Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Асимптотические методы в гидроакустике. Учебное пособие
.pdf
9.2. Содержание модуля 9 141
в уравнении (9.7) может быть записан в виде положительной величины вместо отрицательной -is|x-x0|:
∞
12
Lsye ds Lsye is
∫
22
ππ
−∞
isxx isxx
−−
,Res,,
() ()
00
=
∞
i
π
∑
m
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
0
=
. (9.13)
m
Это порождает выражения
∞
⎡⎤⎡⎤
cos / cos /
my y h my y h
ππ
Φ
Φ
− ±+
(1,2)
,1
xy e
= −
()
(3)
xy
()
∞
,
=×
∑
=
m
⎣⎦⎣⎦
∑
m
0
=
⎡⎤⎡⎤
sin 1 / 2 / sin 1 / 2 /
myyh myyh
ππ
() ()
⎣⎦⎣⎦
0
00
2
+ − ±++
× − , (9.14)
22
mkh
π
−
()()
00
2
21/2
mkh
π
()()
(3)
m
is x x
m
1
e
()
22
+ −
−
0
()
m
(1,2)
is x x
m
−
0
,
которые называются разложение по модам. Структура, которая
имеет модовые решения, называется волноводом. Таким образом,
можно сделать вывод, что слой постоянной толщины является типичным волноводом.
Из разложения (9.14) и уравнений (9.11), (9.12) ясно, что если
частота меньше, чем некоторая положительная величина, то тогда в слое могут существовать только волны, экспоненциально затухающие с расстоянием |x-x0| (кроме симметричных случаев 1 и 2
при m = 0). Такие затухающие волны называются неоднородными
модовыми волнами. В противном случае, если волновое число достаточно велико, существует конечное число волн, которые могут
распространяться без затухания вдоль длины слоя. Такие незатухающие волны называются однородными модовыми волнами. Оказывается, что эти волны являются плоскими для любого 0 < y < h,
если мы запишем их в полном виде с зависящим от времени множителем,
где
ss= или
mm
(1,2)
is x x t
,,
xyt Aye
Φ
()()
ss= , с некоторой скоростью распространения
mm
= , (9.15)
(3)
()
m
−−
0
ω
волны, которая для m-й моды равна vf=ω/sm, или
142 М. 9. Волны в акустическом слое постоянной толщины
1
⎡⎤
(1,2)
vc
f
(3)
vc
== −
f
ωπ
==−
(1,2)
s
m
⎡⎤
⎢⎥
ω
⎢⎥
(3)
s
m
1
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
⎢⎥
⎜
1
⎢⎥
⎜
⎜
⎝⎠
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
mc
π
+
()
⎜
⎜
⎜
⎜
ω
⎝⎠
mc
ω
1/2
h
−
2
⎟
,
⎟
⎟
⎟
h
1
−
2
⎟
⎟
. (9.16)
⎟
⎟
⎟
Эта величина называется фазовая скорость m-й моды. Очевид-
но, что фазовая скорость всегда больше, чем скорость звука в среде: vf ≥ c. Только в случае симметрии, при m = 0, фазовая скорость
равна c:
(1,2)
vc= (m = 0).
f
Также следует отметить, что все построенные модовые решения
удовлетворяют условию излучения, так как для x→+∞ они ведут
себя как волны, излучаемые вправо и для x→−∞, как волны, излучаемые влево:
is x t
ωΦ−
()
,, ,
xyy Bye x
()()
xyy Dye x
Φ
()()
= → +∞ ,
,, ,
= →−∞
m
is x t
ω
− +
()
m
. (9.17)
что очевидно из рассмотрения экспоненциального множителя в
(9.15).
Полезные комментарии
1. В литературе неявно используется представление, что волновые проблемы в замкнутых структурах, таких как слой, могут
порождать только мероморфные символические функции L(s,y), а
волновые проблемы в открытых структурах (таких как полуплоскости) всегда приводят к определенным функциям с ветвящимися
точками. Остается неясным, всегда ли данное утверждение имеет
место, однако не известно ни одного примера, который бы опровергал данное утверждение. Представленный здесь материал доказывает, что слой постоянной толщины действительно обладает данным свойством.
2. Рассмотренная задача для слоя постоянной толщины демонстрирует эффективную суть методов теории комплекснозначных аналитических функций. Решение в явной форме было сначала получено в виде интеграла Фурье, вычисление которого «в
9.2. Содержание модуля 9 143
лоб» прямыми численными методами чрезвычайно сложно, так
как подынтегральное выражение является сильно осциллирующей функцией с несколькими сингулярностями (полюсами) на вещественной оси. Кроме того, интервал интегрирования бесконечен. Применяя теорию вычетов, объединенную с леммой Жордана,
мы сводим интеграл к эквивалентному виду, в котором решение
выражается экспоненциально сходящимся рядом, что делает
про-
блему вычисления решения гораздо более легкой.
9.2.2. Суммирование осциллирующих рядов
Как мы видели в предыдущем разделе, во многих задачах уда-
ется найти преобразование, при котором решение можно представить в виде ряда, сходящегося намного быстрее, чем исходное
представление, так что полученный ряд может быть вычислен более эффективно. К сожалению, этот метод неприменим, как правило, для преобразования рядов с осциллирующими членами, по
крайней мере, в его прямом приложении. Здесь мы изучаем ряд,
с которым столкнемся в предстоящем анализе высокочастотных
процессов в слое постоянной толщины:
∞∞
cos sin
mm
CS
ξξ
==
() ()
ββ
∑∑
==
mm
ξξ
,
ββ
mm
11
. (9.18)
Как известно, эти ряды сходятся в классическом понимании,
если Re(β)>0. Однако практическое вычисление для относительно
малого β – трудоемкая задача. Конкретные расчеты показывают,
что для вычислений с тремя значащими цифрами нужно взять несколько сотен тысяч членов ряда. Естественно, возникает вопрос об
ускорении сходимости.
С этой целью мы привлекаем некоторые результаты из теории
дзета-функции Римана. Вспомним, что простая и обобщенная дзета-функции Римана определяются, соответственно, следующими
рядами:
∞∞
ssv
ζζ
() ( )
11
==
,,
∑∑
ss
m
==
11
mm
mv
()
. (9.19)
+
Можно показать, что обе функции, как функции аргумента s,
аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением син-
144 М. 9. Волны в акустическом слое постоянной толщины
гулярной точки s = 1, которая является простым полюсом для обеих функций.
Для дальнейшего нам понадобится классический результат,
полученный из формулы Гурвица:
∞
2cos /2
⎛⎞
⎜
ζβ
⎜
⎜
⎝⎠
ξ
1,
− ==
2
Γβ ξ πβ
()
⎟
⎟
⎟
⎟
π
∑
ββ
2
π
m
()
m
−
()
=
1
m
⎛⎞
2
Γβ
()
=+=
=+ >
⎜
cos sin
⎜
ββ β
⎜
⎜
⎝⎠
2
π
()
2
Γβ
⎛⎞
()
⎜
cos sin , Re 0
⎜
β
⎜
⎝⎠
2
π
()
∞∞
cos sin
πβ ξ πβ ξ
22
πβ πβ
CS
22
mm
∑∑
mm
==
11
mm
ξξξ
() ()
ββ
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
(9.20)
.
Наша конечная цель состоит в том, чтобы получить из выражения (9.20) разложение по степеням ξ. С этой целью попытаемся
разложить второе равенство (9.19) в ряд Тейлора около точки v = 0,
принимая во внимание, что производная функции ζ(s,v) по v в точке v = 0 – обычная дзета-функция Римана с некоторой степенью s.
Именно, из (9.19) получается
∞
sv
ζ
()
11
,
=+ =
∑
ss
v
mv
+
=
1
m
()
1
∞
1
=+ − +=
∑
s
v
m
()
=
0
m
1
11
ss s m
++−
…
()( )
!
m
ζ
smv
()
m
(9.21)
1
∞
1
=+ − +=
s
v
∑
m
=
0
()
sm
Γ
+
()
m
10!1.
Γ
sm
()
smv
ζ
()( )
!
m
Следовательно, левая часть выражения (9.20) допускает альтернативное представление
1
β
−
∑
m
∞
=
()
0
+ −
1
m
Γβ
()
m
()
−
m
()
m
⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎜
− =+− + −
1, 1 1 .
ζβ ζ β
⎜⎜
⎜⎜
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞
2
ξπ ξ
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
21!2
πξ Γβ π
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
m
(9.22)
9.2. Содержание модуля 9 145
Поскольку левые части выражений (9.20) и (9.22) идентичны,
их правые части также должны совпадать друг с другом. Это позволит построить два независимых разложения по степеням (ξ/2π),
отдельно для
∑
∞
cos( ) /
1
m
=
mm
β
ξ
и
∑
∞
sin( )/
1
m
=
mm
β
ξ
, так как чет-
ные степени ξ в (9.22) относятся к первому ряду, а нечетные – ко
второму. Единственное затруднение состоит в присутствии нерегулярного члена (2π/ξ)
1−β
в (9.22). Одна часть этого члена относится
к ряду с косинусами, а другая часть – к ряду с синусами. Корректное разделение этого нерегулярного слагаемого произвести не так
просто. Чтобы сделать это, используем формулу Пуассона. В нашем случае ее можно применить следующим образом:
im im
ξξ
∞∞ ∞
ee
∑∑ ∑
m
mm m
== =
10 1
ii
ξξ
eeHHm
==++
ββ
1
m
+
()
⎡⎤
1
⎢⎥
(0) 2 2
⎢⎥
2
⎣⎦
π
()
, (9.23)
где
∞
2 cos 2 , 0,1,2,...
Hm mu dum
ππ
==
() ( )
∫
0
iu
ξ
e
β
1
u
+
()
(9.24)
Если m – положительное целое число (m≥1), то последнее ра-
венство дает только регулярное разложение по степеням ξ для
H(2πm), если возникающие интегралы понимать в обобщенном
смысле. Следовательно, нерегулярный член может быть получен
из случая m = 0 следующим образом:
∞∞
iu iu
ξ
(0) ~
Hdu
∞
iu
edu
11(1)/2
ββπβ
−−−
~1 (0),
ξΓβξξ
∫
u
0
eedu
==
∫∫
00
β
ββ
1
uu
++
() ( )
= −→+
()
1
β
−
ξ
(9.25)
ξ
i
e
откуда
im
ξ
∞∞
e
∑∑
m
10
mm
==
10,
Γβξ ξξ
= − + → +
() ( )
β
1(1)/2
im
βπβ
−−
ea
m
(9.26)
с некоторыми коэффициентами am регулярной степенной части.
Отделяя вещественную и мнимую части в последнем равенстве,
мы видим, что
146 М. 9. Волны в акустическом слое постоянной толщины
∞∞
cos
m
ξπ
1cos1 ,
Γβ βξ ξ
= −−+
∑∑
mm
∞∞
∑∑
mm
β
m
10
==
sin
m
β
m
10
==
() ()
ξπ
1sin1 .
Γβ βξ ξ
= −−+
() ()
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
2
⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
2
⎣⎦
12
β
−
121
β
− +
m
b
d
m
m
(9.27)
m
(9.28)
Как сказано выше, коэффициенты регулярных разложений могут быть определены с помощью сравнения правых частей формул
(9.20) и (9.22), что в конечном итоге дает при ξ, β > 0:
∞
cos
m
+
−
C
ξΓββξ
==−−+
() ( ) ( )
β
2()(1 )cos( /2) 2 ! 2
ΓβΓ β πβ π
S
β
2()(1 )sin( /2) 2 1! 2
ΓβΓ β πβ π
∑
m
=
β
2
π
()
−
∞
ξΓββξ
==−−−
() () ()
∑
m
=
β
2
π
()
− +
ξπ
1
1
sin
m
m
β
m
β
1 cos 1
∞
(2 1 ) (2 1 )
mm
Γβζβξ
∑
0
m
=
ξπ
1sin1
∞
(2 2 ) (2 2 )
mm
Γβζβξ
∑
0
m
=
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
2
⎣⎦
β
+ − + −
m
()
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
2
⎣⎦
β
+ − + −
m
()
1
−
(9.29)
⎛⎞
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
1
−
(9.30)
⎛⎞
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
2
m
⎟
⎟
⎟
⎟
21
m
+
⎟
⎟
⎟
⎟
.
Чтобы оценить, как быстро члены последнего ряда убывают с
возрастанием m, применим формулу
2()
πΓα
zz
( ) ~ ( ); ~ ( ).
zezz zz
Γ
−−
zz
→ +∞⇒ →+∞
z
+
()
Γγ
+
αγ
(9.31)
Эта оценка показывает, что члены рядов (9.29) и (9.30) убывают как O[m−β(ξ/2π)2m] с ростом m→∞, потому что (2m)! = Γ(2m+1) и
(2m+1)! = Γ(2m+2). Следует также отметить, что достаточно оценить
их только на интервале 0< ξ ≤π, в силу очевидной периодичности:
Cβ(2π−ξ) = Cβ(ξ), Sβ(2π−ξ) = -Sβ(ξ). Следовательно, скорость сходимости ряда (9.54) является такой же, как и у геометрической прогрессии {qm} с основанием q ≤ 1/2. На практике достаточно удерживать
три или четыре члена, чтобы обеспечить высокую точность.
Приведем явные выражения для специальных случаев, которые будут использованы в следующем разделе:
9.2. Содержание модуля 9 147
C ( ) 1.460 0.0255 0.00444 0.00267
ξξ≈− ++ +
1/2
C ( ) 2 2.612 0.208 0.00852 0.00309
ξπξ≈− ++ + +
3/2
C ( ) 1.341 1.460
ξξ≈− ++ −0.0255 −0.00444
5/2
πξξξ
22!4!6!
S()
ξξ
1/2
S() 2 -1.460
3/2
22
πξξξ
πξξ
≈−0.208 − 0.00852 − 0.00309
23!5!
ξ
ξπξξ≈ + 0.0255 + 0.00444 , (9.35)
3/2
32!4!6!
22
πξξ
S ( ) 2.612 0.00852
ξξξ≈− + + 0.208 + (9.37)
5/2
3/2
33!5!
246
, (9.32)
35
, (9.33)
246
ξξξ
2! 4! 6!
35
ξξ
, (9.34)
3! 5!
24 6
, (9.36)
35
На практике все они используются при 0< ξ ≤ π, а затем перио-
дически продолжаются. Относительная ошибка этих формул меньше, чем 1%. Точность этих формул может быть улучшена, если
взять больше членов ряда. В таблице 9.1 приводится сравнение результатов, рассчитанных по формулам (9.32)–(9.37), с результатами, полученными прямыми расчетами по формулам (9.18) с двойной точностью на Фортране с сохранением 5·105 членов ряда:
C
C
S
1/2
S
1/2
C
C
S
3/2
S
3/2
C
C
S
5/2
S
5/2
ξ
, (9.18)
1/2
, (9.32)
1/2
, (9.18)
, (9.33)
, (9.18)
3/2
, (9.34)
3/2
, (9.18)
, (9.35)
, (9.18)
5/2
, (9.36)
5/2
, (9.18)
, (9.37)
Таблица 9.1
π/8 π/4 3π/8 π/2 5π/8 3π/4 7π/8
0.5418
0.5420
1.916
1.918
1.058
1.057
0.9975
0.9977
1.043
1.042
0.6167
0.6166
-0.0380
-0.0379
1.249
1.250
0.4552
0.4548
1.077
1.077
0.6283
0.6278
0.9054
0.9051
-0.2874
-0.2872
0.9067
0.9073
0.0366
0.0363
1.007
1.008
0.2160
0.2153
0.9976
0.9972
-0.4275
-0.4274
0.6672
0.6675
-0.2705
-0.2708
0.8645
0.8651
-0.1533
-0.1542
0.9486
0.9481
-0.5136
-0.5135
0.4743
0.4745
-0.4938
-0.4939
0.6783
0.6790
-0.4573
-0.4585
0.7961
0.7954
-0.5665
-0.5664
0.3058
0.3060
-0.6465
-0.6466
0.4653
0.4659
-0.6825
-0.6840
0.5700
0.5691
-0.5954
-0.5956
0.1501
0.1506
-0.7357
-0.7359
0.2363
0.2366
-0.8207
-0.8223
0.2966
0.2952
148 М. 9. Волны в акустическом слое постоянной толщины
Полезные комментарии
Вышеупомянутые идеи могут быть применены для вычисления
сумм расходящихся рядов. Как известно, тождества (9.29) и (9.30)
могут быть аналитически продолжены по параметру β в комплексную плоскость, для тех β, для которых и левая и правая части существуют. В качестве примера приведем два замечательных расходящихся ряда
∞∞
() cos , () sin
CmmSmmξξξξ
==
1/2 1/2
−−
1/2 1/2
∑∑
11
==
mm
(9.38)
и сравним результаты, рассчитанные прямым суммированием и
методом с использованием полученных формул (9.29), (9.30) при
β=−1/2. Для этого случая данные ряды выражаются как
1
πξξξ
C ( ) 0.208 0.00852 0.00309 0.00346
ξξ≈− − − − −
-1/2
-3/2
2 2 2! 4! 6!
246
, (9.39)
1
πξξ
S ( ) 0.0255 0.00444 0.00267
ξξ ξ≈− − −
-1/2
-3/2
2 2 3! 5!
35
. (9.40)
В прямом суммировании использованы идеи, известные из теории расходящихся рядов. Именно, полагаем x = 0,999 и берем верхний предел суммирования 5·104 в рядах
∞∞
∑∑
mm
1/2 1/2
mm
xm m xm mξξ
11
==
cos , sin
, (9.41)
рассматриваемых как обобщенное значение ряда (9.38). Разумеется, ряды (9.41) сходятся в обычном смысле. Результаты сравнения
отражены в таблице 9.2:
Таблица 9.2
C
C
Σ
Σ
-1/2
-1/2
, (9,41)
-1/2
, (9,40)
-1/2
ξ
, (9,41)
, (9,39)
π/8 π/4 3π/8 π/2 5π/8 3π/4 7π/8
-2,745
-2,755
2,5461
2,5364
-1,109
-1,111
0,8816
0,8799
-0,7035
-0,7041
0,4594
0,4588
-0,5372
-0,5376
0,2755
0,2752
-0,4540
-0,4543
0,1715
0,1714
-0,4094
-0,4096
0,1017
0,1019
-0,3869
-0,3870
0,0476
0,0485
Впечатляющая таблица для расходящихся рядов, не так ли?!
9.2. Содержание модуля 9 149
9.2.3. Приложение:
Эффективный расчет волнового поля в слое
Вернемся к проблеме эффективного вычисления волновых по-
лей в слое постоянной толщины. Отметим, что для произвольного
фиксированного k только конечное число N элементов в представлении (9.14) имеют вещественную фазовую скорость vf=ω/sm с вещественными sm. Для всех других членов, когда m > N, числа sm
мнимые, причем |sm| растет вместе с m. Следовательно, ряд (9.14)
сходится как геометрическая прогрессия в случае x≠x0. Многие исследования были посвящены вопросу эффективного вычисления
акустических волн в слое постоянной толщины для случая x=x0,
поэтому представим здесь краткий обзор существующих методов.
В принципе, прямое вычисление интеграла (9.7), где L(s) опре-
делена любой из формул (9.8)–(9.10), является приемлемым, так
как все особенности подынтегрального выражения лежат на конечном отрезке −k < s < k. За пределами этого интервала подынтегральное выражение убывает экспоненциально (мы исключаем
случай y=y0 из рассмотрения, потому что при одновременном x→x0,
y→y0 построенная функция Грина имеет логарифмическую особенность). Но на практике этот подход никогда не применяется по следующим двум причинам. Во-первых, конечное число вещественнозначных особенностей является простыми полюсами, и интеграл
может быть сведен к сингулярному интегралу типа Коши добавлением половины вычетов в соответствующих полюсах. Однако прямая численная трактовка сингулярных интегралов является более
сложной задачей по сравнению с непрерывными подынтегральными выражениями. Во-вторых, численное вычисление любого интеграла (даже с непрерывным подынтегральным выражением)
всегда является более трудоемкой задачей, чем вычисление суммы ряда. В силу этого преобразуем интеграл к некоторому ряду.
С другой стороны, модовое разложение (9.14) при x=x0 не может
быть использовано для прямых численных расчетов в записанном
там виде, так как общий член там убывает как 1/n. Ряд сходится из-за наличия осциллирующего множителя, но это абсолютно
не подходит для прямых вычислений. Чтобы преодолеть эту трудность, некоторые авторы применяют в этом случае так называемое
преобразование Куммера. Если x=x0, то модовые разложения (9.14)
могут быть представлены как комбинация следующих рядов:
150 М. 9. Волны в акустическом слое постоянной толщины
()
η
∞
=
∑
m
±
F
qpkp mp mππ
mm m m
22 (1,2) (3)
= − ==+
,,
(1)
0
=
m
cos
p
η
()
⎪⎪
−
q
m
m
⎪⎪
⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩⎭
(3)
sin
p
()
m
η
, (9.42)
⎛⎞
1
⎟
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
.
⎟
⎟
⎟
2
(1,2)
⎧⎫
⎪⎪
Точнее,
⎡⎤
⎛⎞
yy
(1)
xy F F
Φ
()
(2)
xy F F
Φ
()
(3)
xy F F
Φ
()
1
,
=+
0
2
1
,
= −
0
2
1
,
=+
0
2
−
++
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
++
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
−−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
0
⎜
⎜
⎜
⎜
hh
⎝⎠
⎛⎞
yy
−
0
⎜
⎜
⎜
⎜
hh
⎝⎠
⎛⎞
yy
−
0
⎜
⎜
⎜
⎜
hh
⎝⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎛⎞
yy
+
0
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
⎛⎞
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
⎛⎞
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
yy
+
0
⎟
⎟
⎟
⎟
yy
+
0
⎟
⎟
⎟
⎟
,
, (9.43)
,
и тогда проблема может быть сведена к вычислению ряда (9.42).
При этом эффективное вычисление основано на том, что
±
F
∞∞
() ( 1)
η
= −−+
∑∑
nn
==
⎧⎫ ⎧⎫
⎪⎪ ⎪⎪
⎪⎪ ⎪⎪
n
⎪⎪ ⎪⎪
⎨⎬ ⎨⎬
⎪⎪ ⎪⎪
00
⎪⎪ ⎪⎪
⎪⎪ ⎪⎪
⎩⎭ ⎩⎭
(1,2) (1,2)
cos cos
pp
ηη
()
sin sin
pp
()
⎛⎞
nn
(3) (3)
nn
11 (1)
⎜
⎜
⎜
⎜
qr r
⎝⎠
ηη
⎟
⎟
⎟
⎟
nn n
n
−
()
, (9.44)
()
qpkrpb= − =+.
nn nn
22 22
,
Теперь для любого фиксированного значения параметра k общий член в первом ряду убывает как 1/n3, и ряд становится подходящим для эффективных вычислений. При этом второй ряд сходится все еще так же медленно, как в (9.14). Однако здесь допустимо
применение формулы суммирования Пуассона. Мы уже рассматривали некоторые ряды по этой формуле в предыдущем разделе,
приведем здесь более полный обзор. Если f(x)∈C[0,∞), f(x)∈L1[0,∞)
и a является параметром, то
∞∞
() (0) (0)2
afan f F F
∑∑
==
01
nn
an
=++
2
⎛⎞
2
π
⎟
⎜
, (9.45)
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
a
где F(s)– косинус-преобразование функции f(x):
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]