Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Асимптотические методы в гидроакустике. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

2.4. Проектные задания к модулю 2 41

Для каждого из случаев построить графики функции величи-

ны

()RP B от переменной x / R. Кривая 1 должна соответство-

вать отражению от прямолинейного отражателя, а кривая 2 должна соответствовать обратному отражению от кругового контура (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Обратное отражение высокочастотной акустической волны от прямоли-

нейного отражателя и от кругового отражателя

Сделать практические выводы.

Задание 2.4.2. По схеме, предложенной в задании 2.4.1, исследо-

вать давление в обратно отраженной волне от эллипса

+=,

a = 3, b = 2 (рис. 2.4) и параболы y = 2px2, p = 1/2 (рис. 2.5) и прямолинейных отражателей, расположенных в точках зеркального отражения от криволинейных границ.

42 М. 2. Коротковолновая дифракция акустических волн на препятствиях…

Рис. 2.4. Обратное отражение высокочастотной акустической волны от вогнутой

Рис. 2.5. Обратное отражение высокочастотной акустической волны от вогнутой

части эллиптического контура препятствия

части параболического контура препятствия

МОДУЛЬ 3

ДВУКРАТНОЕ ПЕРЕОТРАЖЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ

ВОЛН ОТ ГЛАДКИХ КОНТУРОВ ПРЕПЯТСТВИЙ,

НАХОДЯЩИХСЯ В БЕСКОНЕЧНОЙ ЖИДКОЙ СРЕДЕ

3.1. Комплексная цель модуля 3

Основной целью модуля 3 является освоение, в рамках едино-

го подхода, развития лучевой теории дифракции применительно к произвольным (невыпуклым) гладким двумерным препятствиям, находящимся в акустической среде с учетом двукратного переотражения. Двукратное переотражение высокочастотной волны может формироваться в пределах как контура одного препятствия (рис. 3.1), так и двух различных препятствий (рис. 3.2). Излагается асимптотический метод оценки двукратных дифракционных интегралов, основанный на методе двумерной стационарной фазы.

При озвучивании препятствий, находящихся в акустических

средах, наряду с однократно отраженными волнами важен учет и многократно переотраженных волн. Такие волны несут важную информацию о расположении и форме рассеивателей, находящихся в гидроакустических средах. Переотраженные звуковые волны существенно влияют на формирование структуры звуковых полей в акустических средах. Важным при формировании звуковых полей является применение рассеивателей с искривленными граничными поверхностями как канонических (окружность, эллипс, гипербола, парабола), так и неканонических форм.

3.2. Содержание модуля 3

3.2.1. Постановка задачи

Пусть из точки x0 акустической среды распространяется вы-

сокочастотная круговая волна (2.1). Будем считать, что возможна реализация распространения акустической волны вдоль луча

44 М. 3. Двукратное переотражение акустических волн от гладких контуров…

x0 – y

– y

– x3, где точки зеркального отражения y

, y

могут при-

надлежать как контуру одного рассеивателя (рис. 3.1), так и граничным контурам различных двух рассеивателей (рис. 3.2). Волна принимается в точке x

акустической среды. В дальнейшем будем

рассматривать локальную постановку задачи, в рамках которой в высокочастотном режиме колебаний давление в точке приема оп-

, y

, l

– гра-

ределяется отражением волны от малых окрестностей l ничных контуров в точках зеркального отражения y

Целью исследования задачи является получение аналитического выражения для давления в двукратно отраженной волне от акустически твердых препятствий, находящихся в гидроакустической среде.

Рис. 3.1. Двукратное отражение высокочастотной волны от граничного контура

одного препятствия

3.2. Содержание модуля 3 45

Рис. 3.2. Двукратное отражение высокочастотной волны от граничных контуров

двух препятствий

3.2.2. Метод решения

Численное исследование задач высокочастотного рассеяния

акустических волн существенно затруднено в случае, если длина волны много меньше среднего размера рассеивателя. Возможные здесь численные методы – метод конечных элементов, метод граничных элементов – требуют в этом случае большого количества узлов на сетке. Это приводит к неустойчивости счета. Для вычисления амплитуды давления в многократно переотраженной волне возможно применение геометрической теории дифракции (ГТД) Келлера [19], основанной на использовании коэффициентов расходимости, которое является достаточно громоздким. Если исследовать задачу о двукратном переотражении высокочастотной вол-

46 М. 3. Двукратное переотражение акустических волн от гладких контуров…

ны от контура препятствия в акустической среде, то, следуя [24], более удобно исходить из оценки двукратного дифракционного интеграла методом двумерной стационарной фазы. Основой общего случая произвольного числа переотражений является задача о двукратном отражении (рис. 3.1, 3.2) к рассмотрению которой переходим.

Прямое использование интегрального представления (2.2) по всей зоне «света» для отраженных волн

невозможно [4], так как оно не описывает многократно переотраженные волны. Если в формулу Грина (2.2) подставить в качестве полного давления p(y) значения первичного поля (2.1), то интегральная формула (2.2) дает лишь однократно отраженную волну. Двукратно отраженная волна получится лишь тогда, когда значения p(y) включает в себя и первичное поле, и его однократное отражение. Для решения задачи о двукратном переотражении будем исходить из модификации [4] интегральной формулы (2.2). Следуя этой модификации, двукратно отраженные волны будем находить интегрированием по окрестности l

второй точки зеркального отражения y

полученных при однократном отражении от окрестности l вой точки зеркального отражения y

. Такая модификация означа-

лучей,

пер-

ет, что при нахождении главного члена асимптотики двукратного дифракционного интеграла мы будем находиться в рамках расчета амплитуды давления в двукратно отраженной волне по ГТД.

Переотражение высокочастотной волны рассмотрим на приме-

ре повторного отражения луча x0 – y

– y

– x3, излучающегося из

точки x0 и принимающегося в точке x3 (рис. 3.1, 3.2).

Давление в точке x3 дается следующей формулой:

(,)

Φ∂

px py dl

() ()

32 2

∫

где p(y2) – давление в падающей на окрестность l

∂

, (3.1)

волне, сформи-

рованной при отражении круговой волны (2.1) от окрестности l

точки зеркального отражения y

∈l

. Давление p(y2) выражается

подобной (3.1) формулой.

(, )

py p y dl

() ()

21 1

inc

∫

Φ∂

∂

. (3.2)

3.2. Содержание модуля 3 47

Здесь

(,)

yx H ky xΦ = − ,

23 0 2 3

∈l

, y

∈l

– текущие точки окрестностей l

ного отражения y

и l

в точках y1 и y2.

(1)

()

inc

py x y e

и y

= −

()

101

, n1 и n2 – внешние нормали к контурам l

(, )

yy H ky yΦ = −

−

12 0 1 2

ik x y

−

(1)

()

, (3.3)

и l

точек зеркаль-

Подставляя выражение (3.2) в (3.1), получаем интегральное

представление p(x3) в виде двукратного интеграла

(,)

p x p y dl dl

() ()

31 12

∫∫

inc

∂∂

(, )

∂

ΦΦ∂

. (3.4)

Выпишем асимптотики нормальных производных функций

Грина

ik y y

ik y x

−

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

⎛⎞

⎜

⎝⎠

⎛⎞ ⎜

⎜

⎝⎠

⎟

(, )

∂

2cos1O

nkyy

∂−

112

(,)

∂

nkyx

∂−

223

−

где γ1 – угол между нормалью n1 и направлением падения луча x0 – y1, γ2 – угол между нормалью n2 и направлением падения луча

y1 – y2;

xy− ,

yy− и

yx− – расстояния между точка-

ми плоскости x0 и y1∈l1, y1 и y2∈l2, y2 и x3 соответственно.

После вынесения за знак интеграла (3.4) медленно меняющих-

ся функций получаем основное интегральное представление для

p(x3):

cos cos

p x i e dl dl

()

312

Lxy= − ,

001

=−

xy yy yxϕ = − + − + − , (3.6)

01 12 23psp

γγ

LLL

012

Lyy= − ,

112

∫∫

Lyx= − .

223

(3.5)

48 М. 3. Двукратное переотражение акустических волн от гладких контуров…

Так же, как и в случае однократного отражения, в точках пря-

мого зеркального отражения y

∈l

и y

отнесем к локальным декартовым системам координат

() ()

OX X

21 2

, определяемым нормалями

∈l

окрестности этих точек

()

OXn = и

112

222

() ()

OX X

11 2

()

OXn = и

касательными к контуру препятствия (рис. 3.1, 3.2) вдоль контуров

от точек зеркального отражения y дуг Δs1 в окрестности l

и Δs2 в окрестности l

и y

будем отсчитывать длины

. Так же, как и ранее,

для малых Δs1 и Δs2:

⎛⎞

−

− = − ++

01 0 1 1 0 1 1

− = − ++

23 2 2 2 2 2 2

sin 0,5 cosxy L s L s

Δγ γ Δ

sin 0,5 cosyx L s L s

Δγ γ Δ

⎜

⎝⎠

⎛⎞

−

⎜

⎝⎠

cos

⎟

, (3.7)

()

. (3.8)

()

При двукратном отражении {-sin γ1, -cos γ1} – вектор, определяющий направление падающей волны (2.1), а {-sin γ1, cos γ1} – направление отраженной волны относительно системы координат

() ()

OX X в точке y

11 2

правление падения волны, отраженной в точке y системы координат

ление отраженной волны в точке y

Найдем слагаемое ки y1∈l

OX X и

11 2

и y2∈l

() ()

⎛⎞

⎜

−−

⎜

⎝⎠

OX X

()

ров l1 и l2 двух полостей соответственно в точках y ние

yy− рассмотрим в системе координат

; {-sin γ2, -cos γ2} – вектор, определяющий на-

() ()

OX X

21 2

в локальных декартовых системах координат

() ()

21 2

имеют координаты

⎟

, где ρi – радиусы кривизны граничного конту-

⎟

в точке y

yy yy− = в фазе ϕ (3.6). Точ-

12 21

; {-sin γ2, cos γ2} – направ-

относительно

⎛⎞ ⎜

⎜

−−

⎜

⎝⎠

и y

OX X

21 2

()

. Расстоя-

() ()

. В этой

⎟

системе координат обозначим координаты точек y1(ξ1,η1), y2(ξ2,η2),

(ξ

,η

). С учетом этого вектор y2y1 представим в виде:

yy yy Ayy yy=+ − , (3.9)

21 21 11 22

{}

21 1 2 1 2

** * *

, ξξηηyy = −−,

{}

21 1 1

ξηyy =

3.2. Содержание модуля 3 49

A = ( aij ), i,j = 1,2 – ортогональная матрица перехода от базиса

декартовой системы координат ртовой системы координат

OX X в точке y

11 2

() ()

OX X

21 2

() ()

в точке y

к базису дека-

. Матрица A имеет

вид (см. рис. 3.1, 3.2)

⎛⎞

cos sin

αα

−

⎜

sin cos

αα

⎝⎠

В локальных системах координат векторы

ssΔ

⎟

()

⎟

. Подставляя координаты всех

координаты

⎛⎞ ⎜

⎜

−−

⎜

ii i

⎜

⎝⎠

⎟

yy и

yy имеют

векторов в соотношение (3.9), имеем:

yy ξξ ηη

− = − + − =

12 12 1 2

⎡ ⎢ ⎢

= − +++

⎢ ⎢

⎣

⎛⎞ ⎜

⎜

+ −− +

ηΔ α α

⎜

⎝⎠

⎡⎤

()()

⎢⎥

⎣⎦

⎛⎞ ⎜

⎜

ξΔ α Δ

⎜

11 2

⎜

⎝⎠

cos

sin cos

()

ΔΔ

() ()

ρρ

⎟

⎤

⎟

⎥

⎟

⎥

⎟

⎥

⎟

⎦

Последовательно возводя в сумме каждую из скобок в квад-

рат, получаем соотношение с точностью до малых второго порядка включительно

200

⎡

− = − +++−

12 1 11 1 1 2

2 cos sin cos 2

ss s

ΔΔ α ξ α η α ξΔ η

− ++++

12 1 1 1 2 1

2 cos sinyy L s s sΔξ αη α Δ Δ

⎢

⎣

()

ΔΔ

()

00 00

()

ρρ

()()

()

(3.10)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥

⎦

Докажем соотношение α = π – γ1 – γ2.

В треугольнике

следовательно,

yEy

∠ = −− −− =+

12 1 2 1 2

yyE

21 1

⎛⎞⎛⎞

ππ

⎜⎜

πγ γγγ

⎜⎜

⎝⎠⎝⎠

γ∠ = −

⎟⎟

yyE

12 2

γ∠ = − , а

. С дру-

50 М. 3. Двукратное переотражение акустических волн от гладких контуров…

гой стороны,

yEyαπ+∠ =

. Значит, π – α = γ1 + γ2, α = π – γ1 – γ2.

С учетом соотношения (3.10) выполним преобразования

cos sin sin sinLLξαηα αγ γ+= += ,

11 1 211

sin cos cos cosLLξαηα αγ γ− = − += ,

11 1 211

cos cosαγγ= − + ,

()

которые позволяют выражение (3.10) переписать в виде

⎡

yy L

− = − +

12 1 1 2

⎛⎞⎛⎞

ΔΔ

() ()

⎜⎜

++ + + +

1 cos 1 cos

⎜⎜

⎝⎠⎝⎠

⎢

12 sin 2 sin

⎢ ⎢

⎣

ρρ

ΔΔ

2cos

ΔΔ

⎟⎟

γγ

⎟⎟

2 1

γγ

⎤

γγ

()

⎥

⎥ ⎦

Разлагая в правой части квадратный корень по степеням Δs1 и Δs2, получаем следующее асимптотическое представление расстоя-

ния с точностью до малых второго порядка включительно

+++ .

12 1 1 1 2 2

⎛⎞ ⎜

0,5 sinLL s

++− +

⎜

⎝⎠

⎛⎞ ⎜

0,5 sinLL s

++− +

⎜

⎝⎠

−−

112 1 2 112 1 2

cos

112

−−

1111

cos

112

−−

1122

cos sin sinLss LssΔΔ γ γ ΔΔ γ γ

()

sin sinyy L s sΔγΔγ− = − ++ (3.11)

γΔ

⎟

()

⎟

()

⎟

После преобразований (3.11) получаем

12 1 1 1 2 2

⎛⎞

−

⎜

+++

0,5 cosLs

⎜

11 1

⎜

⎝⎠

sin sinyy L s sΔγΔγ− = − ++ (3.12)

cos

γΔ

⎟

()

⎟

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]