Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Асимптотические методы в гидроакустике. Учебное пособие
.pdf
6.2. Содержание модуля 6 91
1
−
= − ,
13 1 2 11
= − ,
23 1 2 12
cos cosdL aαα
()
1
−
cos cosdL aβα
()
14 1 2 21
24 1 2 22
1
−
= − ,
= − .
cos cosdL aαβ
()
1
−
cos cosdL aββ
()
Окончательный результат может быть получен из выражения
(6.4) применением метода стационарной фазы [12].
⎧⎫
⎡⎤
px
cos cos
γγ
= , (6.12)
()
312
⎪⎪
⎪⎪
exp 4
⎢⎥
ik L L L
⎨⎬
⎪⎪
⎢⎥
⎣⎦
⎪⎪
⎩⎭
++ + −
()
012 4
LLL D
012 4
det
π
δ
()
4
()
где D4 = ( dij ), i,j = 1,2,3,4 – матрица Гессе симметричной структуры и её элементы dij, i ≤ j приведены в формуле (6.11). Здесь
δ4 = sign D4 – разность между числом положительных и отрицательных собственных значений матрицы D4.
Полученное явное выражение (6.12) устанавливает зависимость
давления p(x) в двукратно переотраженной акустической волне от
геометрических параметров задачи и волнового числа. Главный
член асимптотики давления p(x) в отраженной волне определяется главными кривизнами поверхностей препятствий в точках зеркального отражения, расстояниями между точками зеркального
отражения, их удалением от источника волн и точки приема отраженной волны, направлениями падающих волн.
Разработанный метод является асимптотическим. Формула для
расчета амплитуды двукратно переотраженной волны (6.12) спра-
()
ведлива при 1kd>> ,
размер рассеивателя,
m
kR >> ,
1
()1m
R ,
()2m
R
визны поверхности в точках зеркального отражения
()
1
m
kR >> , где d – характерный
1
2
(m = 1,2) – главные радиусы кри-
*
*
y и
y .
1
2
Изложенный метод является основой нахождения выражения в
замкнутом виде лучевой амплитуды с произвольным числом переотражений для акустических и упругих волн.
6.2.3. Выводы к модулю 6
Получен главный член асимптотики давления в случае двук-
ратно отраженной акустической волны вдоль луча, траектория которого представляет собой ломаную линию в пространстве. При
этом точки зеркального отражения могут быть расположены на по-
92 М. 6. Коротковолновая дифракция акустических волн на граничных поверхностях…
верхности как одного невыпуклого отражателя, так и двух различных. Амплитуда давления в отраженной волне выражается через
определитель четвертого порядка, диагональные элементы которого определяются расстояниями между точками, участвующими
в формировании луча, направлениями падающих и отраженных
волн, главными кривизнами поверхностей в точках зеркального
отражения. Остальные элементы определяются как расстояниями
и направлениями
падающих и отраженных волн, так и величинами, учитывающими взаимное расположение линий кривизны поверхностей фронта распространения отраженной волны и формы
окрестности следующей точки зеркального отражения.
6.3. Проектное задание к модулю 6
Оценка замены неплоского отражателя системой двух
плоских на примере двукратного отражения акустической
волны от вогнутой части граничной поверхности отражателя
6.3.1. Двукратное отражение акустической волны
от вогнутой части кругового полуцилиндра
На примере двукратного переотражения звуковой волны провести сравнение величины давления в переотраженной волне от
вогнутой части кругового полуцилиндрического твёрдого отражателя и от пары плоских отражателей, касающихся цилиндрической поверхности в точках зеркального отражения (рис. 6.2).
Источник высокочастотной сферической акустической волны
расположен в точке A, а приёмник в точке B. Расстояние от источника и приёмника до горизонтальной осевой плоскости полуцилиндра равны, обозначим их через x. Расстояние от горизонтальной
осевой плоскости до первой точки зеркального отражения и от второй точки отражения до горизонтальной осевой плоскости равны
2/2R . Угол падения волны в точках зеркального отражения ра-
вен γ1 = γ2 = π / 4. При такой траектории луча вектор
лен горизонтальной осевой плоскости и его длина
Исследовать давление p(B) в точке B в зависимости от переменной
x, которая изменяется в интервале (2/2, )xR∈− +∞ .
**
yy
паралле-
12
**
112
2Lyy R==
.
6.3. Проектное задание к модулю 6 93
Рис. 6.2. Двукратное отражение высокочастотной акустической волны от пары
плоских отражателей и от вогнутой части кругового полуцилиндра. В точке A поме-
щен источник круговой акустической волны, в точке B находится приемник
С учетом принятых обозначений на основе формул (6.11) и
(6.12) выписать аналитические выражения для давления в точке
B двукратно отраженной акустической волне от цилиндрической
поверхности отражателя и от системы двух плоских твердых отражателей, расположенных на касательных плоскостях к цилиндрической поверхности в точках зеркального отражения.
Для каждого из случаев построить графики функции величины
()RP B от переменной x / R. Кривая 1 должна соответствовать от-
ражению от пары плоских отражателей, а кривая 2 должна соответствовать двукратному отражению волны от кругового цилиндра (рис. 6.2).
Сделать практические выводы.
6.3.2. Двукратное отражение акустической волны
от вогнутой части полусферы
На примере двукратного отражения звуковой волны провести
сравнение величины давления в переотраженной волне от вогну-
94 М. 6. Коротковолновая дифракция акустических волн на граничных поверхностях…
той части полусферического твёрдого отражателя и от пары плоских отражателей, касающихся сферической поверхности в точках
зеркального отражения (рис. 6.3).
Рис. 6.3. Двукратное отражение высокочастотной акустической волны от пары
плоских отражателей и от вогнутой части полусферы. В точке A помещен источник
круговой акустической волны, в точке B находится приёмник
Источник высокочастотной сферической акустической волны
расположен в точке A, а приёмник в точке B. Расстояния от источника и приёмника до горизонтальной диаметральной плоскости
полусферы равны, обозначим их через x. Расстояние от горизонтальной диаметральной плоскости до первой точки зеркального
отражения и от второй точки отражения до горизонтального диаметральной плоскости равны 2/2R . Угол падения волны в точ-
ках зеркального отражения равен γ1 = γ2 = π / 4. При такой траекто-
рии луча вектор
плоскости и его длина
**
yy
параллелен горизонтальной диаметральной
12
**
112
2Lyy R==
. Исследовать давление
6.3. Проектное задание к модулю 6 95
p(B) в точке B в зависимости от переменной x, которая изменяется
в интервале
(2/2, )xR∈− +∞ .
С учетом принятых обозначений на основе формул (6.11) и (6.12)
выписать аналитические выражения для давления в точке B двук-
ратно отраженной акустической волне от сферической поверхности отражателя и от системы двух плоских твердых отражателей,
расположенных на касательных плоскостях к сферической поверхности в точках зеркального отражения.
Для каждого из случаев построить графики функции величины
()RP B от переменной x / R. Кривая 1 должна соответствовать от-
ражению от пары плоских отражателей, а кривая 2 – двукратному
отражению волны от полусферы (рис. 6.3).
Сделать практические выводы.
МОДУЛЬ 7
ПЕРЕОТРАЖЕНИЕ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ
ПРОИЗВОЛЬНОЕ КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО РАЗ
7.1. Комплексная цель модуля 7
Целью модуля является нахождение в рамках ГТД явного выражения амплитуды давления в отраженной волне произвольное
конечное число N раз от граничных поверхностей скопления как
выпуклых, так и невыпуклых препятствий, находящихся в гидроакустической среде. Рассматривается трехмерная задача. 2N-кратные дифракционные интегралы для амплитуды давления в переотраженной волне получены на основе модификации физической
теории дифракции Кирхгофа. Излагается асимптотический метод
оценки 2N-кратных дифракционных интегралов, основанный на
методе многомерной стационарной фазы. Получена явная формула для давления в многократно отраженной волне.
7.2. Содержание модуля 7
7.2.1. Постановка задачи о многократном рассеянии
высокочастотной акустической волны на гладких
граничных поверхностях скопления твердых препятствий,
находящихся в бесконечной акустической среде
Пусть из точки x0 бесконечной акустической среды на гладкую
граничную поверхность S1 препятствия (трехмерная задача) падает круговая монохроматическая высокочастотная волна (рис. 7.1).
Волна порождается точечным источником давления δ(x
дящимся в точке x0, где ω – частота колебаний (5.1). Отраженная
от поверхности S
от второй, попадает на следующую поверхность и т. д. и приходит
в точку 1Nx+.
попадает на вторую поверхность S2, отражаясь
1
)e
0
-iωt
, нахо-
7.2. Содержание модуля 7 97
Целью является исследование давления в многократно
(N-кратно) отраженной волне от замкнутых поверхностей S
скопления акустически твердых препятствий, находящихся в
S
N
, S2,…,
1
бесконечной акустической среде (рис. 7.1).
7.2.2. Метод решения. Многократное отражение
акустической волны от граничных поверхностей скопления
препятствий
Если форма граничной поверхности изолированного акустичес-
ки твердого рассеивателя или расположение и формы граничных
поверхностей системы рассеивателей, находящихся в акустической среде допускают многократные (N-кратные) переотражения,
то дифракция высокочастотной волны может быть также исследована в рамках интегрального представления. Основу формирования интегрального представления давления в N раз переотражен-
ной акустической волне составляет модификация интегрального
представления Кирхгофа [20], реализованная при рассмотрении
случая двукратного отражения в модуле 6.
Пусть из точки x0 акустической среды распространяется высо-
кочастотная сферическая волна (6.3). Будем считать, что возможна реализация распространения акустической волны вдоль луча
*** *
xyyy y x
−−−−− − , где точки зеркального отражения
01 2 3 1
*** *
, , ,...,
yyy y могут принадлежать как поверхности одного рас-
123
сеивателя, так и граничным поверхностям различных N рассеивателей (рис. 7.1). Однако возможны и случаи последовательного расположения по несколько точек зеркального отражения на
поверхностях отдельных рассеивателей, в то время как на других
присутствует только одна точка отражения. Волна принимается в
точке 1Nx+ акустической среды. В дальнейшем будем рассматривать локальную постановку задачи, в рамках которой в высокочастотном режиме колебаний давление в точке приема определяется
отражением волны от малых окрестностей
поверхностей в точках зеркального отражения
Остановимся на формировании интегрального представления
давления
ление в N раз отраженной волне в точке 1Nx+ будем находить интегрированием по окрестности
...
N
()
в отраженной волне в точке приема 1Nx+. Дав-
1Npx+
NN
+
** *
, ,...,
SS S граничных
12
*
S последней точки зеркального
N
N
*** *
, , ,...,
yyy y.
123
N
98 М. 7. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз
Рис. 7.1. N-кратное переотражение высокочастотной акустической волны вдоль
луча
*** * *
xyyy y y x
−−−−− − −
01 2 3 1 1
...
NNN
−+
от граничных поверхностей N акустичес-
ки твёрдых препятствий, находящихся в акустической среде
отражения
от окрестности
*
ния
*
y лучей, полученных при однократном отражении
N
*
предпоследней точки зеркального отраже-
1NS−
. Давление в точке приема
1Ny−
px
()
1N
+
дается следующей
формулой
7.2. Содержание модуля 7 99
,
yx
Φ
∂
()
px py dS
()
1
NN N
+
Здесь
рестности
ности
y , направленная в сторону акустической среды.
N
py – давление в падающей волне в точке
()
N
*
y , которое определяется после отражения на окрест-
N
S
*
−
точки
1N
*
y
В то же время давление
2
=
∫∫
S
1N
−, N
()
*
N
n – нормаль к поверхности
py само выражается в виде интег-
()
N
NN
∂
рального представления через падающую на окрестность
ну, пришедшую после отражения на окрестности
yy
∂
Φ
()
py py dS
=
()
NN N
∫∫
S
2
()
11
*
N
−
1
−−
NN
n
∂
N
Такой же подход может быть распространен и на формирование
отраженного поля на любой окрестности
мого луча. В рамках такой модификации давление в точках окрестности
в которой p(yn) – давление в точке
дающей волне в точке
*
yS∈ (n = 2,3,…,N) выражается формулой
nn
yy
∂
Φ
()
=
∫∫
*
S
n
−
1
2
()
11
−−
yS
*
∈ окрестности
11nn
−−
py p y dS
()
nn n
nn
n
∂
n
yS∈ , p(y
nn
деляется после отражения волны на окрестности
n
– нормаль к поверхности
n-1
*
S
−
в точке y
1n
1
+
n
N
. (7.1)
yS∈ ок-
NN
S в точке
*
S
1N
−
,
1
−
1
−
*
S
вдоль рассматривае-
n
,
1
−
1
−
*
n-1
y
, направленная в сто-
n-1
. (7.2)
, (7.3)
) – давление в па-
*
, которое опре-
1n
−
*
S
точки
2n
−
*
N
*
S вол-
N
*
*
y
2n
−
рону акустической среды.
Продвигаясь вдоль переотраженного луча в обратном направ-
лении, т. е. в направлении луча
xy yyx
NN
***
− −−−−
1210
+
...
, прихо-
дим к рассмотрению формирования падающего поля на окрестнос-
*
ти
S
.
2
В точках y2 окрестности
*
ния
y интегральное представление p(y
2
py p y dS
=
() ()
21 1
∫∫
S
*
S
второй точки зеркального отраже-
2
inc
2
*
1
) имеет вид:
2
,
yy
Φ∂
()
12
n
∂
1
, (7.4)
,
100 М. 7. Переотражение акустической волны произвольное конечное число раз
1
−
ik x y
inc
где
py x y e
= − определяет падающее поле, соот-
()
101
ветствующее точечному источнику x
−
01
(6.3).
0
Подставляя последующие интегральные представления в предыдущие (7.1) – (7.4), получаем для определения
()
2N-крат-
1Npx+
ный интеграл
ΦΦ Φ Φ
Ninc
px p dSdS dS dS
()
2 ... ... ...
=
N NN
1 12 1
+ −
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
** * *
SS S S
121
NN
−
∂∂ ∂ ∂
nn n n
∂∂ ∂ ∂
12 1
NN
−
(7.5)
Асимптотическое решение, построенное ниже, имеет локальный характер и дает главный асимптотический член амплитуды
дифрагированного поля в малой окрестности любого луча, вышедшего из точки x0, отразившегося от поверхностей рассеивателей
последовательно в точках
. Очевидно, что такие лучи могут существовать только в том
1Nx+
случае, если все точки отражения
приема
лежат в области «света».
1Nx+
*** *
, , ,...,
yyy y и пришедшего в точку
123
N
*** *
, , ,...,
yyy y, а также точка
123
N
Для построения главного члена асимптотики воспользуем-
,
yy
Φ
∂
()
1
nn
ся асимптотическим представлением
фундаментального решения
1
,4
yy y y eΦπ
()
−−
nn n n
= − (7.6)
11
−
()
∂
1
−
−
n
1
n
−
ik y y
потенциала
−
1
nn
−
при k→∞
.
,
yy
∂
Φ
()
1
−
nn
∂
n
1
−
n
1
cos 4 1
ik y y e k
= − +
γπ Ο
11
−−
nnn
−
()
1
−
−
ik y y
1
nn
−
1
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
−
()
(7.7)
1, 2, ..., 1nN=+,
где γ
y
– угол между нормалью n
n-1
– y
, а
yy
− – расстояние между точками пространства
1nn
n-2
n-1
yS
*
∈ и
11nn
−−
−
*
yS∈ .
nn
Заметим, что падающий
лежат в одной плоскости с нормалью nn в точке
yx= ,
00
n-1
**
yy
− и отраженный
1nn
−
yx
= ,
11NN
++
и направлением падения луча
*
y .
n
**
yy
− лучи
1nn
+
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]