1, 1

nn n n n n n

++ +

()

dL L

,1

nn n n

11

−−

=+

−

cos cos .

()

,

1

−

с

Элементы определителя симметричной ленточной матрицы

22

() ()

Dd= , i,j = 1,2,…,N имеют вид:

Nij

2

()

dL L

,1nn n n

22

() ()

ddL

,1 1,nn n n n

++

Алгоритм вычисления определителя

2

на его основе

()

detND можно представить в виде:

11

−−

=+

−

1

==.

−

D приведен в [11; 24],

2

()

N

7.2. Содержание модуля 7 109

1

N

0

()

1

−

⎟

2

()

D

, а следова-

N

det .

DLL

К определителю матрицы

где ленточная матрица

То есть матрица тельно,

det det

DD= .

12

() ()

NN

D совпадает с матрицей

N

⎛⎞ ⎜

2

()

⎜

=

Nnn

∑

⎜

=

n

⎝⎠

D применяем свойство [11]

111

()

det det

DD= ,

()

NN

11

()

D с ненулевыми элементами

N

11

()

dLL

=+

,1nn n n

11 11

() ()

ddL

()

N

==.

,1 1,nn n n n

++

11

⎛⎞

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

∏

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝⎠

=

0

1

()

N

n

()

11

−−

−

Таким образом, определитель исходной матрицы D2N:

N

NN

⎛⎞⎛⎞ ⎜⎜

det cos

⎜⎜

DLLγ

=

∏∏

2

Nnnn

⎜⎜

⎝⎠⎝⎠

10

==

nn

⎛⎞ ⎜

⎟⎟

2

⎟⎟

⎜

⎟⎟

∑

⎜

⎟⎟

⎜

⎟⎟

⎜

=

n

⎝⎠

2

⎟

0

2

−

Подставим найденное значение в формулу (7.19) для давления в переотраженной акустической волне.

N

⎡⎤ ⎢⎥

∑

⎢⎥ ⎢⎥

⎣⎦

0

n

=

cos

π

+ −

δ

()

n

4

N

∑

=

2

⎟

0

nN

⎛⎞ ⎜

⎜

γ

⎜

⎝⎠

1

−

N

px

=

()

1

Nn

+

cos .

n

∏

=

γ

1

⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎜⎜ ⎜

⎜⎜ ⎜

⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠

nn n

⎧⎫

⎪⎪

exp 2

ik L N

⎨⎬ ⎪⎪

⎪⎪

⎩⎭

NN N

⎟⎟ ⎟

LLL

⎟⎟ ⎟

∏∏ ∏

nnnn

⎟⎟ ⎟

== =

01 0

В работе [24] доказано, что матрица D2N является положительно определенной, поэтому δ2N = sign D2N = 2N.

Следовательно, в предельном случае N-кратного переотражения высокочастотной акустической волны от системы акустически твердых плоских отражателей для амплитуды переотраженной волны получаем формулу:

N

⎛⎞ ⎜

⎜

exp

ik L

⎜

⎝⎠

n

N

∑

=

n

0

px

()

=

1

+

N

∑

=

L

⎟

n

⎟

0

.

(7.20)

n

110 М. 7. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз

7.2.5. Случай переотраженного луча, представляющего собой пространственную ломаную линию

В этом случае структура матрицы D2N Гессе значительно сложнее случая расположения пространственного луча в одной плоскости. Это связано с тем, что внедиагональные элементы симметричной ленточной матрицы D2N определяются ещё и элементами матриц вых координат в точках зеркального отражения плоских рассеивателей выбрать так же, как и в предыдущем пункте, то элементы матриц

a γγ

Вычислить аналитически в этом случае гессиан det(D2N) весьма затруднительно. Справедливость формулы (7.20) проверена аналитически на примере двукратного переотражения высокочастотной акустической сферической волны от двух акустически твердых плоских отражателей находящихся в касательных плоскостях к поверхностям препятствий в точках зеркального отражения. При этом луч может представлять собой любую пространственную ломаную линию.

1n-

A (7.13). Однако если расположение правых декарто-

n

1n-

A упрощаются

n

cos ,

= − +

11 1

n

=+ +

31 1

()

−

nn

n

a =

21

sin ,

()

−

nn

a =

0,

a =

n

0,

12

n

1,

22

n

0,

a =

32

n

a γγ

13 1

n

a =

23

a γγ

sin ,

= − +

()

−

nn

0,

n

cos .

= − +

33 1

()

−

nn

7.2.6. Выводы к модулю 7

1. На основе асимптотической оценки кратных интегралов Кирхгофа методом многомерной стационарной фазы получен главный член асимптотики давления в переотраженной произвольное конечное число раз высокочастотной акустической волне от поверхностей отражателей, находящихся в безграничной акустической среде. При этом траектория переотраженного луча представляет собой пространственную ломаную линию. Амплитуда давления выражается через определитель ленточной симметричной структуры с шириной ленты, равной семи. Особенности элементов определителя такие же, как и при двукратном переотражении.

2. Детально исследован предельный случай многократного переотражения акустической волны от системы плоских акустически