Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Асимптотические методы в гидроакустике. Учебное пособие
.pdf
3.2. Содержание модуля 3 51
⎛⎞
⎜
+++
0,5 cosLs
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
+ .
Суммируя выражения для
−
12
12 2
1
−
cos cos ( )LssγγΔΔ
11212
cos
γ
γΔ
xy− ,
2
ρ
2
01
⎟
⎟
()
⎟
⎟
yy− ,
12
2
yx− , вы-
23
писываем соотношение для фазы ϕ.
⎛⎞
11 2
⎜
2
++++
LLL s
ϕγΔ
=+++ ++ +
01 2 1 1
cos cos
γγ
12
LLL
()0,5cos
11222
0,5 cos
ss s
ΔΔ γ Δ
12 2 2
⎜
⎜
⎜
LL
⎜
⎝⎠
011 1
⎛⎞
⎜
2
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
ργ
11 2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
cos
cos
ργ
2
()
⎟
⎟
()
⎟
⎟
⎟
2
.
Фаза ϕ не содержит слагаемых с первыми степенями Δs1 и Δs2.
Это говорит о том, что точки зеркального отражения являются стационарными для ϕ.
Главный член асимптотики двойного интеграла (3.5) может
быть получен применением метода двумерной стационарной
фазы [12].
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎪⎪
exp 2
px
= . (3.13)
()
3
⎢⎥
ik L L L
⎨⎬
⎪⎪
⎢⎥
⎣⎦
⎪⎪
⎩⎭
++ + −
()
012 2
LLL D
012 2
det
π
δ
()
4
()
D2 – матрица Гессе
⎛⎞
D
=
2
А δ2 = sign D2 = ν
11 2 1
⎜
++
⎜
⎜
LL L
⎜
011 1 1
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝⎠
+
– ν – – разность между числом положительных ν +
cos
ργ
1112
LLL
11222
++
ργ
cos
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
, (3.14)
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
и отрицательных ν – собственных значений матрицы Гессе D2.
Замечание 1. Требуют отдельного рассмотрения случаи, когда
определитель матрицы Гессе обращается в ноль.
Замечание 2. Предельным переходом при
1
22
0k ρ−= → получаем известное соотношение для давления p(x3)
1
11
0k ρ−= → и
52 М. 3. Двукратное переотражение акустических волн от гладких контуров…
в двукратно отраженной акустической волне от двух прямолинейных участков рассеивателей
exp ik L L L
px
()
3
{}
=
++
()
012
LLL
++
012
. (3.15)
Докажем это. В самом деле, при k1 = k2 = 0 матрица Гессе имеет вид
⎛⎞
11 1
⎜
+
⎜
⎜
LL L
⎜
01 1
⎜
D
=
⎜
2
⎜
111
⎜
⎜
⎜
⎜
LLL
⎜
⎝⎠
112
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
, (3.16)
⎟
⎟
⎟
⎟
+
⎟
⎟
⎟
а
det( )
⎛⎞⎛⎞
11111
⎜⎜
⎜⎜
D
=+ +− =
2
⎜⎜
⎜⎜
LLLL LLL
⎜⎜
⎝⎠⎝⎠
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
⎟⎟
0112 012
LLL
++
012
2
L
1
, откуда следует
соотношение (3.15).
Амплитуда перемещения двукратно отраженной акустической
волны определяется расстояниями от источника волны до первой
точки y
*
зеркального отражения L0, от второй точки y
1
*
зеркаль-
2
ного отражения до точки приема L2, расстоянием L1 между точка-
*
ми y
1
и y
*
. Точки y
2
*
*
и y
могут принадлежать как границам l1 и l2
1
2
двух изолированных полостей (рис. 3.2), так и границе l одной полости сложной невыпуклой формы (рис. 3.1). Главный член асимптотики давления содержит в явном виде также радиусы кривизны
*
ρ1 и ρ2 в точках y
*
и y
, направления падения γ1 и γ2 падающих и
1
2
отраженных волн в точках зеркального отражения. Фаза отраженной волны p(x3) определяется расстояниями L0, L1 и L2, волновым
числом k, знаком δ2 матрицы Гессе D2, а также количеством точек
зеркального отражения.
3.2.3. Выводы
Получен главный член асимптотики давления в случае двукратно переотраженной акустической волны. При этом точки зеркального отражения могут быть расположены как на контуре одного
отражателя, так и на двух различных. Амплитуда давления в отраженной волне выражается через определитель второго порядка,
диагональные элементы которого определяются расстояниями меж-
3.3. Тест рубежного контроля к модулю 3 53
ду точками, участвующими в формировании луча, направлениями
падающих и отраженных волн, радиусами кривизны поверхностей
в точках зеркального отражения. Остальные элементы определяются расстояниями и направлениями падающих и отраженных волн.
3.3. Тест рубежного контроля к модулю 3
Задание 1. Для вогнутой части акустически твёрдой границы
рассеивателя в виде полуокружности возможно ли двукратное переотражение луча с параллельными траекториями, падающего от
точечного источника луча и отражённого луча во второй точке зеркального отражения? Если возможно, то укажите траекторию переотражённого луча:
а) невозможно;
б) возможно.
Задание 2–3. В случае двукратного переотражения луча, для
акустически твёрдой границы, указанного на рис. 3.3, какое соот-
⎛⎞
x
⎟
ношение выполняется для амплитуд давления
личных значениях x,
R – радиус окружности.
⎡
2
⎢
xR
∈− +∞
⎢
2
⎢
⎣
⎞
⎟
,
?
⎟
⎟
⎟
⎠
p
1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
R
при раз-
Рис. 3.3. Двукратное отражение высокочастотной акустической волны от пары прямолинейных отражателей и от кривой границы. В точке A помещен источник кру-
говой акустической волны, в точке B находится приемник
54 М. 3. Двукратное переотражение акустических волн от гладких контуров…
Задание 2.
При
xR= − ,
2
3
⎛⎞
⎜
qp
⎜
= −
11
⎜
⎜
⎝⎠
3
2
⎟
⎟
, при
⎟
⎟
⎟
xR= − ,
2
8
qp
⎛⎞
⎜
⎜
= −
21
⎜
⎜
⎝⎠
2
⎟
⎟
:
⎟
⎟
⎟
8
а) q1>q2;
б) q1<q2;
в) q1= q2.
Задание 3.
При
xR= − ,
2
8
⎛⎞
⎜
qp
⎜
= −
11
⎜
⎜
⎝⎠
8
2
⎟
⎟
, при
⎟
⎟
⎟
2
xR= ,
4
qp
⎛⎞
2
⎜
⎜
=
21
⎜
⎜
4
⎝⎠
⎟
⎟
:
⎟
⎟
⎟
а) q1>q2;
б) q
1= q2
;
в) q1< q2.
Задание 4–8. Дополнительно к условию заданий 2–3 рассмотрим амплитуды давления |p4(x)| в волне, двукратно отражённой
по той же траектории от пары прямолинейных отражателей, касательных к окружности в точках зеркального отражения. Обоз-
начим
⎛⎞
x
qp
⎜
=
⎜
11
⎜
⎝⎠
R
⎟
,
qp
⎟
⎟
⎟
⎛⎞
x
⎟
⎜
=
44
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
R
. Какие соотношения выполняются
для q1 и q4 при различных значениях x?
Задание 4.
а) q1<q4;
б) q1=q4;
в) q1> q4.
Задание 5.
а) q1>q4;
б) q1<q4;
в) q1= q4.
Задание 6.
1<q4
;
а) q
б) q1>q4;
в) q1= q4.
xR= − :
xR= − :
xR= :
2
3
2
8
2
4
3.4. Проектное задание к модулю 3 55
Задание 7.
2
xR= :
2
а) q1>q4;
б) q1<q4;
в) q1= q4.
Задание 8. 2xR= :
а) q1<q4;
б) q1=q4;
в) q1> q4.
3.4. Проектное задание к модулю 3
Оценка замены криволинейного отражателя системой
двух прямолинейных на примере двукратного отражения
акустической волны от вогнутой дуги окружности.
На примере двукратного переотражения звуковой волны про-
вести сравнение величины давления в переотраженной волне от
вогнутого кругового контура твёрдого отражателя и от пары прямолинейных отражателей, касающихся криволинейного контура в
точках зеркального отражения (рис. 3.3).
Источник высокочастотной сферической акустической волны
расположен в точке A, а приёмник в точке B. Расстояние от источника и приёмника до горизонтального диаметра полуокружности
равны, обозначим их через x. Расстояние от горизонтального диаметра до первой точки зеркального отражения и от второй точки
отражения до горизонтального диаметра равны 2/2R . Угол па-
дения волны в точках зеркального отражения равен γ1 = γ2 = π / 4.
При такой траектории луча вектор
ному диаметру и его длина
ние p(B) в точке B в зависимости от переменной x, которая изменя-
ется в интервале
(2/2, )xR∈− +∞
С учетом принятых обозначений на основе формул (3.13) – (3.15)
выписать аналитические выражения для давления в точке B двукратно отраженной акустической волне от круговой границы отра-
**
yy
параллелен горизонталь-
12
**
==. Исследовать давле-
112
2Lyy R
.
56 М. 3. Двукратное переотражение акустических волн от гладких контуров…
жателя и от системы двух прямолинейных твердых отражателей,
расположенных на касательных к контуру в точках зеркального
отражения.
Для каждого из случаев построить графики функции величины
()RP B от переменной x / R. Кривая 1 должна соответствовать от-
ражению от пары прямолинейных отражателей, а кривая 2 должна соответствовать переотражению волны от кругового контура
(рис. 3.3).
Сделать практические выводы.
МОДУЛЬ 4
ПЕРЕОТРАЖЕНИЕ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ
ПРОИЗВОЛЬНОЕ КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО РАЗ
ОТ ГРАНИЧНЫХ КОНТУРОВ СКОПЛЕНИЯ
ПРЕПЯТСТВИЙ, НАХОДЯЩИХСЯ В ЖИДКОЙ СРЕДЕ
4.1. Комплексная цель модуля 4
Целью модуля 4 является освоение в рамках единого подхо-
да развития лучевой теории дифракции применительно к произвольным (невыпуклым) гладким двумерным препятствиям,
находящимся в акустической среде с учетом многократных переотражений. Излагается асимптотический метод оценки многомерных дифракционных интегралов, основанный на методе многомерной стационарной фазы. Получен главный член асимптотики
амплитуды давления в акустической волне, отраженной от контуров препятствий, находящихся в акустической среде, произвольное конечное число раз (рис. 4.1).
4.2. Содержание модуля 4
4.2.1. Постановка задачи
Пусть из точки x0 акустической среды распространяется вы-
сокочастотная круговая волна (2.1). Будем считать, что возможна реализация распространения акустической волны вдоль луча
*** *
xyyy y x
−−−−− − , где точки зеркального отражения
01 2 3 1
*** *
, , ,...,
yyy y могут принадлежать как контуру одного рассеи-
123
вателя, так и граничным контурам различных N рассеивателей
(рис. 4.1). Однако возможны и случаи последовательного распо-
ложения по несколько точек зеркального отражения на контурах
отдельных рассеивателей, в то время как на других присутствует
только одна точка отражения. Волна принимается в точке 1Nx+
...
NN
+
N
58 М. 4. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз…
акустической среды. В дальнейшем будем рассматривать локальную постановку задачи, в рамках которой в высокочастотном режиме колебаний давление в точке приема определяется отраже-
** *
, ,...,
нием волны от малых окрестностей
в точках зеркального отражения
ll l граничных контуров
12
*** *
, , ,...,
yyy y.
123
N
N
Рис. 4.1. Многократные переотражения высокочастотной акустической волны от
контуров скопления препятствий
4.2.2. Метод решения
Если форма граничного контура изолированного акустически твердого рассеивателя или расположение и формы граничных
контуров скопления рассеивателей, находящихся в акустической
среде, допускают многократные (N-кратные) переотражения, то
дифракция высокочастотной волны может быть также исследована в рамках интегрального представления. Основу формирования
4.2. Содержание модуля 4 59
интегрального представления давления в N раз переотраженной
акустической волне составляет модификация [4] интегрального
представления Кирхгофа [20], реализованная при рассмотрении
случая двукратного отражения в модуле 3.
Остановимся на формировании интегрального представления
давления
ление в N раз отраженной волне в точке 1Nx+ будем находить интегрированием по окрестности
ражения
окрестности
*
1Ny−
px+ в отраженной волне в точке приема 1Nx+. Дав-
()
1N
*
l последней точки зеркального от-
*
y лучей, полученных при однократном отражении от
N
*
предпоследней точки зеркального отражения
1NS−
. Давление в точке приема
N
px+ дается следующей фор-
()
1N
мулой
,
yx
Φ
∂
где
py – давление в падающей волне в точке
()
N
ности
*
*
y , которое определяется после отражения на окрестности
N
точки
1Nl−
px py dl
()
1
NN N
+
*
, nN – нормаль к контуру
1Ny−
2
=
∫
l
*
N
()
()
1
NN
+
n
∂
N
*
l в точке Ny , направ-
N
, (4.1)
yl∈ окрест-
NN
*
ленная в сторону акустической среды.
В то же время давление
рального представления через падающую на окрестность
ну, пришедшую после отражения на окрестности
py py dl
=
() ( )
NN N
∫
*
l
N
py само выражается в виде интег-
()
N
*
1Nl−
,
yy
Φ
∂
()
1
NN
2
1
−
11
−−
−
n
∂
1
N
−
*
l вол-
N
. (4.2)
Такой же подход может быть распространен и на формирование
отраженного поля на любой окрестности
*
l вдоль рассматриваемо-
n
го луча. В рамках такой модификации давление в точках окрестности
в которой p(yn) – давление в точке
дающей волне в точке
деляется после отражения волны на окрестности
*
yl∈
(n = 2, 3,…,N) выражается формулой
nn
Φ
py py dl
() ( )
nn n
2
=
∫
*
l
1
n
−
∂
11
−−
yl∈
yl
*
∈
11nn
−−
окрестности
,
yy
()
1
nn
−
n
∂
1
n
−
*
, p(y
nn
, (4.3)
) – давление в па-
n–1
*
, которое опре-
1ny−
*
точки
2nl−
*
2ny−
,
60 М. 4. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз…
n
– нормаль к контуру
n-1
*
в точке y
l
1n
−
, направленная в сторону
n–1
акустической среды.
Продвигаясь вдоль переотраженного луча в обратном направлении, т. е. в направлении луча
ходим к рассмотрению формирования падающего поля на окрестности
y интегральное представление p(y2) имеет вид:
где
*
l .
2
В точках y2 окрестности
*
2
py p y dl
=
() ()
21 1
inc
py x y e
= − определяет падающее поле, со-
()
101
*
l второй точки зеркального отражения
2
2
∫
*
l
1
12
−
ik x y
xy yyx
NN
inc
−
01
***
,
yy
12
n
1
...
, (4.4)
− −−−−, при-
1210
+
Φ∂
()
∂
ответствующее точечному источнику x0 (2.1).
Подставляя последующие интегральные представления в предыдущие (4.1) – (4.4), получаем для определения
px+ N-крат-
()
1N
ный интеграл
ΦΦ Φ Φ
Ninc
px p dldl dl dl
()
N NN
2 ... ... ...
=
1 12 1
+ −
∫∫ ∫∫
** * *
ll l l
121
NN
−
∂∂ ∂ ∂
nn n n
∂∂ ∂ ∂
12 1
NN
−
.
(4.5)
Асимптотическое решение, построенное ниже, имеет локальный характер и дает главный асимптотический член амплитуды
дифрагированного поля в малой окрестности любого луча, вышедшего из точки x0, отразившегося от поверхностей рассеивателей
последовательно в точках
. Очевидно, что такие лучи могут существовать только в том
1Nx+
случае, если все точки отражения
*** *
, , ,...,
yyy y и пришедшего в точку
123
N
*** *
, , ,...,
yyy y, а также точка
123
N
приема 1Nx+ лежат в области «света».
Для построения главного члена асимптотики воспользуем-
,
yy
Φ
∂
()
1
nn
ся асимптотическим представлением
фундаментального решения
−
n
∂
n
−
потенциала
1
при k→∞
i
,
yy Hky yΦ
()
101
nn n n
−−
(1)
= − , (4.6)
()
4
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]