Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов. Учебное пособие
.pdf
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
Г. В. КРАСОЛЕНКО, Н. В. СВАНИДЗЕ, Г. В. ЯКУНИНА
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2014
1
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
УДК 514.122 + 514.742.2 + 517.2
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент А. Е. Михайлов (СПбГАСУ);
канд. физ.-мат. наук, доцент В. Г. Пак (СПбГПУ)
Красоленко, В. Г.
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов: учеб. пособие / Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина; СПбГАСУ. – СПб., 2014. – 115 с.
ISBN 978-5-9227-0498-4
Предназначено для самостоятельного изучения разделов курса высшей
математики: «Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов» студентами факультета безотрывной формы обучения. Приводятся основные определения и теоремы. Рассматривается методика решения типовых
задач. Теоретический материал, задачи и их решения снабжены иллюстрациями.
Табл. 1. Ил. 70. Библиогр.: 12 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.
ISBN 978-5-9227-0498-4
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина,
2014
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2014
2
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Введение
Ранее кафедрой математики СПбГАСУ были изданы методические указания только для студентов заочной формы обучения,
причем в них в основном рассматривались методы решения практических задач, теоретический материал был представлен недостаточно полно. С тех пор изменились учебные программы прохождения курса математики для студентов заочной формы обучения, возобновился набор студентов на вечернее отделение. Таким образом,
возникла необходимость создания учебного пособия, приемлемого
как для студентов заочной, так и вечерней форм обучения.
Пособие содержит рабочую программу и три раздела курса
высшей математики:
1. Аналитическая геометрия на плоскости.
2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в простран-
стве.
3. Теория пределов.
первом разделе приведены основные виды уравнений пря-
В
мой на плоскости и изложена теория кривых второго порядка.
Текст сопровождается решениями задач. Теоретический материал,
задачи и их решения снабжены рисунками.
Во втором разделе излагаются основные понятия векторной
алгебры и аналитической геометрии в пространстве. Текст также
сопровождается решениями задач и множеством иллюстраций.
Третий
раздел является одним из основных разделов математики. Основные теоретические положения этого раздела сопровождаются иллюстрациями, облегчающими усвоение сложного материала. Особое внимание уделяется задачам, связанным с раскрытием неопределенных выражений, которые в дальнейшем используются в других разделах математики.
3
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
A
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Аналитическая геометрия на плоскости
1. Метод координат как взаимно однозначное соответствие
между точкой на плоскости и упорядоченной парой вещественных
чисел. Декартова система координат и декартовы координаты точек. Координатная сетка прямоугольной системы координат.
2. Основные задачи на координаты точек: 1) расстояние меж-
ду двумя точками; 2) деление отрезка в данном отношении и, в частности, пополам.
3. Линия как геометрическое место точек, обладающих каким-
либо определенным свойством. Уравнение линии как связь между
координатами произвольной ее точки, выраженная аналитически.
Окружность и ее уравнение.
4. Прямая линия. Общее уравнение прямой. Взаимно одно-
значное соответствие между уравнением первой степени с двумя
переменными
x
0 CBy
и прямой линией. Вертикальные
и наклонные прямые. Уравнение наклонной прямой в форме с угловым коэффициентом.
5. Основные задачи на прямую линию:
1) определение угла между прямыми, условия параллель-
ности и перпендикулярности двух прямых;
2) нахождение точки пересечения двух прямых;
3) пучок прямых и его уравнение;
4) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
6. Эллипс. Выбор системы координат и вывод eгo каноническо-
го уравнения. Свойства симметрии эллипса, исследование его формы
по его уравнению. Полуоси эллипса, связь между длинами полуосей
и полуфокусным расстоянием. Эксцентриситет и влияние его изменения на форму эллипса. Окружность как частный случай эллипса.
7. Гипербола. Выбор системы координат и вывод ее канони-
ческого уравнения. Свойства симметрии гиперболы, исследование
ее формы по ее уравнению. Асимптоты гиперболы, ее характеристический прямоугольник. Связь между длинами полуосей и полуфокусным расстоянием. Эксцентриситет и влияние его изменения
на форму гиперболы. Равнобочная гипербола, взаимная перпендикулярность ее асимптот. Сопряженная гипербола.
4
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
8. Парабола. Выбор системы координат и вывод ее канониче-
ского уравнения (например, уравнения pxy 2
2
). Свойства сим-
метрии параболы, исследование ее формы по ее уравнению. Геометрический смысл параметра р в каноническом уравнении параболы и влияние его изменения на форму параболы. Каноническое
уравнение параболы, осью симметрии которой является:
1) отрицательная полуось абсцисс (
);
pxy 22
2) положительная полуось ординат ( pyx 22 );
3) отрицательная полуось ординат ( pyx 22 ).
9. Преобразование декартовых координат при параллельном
переносе осей. Формулы прямого и обратного перехода.
10. Преобразование уравнений второго порядка при парал-
лельном переносе осей координат. Уравнения эллипса и гиперболы
со смещенными центрами при условии параллельности их осей
осям координат; уравнение параболы со смещенной вершиной при
условии параллельности ее оси симметрии одной из осей координат.
11. Геометрический смысл уравнения второго порядка
22
022
FEyDxCyAx .
Определение геометрических образов, соответствующих этому
уравнению, путем преобразования его к каноническому виду методом выделения полных квадратов и последующего параллельного
переноса координатных осей.
12. Полярная система координат и полярные координаты точ-
ки. Координатная сетка полярной системы. Связь декартовых и полярных координат точки и ее зависимость от способа совмещения
декартовой и полярной систем координат. Уравнение линии в полярной системе. Лемниската Бернулли, ее декартово и полярное
уравнения, исследование ее формы по ее уравнению. Построение
кривой, заданной уравнением, в полярной системе координат (на
примерах спирали Архимеда
кардиоиды )cos1(
a ).
, улитки Паскаля
a
,
cosab
13. Параметрические уравнения линии. Параметрические
уравнения окружности, эллипса. Построение кривой, заданной
в параметрической форме (на примере астроиды ,cos
,sin3tay
).
20 t
3
tax
5
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
M
Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве
1. Скалярные и векторные величины. Геометрическая интерпретация вектора как направленного отрезка. Основные определения (длина вектора, нуль-вектор, единичный вектор, свободный
вектор):
1) равенство векторов;
2) сложение векторов и его свойства (переместительное
и сочетательное свойства);
3) вычитание векторов;
4) умножение вектора на скаляр и его свойства (сочета-
тельное и распределительное свойства);
5) нахождение орта произвольного вектора.
2. Проекция вектора на ось и ее свойства. Выражение вектора,
его длины, направляющих косинусов и проекции на любую ось через проекции вектора на три взаимно перпендикулярные оси.
3. Радиус-вектор и декартовы координаты точки в пространстве. Основные задачи на координаты точек в пространстве: 1) определение расстояния между двумя точками; 2) деление отрезка прямой в данном отношении и, в частности, пополам.
4. Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов на три взаимно перпендикулярные оси. Выражение длины
вектора через скалярное произведение. Вычисление угла между
двумя векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.
5. Задание плоскости в пространстве, ее направляющий вектор
(вектор нормали). Уравнение плоскости в векторной и координат-
ной формах. Угол между плоскостями. Условия параллельности и
перпендикулярности двух плоскостей.
6. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых
векторов на три взаимно перпендикулярные оси. Условие коллинеарности двух векторов.
7. Задание прямой в пространстве, ее направляющий вектор.
Уравнение пространственной прямой в векторно-параметрической
форме. Параметрические и канонические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Угол между
двумя прямыми, угол между прямой и плоскостью. Условия парал-
6
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
лельности и перпендикулярности двух прямых, а также прямой
и плоскости.
8. Расстояние от точки до плоскости.
Функция одной переменной, ее предел и непрерывность
1. Независимая переменная (аргумент) и функция. Область
определения функции:
1) промежуток (открытый, полуоткрытый, замкнутый);
2) множество дискретно расположенных точек числовой
оси (на примере функции целочисленного аргумента или последовательности).
Функциональная зависимость и способы ее задания:
1) аналитический (явное и неявное задание функции
и функции, заданные в параметрической форме);
2) графический;
3) табличный.
Переход от одного способа выражения функциональной зави-
симости к другому, основные соображения:
1) табулирование аналитически заданной функции;
2) построение графика функции по точкам;
3) снятие значений функции с графика;
4) нахождение приближенного аналитического выражения,
таблично или графически заданной функции.
2. Многозначные функции и их однозначные ветви. Взаимно
обратные функции. Сложная функция (композиция функций, функция от функции).
3. Основные элементарные функции и их графики (степенная,
показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные
тригонометрические функции). Классификация функций (элементарные и неэлементарные функции). Число e. Натуральные логарифмы и их связь с десятичными логарифмами.
4. Понятие -окрестности точки
. M– окрестность беско-
x
0
нечно удаленной точки. Определение локально ограниченной
функции.
5. Функция бесконечно малая в точке и ее свойства: 1) сумма
бесконечно малых; 2) произведение бесконечно малой на локально
ограниченную и на бесконечно малую.
7
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
y
x
y
6. Функция бесконечно большая в точке и ее связь с бесконечно малой.
7. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел
функции в бесконечно удаленной точке. Основные свойства предела функции в точке:
1) единственность предела;
2) локальная ограниченность функции, имеющей предел;
3) предельный переход в неравенстве;
4) теорема о трех функциях, связанных неравенством (тео-
рема о сжатой переменной).
8.
Основные теоремы о пределах функции в точке (предел
суммы, произведения, частного). Понятие неопределенности. Пер-
вый замечательный предел
Непрерывность функции в промежутке. Свойства функ-
9.
lim
x
sin
0
.1
x
ций, непрерывных в замкнутом промежутке (теорема Больцано –
Коши и теорема Вейерштрасса).
10.
Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно
малые.
Основные виды бесконечно малых:
1)1(
x
~sin
x 0
xx
,
,~)1(ln
,~10xe
0xxx
.~
xx
x
x
0
8
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
y
x
y
Глава 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Аналитическая геометрия была придумана одновременно
и независимо двумя учеными: философом Рене Декартом и юристом Пьером Ферма.
Основная идея аналитической геометрии проста: положение
точки на плоскости можно описать двумя числами и таким образом
перевести любое утверждение о точках в утверждение о числах [11].
Декартова система координат
§ 1.
Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые и назовем одну из них осью абсцисс, а другую – осью ординат.
Точка их пересечения O называется началом координат. На каждой
оси задается положительное направление и выбирается единица
длины. Обе оси вместе с выбранной единицей длины образуют де-
картову систему координат на плоскости
. Каждой точке M, лежа-
щей на плоскости, ставится в соответствие упорядоченная пара чисел x и y. Эти числа называются прямоугольными декартовыми координатами точки M, число х называется абсциссой точки М, а y –
ее ординатой. Обратно, каждой упорядоченной паре чисел ),(
можно поставить в соответствие некоторую точку плоскости, для
которой x является ее абсциссой, а y – ординатой (рис. 1.1). Соответственно этому ось абсцисс называют осью x, а ось ординат –
осью y.
Этот принцип взаимно
однозначного соответствия лежит в основе аналитической
II
y
),( yxM
I
геометрии.
Оси координат делят плоскость на четыре четверти или четыре квадранта. Первым квадрантом является четверть между
положительной полуосью Ox
III
O
x
x
IV
и положительной полуосью Oy.
Далее квадранты нумеруются по
порядку против часовой стрелки
(см. рис. 1.1).
Рис. 1.1
9
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
yxM
y
§ 2. Простейшие задачи на координаты точек
1. Расстояние между двумя точками
Если на плоскости известны координаты точек ),(
и
, то расстояние между этими точками находится по
),(
yxM
222
yxM
111
формуле (рис. 1.2)
2
1221
2
,)()(||
yyxxMMd (1)
12
которая следует из теоремы Пифагора, примененной к треугольнику
MMM .
321
2. Деление отрезка в данном отношении
Координаты точки ),(
прямой, расположенный между точками ),(
в данном отношении
, находятся по формулам (рис. 1.3):
MM
ххх
1
M
y
2
d
M
y
1
O
1
x
1
Рис. 1.2
2
yy
12
M
xx
3
12
x
2
В частном случае, когда точка
лам, т. е.
, координаты точки M – середины отрезка – опреде-
1
, которая делит отрезок
MM
||
1
||
2
21
,
у
уу
21
1
y
y
2
y
M
1
y
1
x
O
x
1
M делит отрезок
yxM и ),(
111
M
x
Рис. 1.3
MM
21
yxM ,
222
M
2
x
2
MM попо-
21
ляются по формулам:
ххх
21
у
,
2
10
уу
21
.
(3)
2
)2(.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]