Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Асимптотические методы в гидроакустике. Учебное пособие
.pdf
5.4. Проектные задания к модулю 5 81
Задача 5.4.1. Обратное отражение сферической волны
от кругового цилиндра.
Рассмотрим случай обратного отражения, когда источник вол-
ны и приемник расположены в точке A радиального направления. Расстояние точки A от граничной поверхности обозначим
= R + z, где переменная z принимает значение в интервале
L
A
z∈(–R,+∞) (см. рис. 5.2) и отсчитывается от оси цилиндра.
Если в точке отражения B поместить плоский отражатель, то
давление в точке A при обратном отражении определяется формулой (5.13).
Рис. 5.2. Обратное отражение высокочастотной акустической волны от плоского
и от цилиндрического отражателей
Давление при обратном отражении от кругового цилиндра да-
ется выражением (5.12) с учетом, что L0 = L = R + z.
С учетом принятых обозначений на основе формул (5.12) и
(5.13) выписать аналитические выражения для давления в точке B в отраженной акустической волне от граничной поверхности
кругового цилиндра границы отражателя и от плоского твердого
отражателя, расположенного на касательной плоскости к круговому цилиндру в точке зеркального отражения.
82 М. 5. Высокочастотная дифракция акустических волн на поверхностях…
Для каждого из случаев построить графики функции величины
RP B от переменной x / R. Кривая 1 должна соответствовать от-
()
ражению от прямолинейного отражателя, а кривая 2 – обратному
отражению от кругового контура (рис. 5.2).
Сделать практические выводы.
Задача 5.4.2. Обратное отражение акустической волны
от сферической поверхности.
В обозначениях предыдущего пункта 5.4.1 рассмотрим случай обратного отражения волны для сферического отражателя
(рис. 5.3).
Если в точке отражения B поместить плоский отражатель, то
давление в точке A при обратном отражении определяется формулой (5.13).
Рис. 5.3. Обратное отражение высокочастотной акустической волны от плоского
и от сферического отражателей
5.4. Проектные задания к модулю 5 83
Давление при обратном отражении от сферической границы
дается выражением (5.12) с учетом, что L0 = L = R + z, k1 = k2 = R–1,
–2
sinα = sinβ = cosγ = 1, K = R
.
С учетом принятых обозначений на основе формул (5.12) и
(5.13) выписать аналитические выражения для давления в точ-
ке B в отраженной акустической волне от граничной поверхности
сферической границы отражателя и от плоского твердого отражателя, расположенного на касательной плоскости к сфере в точке
зеркального отражения.
Для каждого из случаев построить графики функции величины
RP B от переменной x / R. Кривая 1 должна соответствовать от-
()
ражению от прямолинейного отражателя, а кривая 2 – обратному
отражению от сферической поверхности (рис. 5.3).
Сделать практические выводы.
МОДУЛЬ 6
КОРОТКОВОЛНОВАЯ ДИФРАКЦИЯ АКУСТИЧЕСКИХ
ВОЛН НА ГРАНИЧНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ С УЧЕТОМ
ДВУКРАТНЫХ ПЕРЕОТРАЖЕНИЙ
6.1. Комплексная цель модуля 6
Целью модуля является нахождение в рамках ГТД явного выражения амплитуды давления в двукратно отраженной волне от
граничных поверхностей как выпуклых, так и невыпуклых препятствий, находящихся в гидроакустической среде. Рассматривается трехмерная задача. Четырехкратные дифракционные интегралы для амплитуды давления в переотраженной волне получены
на основе модификации физической теории дифракции Кирхгофа. Излагается асимптотический метод оценки четырехкратных
дифракционных интегралов, основанный на методе четырехмерной стационарной фазы. Получена явная формула для давления в
двукратно отраженной волне.
6.2. Содержание модуля 6
6.2.1. Постановка задачи о двукратном рассеянии
высокочастотной акустической волны на гладких граничных
поверхностях твердых препятствий, находящихся
в бесконечной акустической среде
Пусть из точки x0 бесконечной акустической среды на гладкую
граничную поверхность S1 препятствия (трехмерная задача) падает круговая монохроматическая высокочастотная волна (рис. 6.1).
Волна порождается точечным источником давления δ(x0)e
дящимся в точке x0, где ω – частота колебаний. При этом давление
-iωt
, нахо-
6.2. Содержание модуля 6 85
в падающей волне в точке y бесконечной трехмерной акустической
среды определяется выражением:
1
−
ik x y
inc
py x y e
()
= −
0
−
0
,
где k = ω / c, а c – скорость распространения акустической волны.
Целью является исследование давления в двукратно отражен-
ной волне от замкнутых поверхностей S1 и S2 акустически твердых
препятствий, находящихся в бесконечной акустической среде.
6.2.2. Метод решения. Двукратное отражение акустической
волны от граничных поверхностей препятствий
Прямое использование приближения Кирхгофа в этом случае невозможно [4], так как оно не описывает многократно отраженных волн. Если в формулу Грина подставить в качестве p
значения геометрооптического первичного поля, то приближение
Кирхгофа дает лишь однократно отраженную волну. Двукратно
отраженная волна получится лишь тогда, когда граничные значения p
inc
(y) включают в себя и первичное поле, и его однократное
отражение. Для решения задачи о двукратном отражении волн будем исходить из модификации приближения Кирхгофа [4]. Двукратно отраженные волны будем находить интегрированием по
окрестности
*
s второй точки зеркального отражения
2
*
y , лучей, по-
2
лученных при однократном отражении от окрестности
точки зеркального отражения
*
y . Такая модификация означает,
2
что при нахождении главного члена асимптотики четырехкратного дифракционного интеграла мы будем находиться в рамках расчета амплитуды давления в двукратно отраженной волне по ГТД.
Рассмотрим повторное отражение луча
**
xyyx−−−, излуча-
01 2 3
емого из точки x0 и принимаемого в точке x3 (рис. 6.1). При этом
*
точки
y и
*
y могут принадлежать как одной поверхности, так
1
2
и разным двум. Давление в точке приема p(x3) дается следующей
формулой:
inc
(y)
*
s первой
1
,
yx
Φ∂
()
px py dS
() ()
32 2
2
=
∫∫
*
S
2
n
∂
23
2
. (6.1)
86 М. 6. Коротковолновая дифракция акустических волн на граничных поверхностях…
Рис. 6.1. Двукратное отражение высокочастотной акустической волны от гладких
Здесь p(y2) – давление в падающей волне в точке
ности точки
окрестности
*
y , которое определяется после первого отражения на
2
*
S
точки
1
*
y .
1
препятствий
*
yS∈ окрест-
22
В то же время давление p(y2) само выражается подобной формулой:
py p y dS
=
() ()
211
∫∫
inc
2.
*
S
1
Φ∂
n
∂
(6.2)
1
Принимая во внимание, что
1
−
ik x y
inc
py xy e
= − (6.3)
()
101
−
01
определяет падающее поле, соответствующее точечному источнику
x0, можно выписать следующее основное представление:
2
⎛⎞
cos cos
k
px e dSdS
()
⎜
= −
⎜
312
⎜
⎜
2
π
⎝⎠
γγ
⎟
⎟
⎟
⎟
LLL
012
12
∫∫ ∫∫
**
SS
21
ik
ϕ
,
(6.4)
6.2. Содержание модуля 6 87
xy yy yxϕ = − + − + − , (6.5)
Так же, как и в случае однократного отражения, окрестности
*
S
и
1
Lxy= − ,
001
*
S
точек зеркального отражения
2
декартовым системам координат
мым нормалями n1 (ось
к линиям кривизны (оси
визны будем отсчитывать длины дуг
2
точки
*
y , а
1
()
sΔ и
1
ранее, для малых
01 0 1 1 2 1
01 12 23
*
Lyy= −
OX ) и n2 (ось
13
OX ,
2
()
sΔ
в окрестности
2
ii
() ()
,
ssΔΔ, i = 1,2
12
**
112
1
()
()
OX , i = 1,2). Вдоль линий кри-
1ii
11
() ()
cos cosxy L s sΔαΔβ− = −−+
,
223
*
y и
1
iii
() () ()
OXXX , i = 1,2, определяе-
123
i
OX
1
()
sΔ и
1
*
S
точки
2
23
()
2ii
*
*
y отнесем к правым
2
2
()
) и касательными
1
()
sΔ в окрестности
2
.Lyx= −
S
*
y . Так же, как и
2
*
1
11
−
−−
112
cos cos 0,5 sin cos ,LssLksαβΔΔ β γΔ
− ++
01112 0 12 12
−−
112
cos cos 0,5 sin cos .LssLksαβΔΔ β γΔ
− ++
22212 2 22 22
0,5 sin cosLk sαγΔ
++ −
23 2 1 2 2 2
0,5 sin cosLk sαγΔ
++ −
12
()
01111
11 1 1
() () ()
−
12
()
22121
22 2 2
() () ()
()
()
22
() ()
cos cosyx L s sΔαΔβ− =+ + +
22
()
()
2
()
()
2
()
()
(6.6)
()
()
(6.7)
()
()
Здесь { -cos α1, -cos β1, -cos γ1 } – направление падения волны в
точке
точке
точке
ние рассмотрим в правой системе координат
лом координат O2 в точке
*
y , а { -cos α2, -cos β2, -cos γ2 } – направление отраженной в
1
*
y волны относительно системы координат
1
*
y .
2
Найдем расстояние
yy− = yy в фазе ϕ (6.5). Это расстоя-
12 21
*
y . В системе координат
2
222
() () ()
OXXX с нача-
21 2 3
222
() () ()
OXXXв
21 2 3
222
() () ()
OXXX
21 2 3
2
2
88 М. 6. Коротковолновая дифракция акустических волн на граничных поверхностях…
обозначим координаты точек
*000
,,y ξηζ . С учетом этого вектор y2y1 в этой системе коорди-
()
11 1 1
,,y ξηζ ,
()
2222
,,y ξηζ
()
1111
нат представим в виде:
*ii iiii
ii
{ , , } ; { , , };
ξξηηζζ ξηζ= −−− =yy yy
21 1 2 1 2 1 2 21 1 1 1
() () () () () ()
ss ks ksΔΔ Δ Δ= − +=yy
12 11 22
{}
21 21 1 1 22
,,0,5 , i1,2.
Здесь координаты векторов
ных системах координат в точках
** * *
=+ −yy yy Ayy yy (6.8)
22
() ()
()
*
yy (i = 1,2) выписаны в локаль-
ii
*
y и
1
;
*
2
000
**
y . Матрица A = ( aij ),
i,j = 1,2,3 – ортогональная матрица перехода от базиса декартовой
222
системы координат
системы координат
Замечание. Представление (6.8) справедливо при произвольном расположении луча
() () ()
OXXX в точке
21 2 3
111
() () ()
OXXX
11 2 3
xyyx−−− в пространстве.
01 2 3
в точке
***
*
y к базису декартовой
2
*
y .
1
Элементы ортогональной матрицы A могут быть выражены через тригонометрические функции направляющих углов падающих
и отраженных волн при повторном отражении. В этом случае элементы aij ортогональной матрицы A имеют вид:
⎧⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
a
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
11 2 2
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
a
21 2 2
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎡⎤
1
−
⎢⎥
cos cos cos ( ) ,
G
= − +
12 1 1 1 2
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
cos cos
βαγγ
βα
cos cos
αβ
−
,
⎧⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
a
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
12 2 2
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= − +
⎨⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
a
22 2 2
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎧⎫
a
⎪⎪
13
⎪⎪⎪ ⎪
=
⎨⎬⎨ ⎬
⎪⎪⎪ ⎪
a
23 2
⎪⎪⎪ ⎪
⎩⎭
Представим расстояние
и
*
yS∈ . Тогда с использованием представления (6.8) имеем
22
⎡⎤
1
−
⎢⎥
cos cos cos ( ) ,
G
12 1 1 1 2
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎧⎫
cos
α
−
⎪⎪
−
⎩⎭
2
cos
β
33 1 2
cos cos
βα
−
αβγγ
cos cos
αβ
sin ( )
γγ
+
12
sin
γ
2
cos ( )a γγ= − + ,
yy− = yy через координаты
12 21
⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪⎪ ⎪
,
⎨⎬⎨ ⎬
⎪⎪⎪ ⎪
⎪⎪⎪ ⎪
⎩⎭
Gsinsin.γγ=
⎧⎫
a
31
a
32 1
12 1 2
cos
α
⎪⎪
=
1
cos
β
⎩⎭
sin ( )
sin
(6.9)
γγ
+
12
γ
1
yS∈
11
,
*
6.2. Содержание модуля 6 89
− = − + − + −
− =+ + + + −
12 1 111 212 13 1 1 2 2 1
− =+ + + + −
12 1 211 222 23 1 1 2 2 2
− =+ + + + −
12 1 311 322 33 1 1 2 2
12 12 12 12
0 (1) (1 ) (1 ) (1)
as as a k s k s sξξ ξ Δ Δ Δ Δ Δ
0(1)(1)(1)(1)
as as a k s k s sηη η Δ Δ Δ Δ Δ
0 (1) (1 ) (1) (1 )
⎡⎤
()()()
⎢⎥
⎣⎦
11 2
() ()
11 2
() ()
11
() ()
as as a k s k sζζ ζ Δ Δ Δ Δ
1
⎡⎤
− +
⎢⎥
2
⎣⎦
222
1
⎡⎤
⎢⎥
2
⎣⎦
1
⎡⎤
⎢⎥
2
⎣⎦
1
⎡⎤
⎢⎥
2
⎣⎦
(2) (2) (2) (2)
ks ksΔΔ
11 22
22
() ()
22
() ()
22
() ()
() ()
.
12
;yy ξξ ηη ζζ
()
22
С учетом свойств ортогональной матрицы A, а также соотноше-
ний
000
aa a
ξηζ
++=
La a a L
=++=
()
111 2 21 2 31 2 1 1
La a a L
=++=
()
112 2 22 2 32 2 1 1
La a a L
=++=
()
113 2 23 2 33 2 1 1
11 1 21 1 31 1
cos cos cos cos
αβγ α
000
aa a
ξηζ
++=
12 1 22 1 32 1
cos cos cos cos
αβγ β
000
aa a
ξηζ
++=
13 1 23 1 33 1
cos cos cos cos
αβγ γ
0
11 1 1 2
22 1 1 2
33 1 1 2
cosbLξα= ,
0
0
cosbLηβ= ,
cosbLζγ= , (6.10)
,
,
,
()
расстояние
yy− в фазе ϕ (6.5) с точностью до малых второго
12
порядка включительно приводится к виду:
cos cos 0,5 coss s ks ksαΔ βΔ γ Δ Δ
++− + −
(1) (1) (1) (1 ) (1) (1)
11 12 1 1 1 2 2
yy L− =+
12 1
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
22
() ()
90 М. 6. Коротковолновая дифракция акустических волн на граничных поверхностях…
cos cos 0,5 coss s ks ksαΔ βΔ γ Δ Δ
−−− ++
−
1 2 (1) 2 (1 ) (1) (1)
++− +
111 121112
0,5 sin 0,5 sin cos cosss ssαΔ βΔ α βΔ Δ++− +
cos cos cos cosass assαα ΔΔ βα ΔΔ+ − + − +
()()
cos cos cos cos .ass assα β ΔΔ β β ΔΔ
+ − + −
()()
Суммируя расстояния
(2) (2) (2) (2) (2) (2)
21 2 2 2 1 1 2 2
⎡
0,5 sin 0,5 sin cos cosLs s ssαΔ βΔ α βΔ Δ
⎢
⎣
2 (2) 2 (2) (2) (2)
() ()
21 2 2 2 21 2
121111 121221
122112 122222
22
() ()
22
(1) ( 2) (1) (2 )
(1) ( 2) (1) (2 )
01 12 23
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
,,xy yy yx−−−, можно
показать, что в фазе ϕ (6.5) отсутствуют слагаемые с
i = 1,2. Это говорит о том, что точки
*
yS∈ и
11
22
() ()
⎤
⎥
⎦
i
()
sΔ и
*
yS∈ прямого луче-
22
1
sΔ ,
()
2
i
вого отражения соответствуют стационарному значению фазы ϕ.
0,5 ds dss dss dssΔΔΔΔΔΔΔ+++++
xy yy yx L LLϕ = − + − + − =+++
01 12 23 0 1 2
2
1111212
()
()
11 1 121 2 131 1 141 2
0,5 ds dss dssΔΔΔΔΔ++++
()
22 2 23 2 1 24 2 2
() () () () () ()
2
11212
()
() () () ()
0,5 ds dssΔΔΔ+++
33 1 34 1 2
0,5 dsΔ+
где
⎧⎫
dk
⎪⎪
11 1
= − + ,
12 0 1 1 1
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
d
22
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩⎭
dk
33 1
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
d
44
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
11
−−
()
−−
11
LL
=+ +
()
01 1
−−
11
LL
=+ +
()
12 2
cos cosdLL αβ
2
222
()
()
()
44 2
2
⎧⎫
⎪⎪
sin
2
sin
⎩⎭
2
⎧⎫
⎪⎪
sin
α
2
sin
⎩⎭
34 1 2 2 2
() ()
2
2
()
, (6.11)
1
()
⎧⎫
α
β
β
⎪⎪
⎪⎪
1
2cos
1
()
1
2
2
= − + ,
k
2
⎪⎪
⎩⎭
2
()
⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪
2cos
2
()
k
2
⎪⎪
⎩⎭
11
−−
()
γ
,
γ
,
cos cosdLL αβ
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]