Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Асимптотические методы в гидроакустике. Учебное пособие
.pdf
8.2. Содержание модуля 8 131
.
В высокочастотном приближении главный член асимптотики
s
()
uxθ найдем из интегрального представления:
()
Q
cos
s
()
ux Vy e dl
()
θ
00
q
1
=
4
πμ
*
,Lxy= −
1
Лучевое представление перемещения
γ
LL
01
*
1
*
()
ss y
∫
*
l
,Lyx= −
ss
s
()
uxθ получено на осно-
ik
ϕ
sss
xy yxϕ = − + −
0
, (8.40)
()
,
(8.41)
ве метода стационарной фазы, применение которого к аналогичному интегральному представлению детально рассмотрено в первой
части пункта 8.2.2.
Метод решения.
⎧⎫
⎡⎤
()
Q
=
πμ
4
s
()
ux Vy
θ
π
2
q
1
k
s
()
ss
*
⎪⎪
⎪⎪
⎢⎥
⎨⎬
⎪⎪
⎢⎥
⎣⎦
⎪⎪
⎩⎭
LL L L
01 0 1
++ −
()
01
s
⎛⎞
⎜
++
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
π
ss
()
δ
()
4
LL
2
01
ργ
cos
,
⎟
⎟
⎟
⎟
1
(8.42)
где
ss
()
=++
⎛⎞
⎜
sign
LLδ
⎜
01
⎜
⎜
⎝⎠
2
LL
01
⎟
⎟
⎟
⎟
cos
ργ
1
.
Случай s - p трансформации. В этом случае (рис. 8.2) дека-
ртовы координаты вектора перемещений в отраженной p-волне
p
()
ux, k = 1,2, в точке x определяются третьим слагаемым в ин-
()
k
тегральном представлении (8.6)
pk
() ()
() [ (, )] (,)
ux yx ysdl= ⋅
kyp y
TU u
∫
*
l
и имеет следующее интегральное представление в развернутом
виде:
kk
() ()
⎡⎤
⎛⎞
UU U
∂∂ ∂
⎜
⎢⎥
12 2
()
p
ux uys uysdl
()
k py
μμλ
=+ ++
⎢⎥
∫
⎢⎥
*
l
⎣⎦
pp p
⎜
⎜
⎜
yy y
∂∂ ∂
⎜
21 2
⎝⎠
⎟
⎟
⎟
()
12
⎟
⎟
⎟
⎛⎞
⎜
,2 ,
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
()
k
div
U
k
()
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
()
(8.43)
Для асимптотической оценки при ks→∞ интегралов (8.43) ис-
пользуем асимптотическое представление при ks→∞
132 М. 8. Рассеяние высокочастотных упругих волн на полостях, ограниченных…
ik R
3
k
()
div
U
,1O
yx e
()
p
k
()
U
∂
jp
= − +
ykyyykR
∂∂∂∂
mpmkjp
3
k
p
2
4
k
μ
s
k
= − +
p
μ
4
k
21
π
21
2
π
kykR
s
e
pkp
ik R
p
π
e
−
i
4
R
p
π
e
−
i
4
RRR
∂∂∂
R
∂
∂
R
⎡⎤
⎛⎞
⎟
⎜
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥
1O ,
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎟
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
⎛⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
, (8.44)
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
(8.45)
Ryx= −;
R
∂
yR
∂
1
==−
,yyy;
()
12
yx
−
11
yl∈
sin
Здесь { -sinγ, cosγ} – координаты орта
ляющего направление отраженной p-волны.
;
γ
,
,,xxx x
()
123
yx
R
∂
yR
∂
−
22
==
2
yx вектора
()
0
; , , 1, 2kjm= ,
cos
γ
.
, опреде-
yx
После подстановки (8.44) и (8.45) в (8.43) получаем
3
k
()
p
()
ux e y dl
Φμ μ λ
= −
k y
2,2 ,
yuys uys
=++
() () ()
p
2
4
μ
RR R
∂∂ ∂
yy y
∂∂ ∂
12 2
π
k
s
12
π
i
−
2
4
Φ
()
ky
pk
∫
*
l
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
2
⎛⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
∂
∂
2
⎟
⎟
⎟
⎟
Re
ik R
p
R
,
.
Перейдем к локальной полярной системе координат r, θ в точке y* криволинейной границы. Компоненты вектора перемещений
приводятся к виду
ik R
3
= −
k
p
2
k
s
uxθ=,
π
()
p
4
μ
p
()
ux e y dl
() ()
r y
2
k
p
()
π
i
−
4
Φ
∫
*
l
0
p
e
, (8.46)
R
() ( )
2 sin cos , 2 cos ,yuysuysΦμγγ μγλ= − ++.
12
()
2
()
При асимптотической оценке интеграла Кирхгофа (8.46), как и
в случае s - s отражения, компоненты вектора полного перемещения в точках граничного контура y∈l следует взять в виде (8.37).
Подставляя (8.37) в (8.46), получим следующее интегральное
представление радиального перемещения:
8.2. Содержание модуля 8 133
+
Q
kk
p
()
ux V V
() ( )
r ss sp
22
⎛⎞
kk
⎜
ss
⎜
+ − ++ −
⎜
22
⎜
kk
⎜
⎝⎠
pp
q
pp
= −⋅ − −− +
2sin sin 1 1 sin
1
42
kk
πμ
ss
⎡⎤
⎟
22
⎢⎥
⎟
γγ γ
⎟
⎟
⎟
()
⎢⎥
11
⎢⎥
⎣⎦
2sin cos cos 1 sin
{
∫
*
l
VVdl
ss sp y
k
k
⎡⎤
γγ γ γ
p
s
11
⎢⎥
⎣⎦
ikR kR
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
+
()
0
sp
e
RR
0
.
(8.47)
Подстановкой соотношений (8.38) в подынтегральное выраже-
ние (8.47) доказывается, что
k
22
⎛⎞
kk
⎜
ss
⎜
⎜
22
⎜
kk
⎜
⎝⎠
pp
p
{ 2sin cos cos 1 sin
−−−+
2
k
s
22
2sin sin 1 1 sin cos
− ++ − =
γγ γ γ
γγ γ γ
⎡⎤
⎟
⎢⎥
⎟
⎟
⎢⎥
11
⎟
⎟
⎢⎥
⎣⎦
С учетом соотношения (8.47)
p
()
Lxy= − , *Lyx= −,
00
ux Vy e dl
= −⋅
()
rspy
*
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
Vy V y V y
()
()
ss sp sp
Q
q
1
4
πμ
Vy Vy
()
()
11
ss sp
k
p
k
s
p
()
ux преобразуется к виду:
()
r
k
cos
p
k
s
γ
LL
0
ϕ = − + −. (8.49)
sp
*
()
∫
*
l
k
s
xy yx
0
k
p
()
⎫
⎪
⎪
⎪
() ()
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
ik
ϕ
psp
, (8.48)
.
k
Разложения слагаемых
вид
kk
ss
xy L s L s
− =+ + +
00101
kk
pp
⎡⎤
⎢⎥
Δγ γ Δ
⎢⎥
⎣⎦
− =+ + +
Δγ γ Δ
s
xy
− и yx− в фазе ϕsp имеют
0
k
p
⎛⎞
−
12
sin 0,5 cos
sin 0,5 cosyx L s L s
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
⎛⎞
−
12
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
cos
cos
ρ
ρ
γ
γ
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
()
⎟
⎟
()
2
, (8.50)
2
. (8.51)
При s - p трансформации выполняется закон Снеллиуса
kssinγ1 = kpsinγ, а это доказывает, что слагаемое с Δs в фазе ϕsp (8.49)
отсутствует. Это говорит о том, что точка зеркального отражения y*
является стационарной точкой для фазы ϕsp.
134 М. 8. Рассеяние высокочастотных упругих волн на полостях, ограниченных…
Фаза ϕsp может быть приведена к виду:
kk k
ss s
ϕΔ
sp
LL s
=++ + + +
0
kkLLk
pp p
⎡⎤
⎢⎥
0,5
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
2.
cos cos
γγ
11
0
2.
cos cos
γγ
ρρ
2
()
.
(8.52)
Таким образом, главный член асимптотики интеграла (8.48) определяется коэффициентом при
2
sΔ
и может быть получен из вы-
()
ражения (8.52) применением метода стационарной фазы [17]
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎪⎪
⎢⎥
exp 1
ikL k L
Q
k
2cos
q
p
()
ux Vy
= −⋅
()
rsp
p
1
4
kk
μπ
sp
γ
LL
0
*
()
⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
cos cos
kk
ss
kL L k
pp
++ −
0
sp
⎢⎥
⎣⎦
2
γγ
cos cos
11
++ +
0
π
sp
()
δ
()
4
2
γγ
,
ρρ
(8.53)
где
sp
()
δ
=+++
⎛⎞
⎜
⎜
sign
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
2
cos cos
kk
γγ
ss
11
kL L k
pp
0
2
cos cos
γγ
ρρ
⎟
⎟
.
⎟
⎟
⎟
Таким образом, в данном параграфе получены явные выражения (8.42) и (8.53) главных членов асимптотических представлений
амплитуд перемещений в отраженных волнах при s - s отражении
и s - p трансформации на граничном контуре полости, находящейся в упругой среде.
8.2.4. Выводы к модулю 8
В рамках двумерной задачи динамической теории упругости
исследовано высокочастотное рассеяние продольной и поперечной
волн на криволинейной замкнутой гладкой границе полости, находящейся в изотропной упругой среде. Падающая высокочастотная
круговая волна обусловлена сосредоточенной силой, изменяющейся во времени по гармоническому закону. На основе оценки дифракционного интеграла Кирхгофа методом стационарной фазы получен главный член асимптотики перемещений в отраженных от
граничного контура продольной и поперечной волнах.
8.3. Проектные задания к модулю 8 135
8.3. Проектные задания к модулю 8
Доказательство некоторых соотношений в теории корот-
коволновой дифракции упругих волн
8.3.1. Случай p - p отражения
Подстановкой соотношений (8.13) в подынтегральное выраже-
ние (8.14) аналитически доказать, что
⎧
22
⎪
kk
⎪
pp
⎪
−− ++ − +
⎨
22
⎪
2
kk
⎪
ss
⎪⎣ ⎦
⎩
2
⎛⎞
k
⎜
s
⎜
+ −−−+=
2sin cos 1 sin cos
⎜
2
⎜
k
⎜
⎝⎠
p
С использованием закона Снеллиуса kpsinγ = kssinγ1 и подста-
новкой явных выражений коэффициентов Vpp и Vps (8.13) в подынтегральное выражение (8.24) аналитически доказать, что
⎡⎤
⎢⎥
sin2 sin 1 1 sin
γγ γ
⎢⎥
⎢⎥
⎟
2
⎡⎤
⎟
γγ γ γ
⎟
⎢⎥
⎟
⎣⎦
⎟
VV
()
()
k
pp ps
s
k
p
VV V
pp ps pp
2
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
.
8.3.2. Случай p - s трансформации
⎡⎤
cos 2 sin 1 1 sin
−− ++ −−
sin 2 cos 1 sin 2 cos
−−−+=−
⎢⎥
γγ γ
⎢⎥
1
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
γγ γ γ
1 1
⎢⎥
⎣⎦
()
VV
()
VV V
pp ps ps
k
s
pp ps
k
p
2
k
p
2
2
k
s
k
s
k
p
8.3.3. Случай s - s отражения
Подстановкой соотношений (8.38) в подынтегральное выраже-
ние (8.39) аналитически доказать, что
sin2 sin 1 1 sin
− ++ − =
cos2 cos 1 sin
−−−−
⎡⎤
⎢⎥
γγ γ
⎢⎥
11 1
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
11 1
⎢⎥
⎣⎦
()
Vy Vyγγ γ
()
()
ss sp
k
Vy Vy
()
ss sp
2cosssVyγ= − .
p
k
s
()
1
()
2
k
2
s
2
k
p
()
.
136 М. 8. Рассеяние высокочастотных упругих волн на полостях, ограниченных…
8.3.4. Случай s - p трансформации
Подстановкой соотношений (8.38) в подынтегральное выраже-
ние (8.47) доказать, что
k
p
{ 2sin cos cos 1 sin
−−−+
2
k
s
22
⎛⎞
kk
⎜
ss
⎜
2sin sin 1 1 sin cos
− ++ − =
⎜
22
⎜
⎜
kk
⎝⎠
pp
γγ γ γ
⎡⎤
⎟
22
⎢⎥
⎟
γγ γ γ
⎟
⎢⎥
⎟
⎟
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
Vy Vy V y
()
()
ss sp sp
11
Vy Vy
()
()
11
ss sp
k
p
k
s
() ()
()
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
.
МОДУЛЬ 9
ВОЛНЫ В АКУСТИЧЕСКОМ СЛОЕ
ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ
9.1. Комплексная цель модуля 9
Целью модуля 9 является освоение теории волноводов на примере распространения звука в слое постоянной толщины. К волновому уравнению в гармоническом режиме применяется преобразование Фурье, в результате удовлетворения граничным
условиям формула для акустического давления сводится к одномерному интегралу Фурье. Использование теории вычетов в сочетании с обобщенной леммой Жордана сводит это представление
к ряду в виде разложения по модам, который сходится как геометрическая прогрессия. Излагается физическая трактовка полученных выражений.
9.2. Содержание модуля 9
9.2.1. Волновой оператор в акустическом слое
Данный раздел посвящен аналитическим свойствам волновых
полей в акустическом слое постоянной толщины h. Рассматривается случай двумерной задачи. Выбираем декартову систему координат (x, y) так, что горизонтальная ось совпадает с нижней границей
слоя y = 0, а поверхностью верхней границы является y = h. В задачах подобного рода, где горизонтальная переменная пробегает
бесконечную прямую, эффективный метод решения может быть связан с применением преобразования Фурье вдоль этой горизонтальной координаты. Сначала построим функцию Грина для рассматриваемого акустического слоя. Такая функция является решением
всю
138 М. 9. Волны в акустическом слое постоянной толщины
неоднородного уравнения Гельмгольца с точечным источником,
входящим в правую часть уравнения и представимым дельта-фун-
кцией Дирака. Пусть источник расположен в точке (x
() () ( )( )
2
,,xy k xy x x y yΔΦ Φ δ δ+=−−. (9.1)
00
, y0):
0
Если мы применяем преобразование Фурье по переменной x,
то, используя свойства дельта-функции, приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению:
2
d
,,
sy s k sy e y y
ΦΦδ−− = −
()
2
dy
22
()
() ( )
isx
0
, (9.2)
0
где s – параметр преобразования Фурье и тильда обозначает образ
Фурье искомой функции Грина. Решение данного уравнения может быть выражено как сумма общего решения однородного уравнения (9.2) и частного решения полного уравнения:
yy
,()() ,, ()
sy Ase Bse sy s s k
ΦΦγγ
=+ + ==−
() ()
γγ
−
part
22
, (9.3)
где A(s) и B(s) – две произвольные постоянные, которые появляются при решении обыкновенного дифференциального уравнения
второго порядка. Для нахождения
Φ отметим, что частное реше-
part
ние может быть выбрано единым для всего пространства R2 и оно
может не удовлетворять граничным условиям на гранях слоя. Для
его нахождения можно снова применить преобразование Фурье к
уравнению (9.2), на этот раз по y. Тогда получаем
isx y
α
+
()
00
,
e
=
22
αγ
, (9.4)
+
Φα
s
()
part
где верхний индекс * обозначает образ Фурье, взятый по переменной y.
Применение обратного преобразования к уравнению (9.4) дает
∞
iyy
α
−
isx isx
sy d
Φα
()
part
ee ee
,
==
22
πγ
()
00
∫
−∞
0
22
αγ
+
yy
−−
0
γ
. (9.5)
Модуль |y0−y| появляется здесь в силу четности подынтегрального выражения по переменной α. Следовательно, общее решение
уравнения (9.3) принимает вид:
yy
γ
−−
isx
0
0
yy
sy Ase Bse
,()()
Φ
=+ +
()
γγ
−
ee
2
γ
. (9.6)
9.2. Содержание модуля 9 139
Далее, функции A и B следует определить из граничных ус-
ловий на гранях слоя y = 0 и y = h. Эти граничные условия могут
быть различных типов, и ниже мы рассмотрим наиболее важные
примеры таких условий. Решение уравнения (9.6) получается из
обратного преобразования Фурье и имеет форму
∞
1
,(,)
xy Lsye dsΦ
=
()
∫
2
π
−∞
−−
()
is x x
0
. (9.7)
1) Акустический слой заключен между двумя жесткими плас-
тинками. Тогда обе граничные поверхности являются акустически жесткими, следовательно, граничным условием и соответствующей функцией L(s, y) является
pp
∂∂
yy
∂∂
0, 0,
==
0
yyh
==
⎡⎤
,
Lsy
()
1
= . (9.8)
cosh cosh
hyy hyy
γγ
−− + −−
()
⎢⎥
⎣⎦
00
2sinh
γγ
⎡⎤
()
⎣⎦
h
2) Обе граничные лицевые поверхности свободны от приложен-
ного давления. Тогда
,
Lsy
()
2
=
pp
⎡⎤
cosh cosh
γγ
⎢⎥
⎣⎦
0, 0
==,
0
yyh
==
hyy hyy
−− + −−
()
00
2sinh
γγ
⎡⎤
()
⎣⎦
h
. (9.9)
3) Одна граница слоя находится в контакте с акустически твер-
дой пластиной, а другая свободна от приложенной нагрузки. В этом
случае
p
,
Lsy
()
3
∂
y
∂
⎡⎤
sinh sinh
γγ
⎢⎥
= . (9.10)
⎣⎦
0, 0
p
==
y
=
0
hyy hyy
−− + −−
()
yh
00
2 cosh
γγ
,
=
⎡⎤
()
⎣⎦
h
Какие выводы можно сделать из данных выражений? Первый
вывод – в данных структурах присутствует ветвящаяся функция
140 М. 9. Волны в акустическом слое постоянной толщины
γ(s). Тем не менее все построенные функции L(s, y) являются меромофными по переменной s. Это означает, что они аналитические,
так как их ряд Лорана в окрестности точек ветвления s=±k содержит только четные степени γ. Эти функции могут иметь не более
чем счетное число полюсов. Отметим, что
полюса упомянутых функций (9.8)–(9.10) могут быть вычислены в явном виде. Они совпадают с нулями соответствующего гиперболического синуса или косинуса в знаменателе и даются выражением
sinh( ) 0 ~ , ( 0,1,2,...)
hssmγγ==± =,
(1,2) 2 2
sk i k
= − = −
m
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎝⎠ ⎝⎠
(1,2)
m
22
mm
ππ
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
hh
(9.11)
в первом и втором случаях, и
cosh( ) 0 ~ , ( 0,1,2,...)
hssmγ ==±=,
(3)
m
⎡⎤⎡⎤
(1/2) (1/2)
mm
ππ
(3) 2 2
sk i k
= − = −
m
++
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
22
hh
(9.12)
в третьем случае. Очевидно, что для относительно низких частот
(малые значения волнового числа k) не существует действитель-
ных полюсов, и поэтому все сингулярности лежат вне контура интегрирования. С ростом частоты все больше и больше действительных полюсов попадает на действительную ось Im(s) = 0. Возникает
естественный вопрос: в каком смысле следует корректно трактовать интегралы типа (9.7), если контур интегрирования пересекает полюс мероморфной подынтегральной функции? Из принципа
излучения вытекает, что контур интегрирования следует немного деформировать вниз в окрестности положительных полюсов и
вверх около отрицательных полюсов. С учетом сделанного замечания, рассматриваемые интегралы могут быть вычислены в виде
ряда по простым полюсам sn, расположенным в верхней комплексной полуплоскости переменной s, согласно обобщенной лемме
Жордана. Для того чтобы иметь возможность деформировать контур интегрирования в верхней полуплоскости (такой прием более
часто применяется в литературе) вместо нижней, отметим, что все
функции L(s, y) в уравнениях (9.8)–(9.10) являются четными по переменной s, поэтому аргумент экспоненциальной функции is|x-x0|
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]