Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Ч.1. Практикум
.pdf
1
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное
образовательное учреждение высшего образования
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Институт пути, строительства и сооружений
Кафедра «Математический анализ»
А.П. Иванова, Е.В. Родина
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ЧАСТЬ 1
Практикум
для студентов
специальности 23.05.06
Москва – 2020
2
УДК 517
И 21
Иванова А.П., Родина Е.В. Аналитическая геометрия. Ч. 1:
Практикум. – М.: РУТ (МИИТ), 2020. – 56 с.
Настоящий практикум предназначен для студентов
первого курса всех специальностей Института пути, строительства и сооружений (ИПСС), изучающих дисциплину
«Математика».
Практикум разработан в помощь к решению практических заданий и выполнению домашних заданий. Содержит краткое изложение теории и много подробно разобранных примеров.
В практикуме приводится 100 вариантов индивидуального задания для самостоятельной работы.
© РУТ (МИИТ), 2020
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Основные определения ……………………...…
4
2. Линейные операции над векторами……………
8
3. Базис …………………..……………………….
15
Задание 1…………………………………………..
17
5. Скалярное произведение векторов…….……….
26
Задание 2 ..………………………………………….
30
6. Векторное произведение векторов ………….…
39
7. Смешанное произведение векторов ………..…..
41
Задание 3 …………………..……………………….
46
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………….…………...
55
4
1. Основные определения
[]ab
В математике и её приложениях различают два типа ве-
личин:
1) Величины, для определения которых достаточно
знать только одно число. Эти величины называются скалярными или скалярами (длина, площадь, объём, масса, плотность, температура и т. д.).
2) Величины, для определения которых, кроме численного значения, необходимо знать также их направления в
пространстве. Эти величины называют векторными или
векторами1 (сила, скорость, ускорение и т. д.).
1
Историческая справка. Название «вектор» произошло от
латинского vehere – перевозить, перемещать. Направленные отрезки использовал Арган (J.R. Argand, 1768–1822) в работе
"Опыт некоторого представления мнимых величин … ", опубликованной в 1806 году. Эти отрезки Арган обозначал симво-
лами a, bи т.п. Мëбиус обозначал отрезок с началом в
точке A и концом в точке B символом AB. Он считается од-
ним из основателей теории векторов. Термин "вектор" ввел
Гамильтон приблизительно в 1845 году. Он же определил скалярное и векторное произведения векторов в 1853 году. Заметим, что эти произведения фигурировали в работах Грасмана
еще в 1844 году. Он называл их внутренним и внешним произведениями. Однако работы Грасмана не были поняты и по
достоинству оценены современниками. Символ
для
5
обозначения векторного произведения ввел Грасман. Гиббс
ab
ab
( , )ab
AB
a
AB
||AB
||a
(J.W. Gibbs, 1839–1903), в 1881 году ввел символы
для векторного и скалярного произведений векто-
ров a и b. В 1903 году О.Хенричи предложил обозначать
скалярное произведение символом
Вектором называется направленный отрезок AB с
начальной точкой A и конечной точкой B, который обозначается символом
(рис. 1).
Длиной (или нормой) вектора
равное длине отрезка, изображающего вектор. Записи
и
обозначают длины векторов AB и a соответственно.
Вектор a, длина которого равна единице, называется
единичным вектором, или ортом. Обычно единичный век-
тор обозначают символом
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называ-
ется нулевым вектором и обозначается символом 0 или AA.
Геометрически такой вектор изображается точкой. Длина
нулевого вектора равна 0. Считают, что такой вектор не
имеет направления.
или одной строчной буквой
Рис. 1
.
называется число,
и
6
Векторы a и b, расположенные на одной прямой или
на параллельных прямых, называются коллинеарными (рис.
2). Коллинеарные векторы обозначают
ba ||
.
Рис. 2
Два вектора a и b называются сонаправленными
(противоположно направленными), если они коллинеарны
и направлены в одну (противоположную) сторону.
Обозначение:
- сонаправленные векторы,
- противоположно направленные векторы.
Два вектора a и b называются равными, если они
сонаправлены и их длины равны. Обозначают равные век-
торы a = b
7
Рис. 3
Пример. На рис. 3 представлены векторы на плоскости:
1. Коллинеарные:
|| ||KL CD AB
,
||EF GH
2. Сонаправленные:
CD AB
,
EF GH
3. Противоположно направленные:
KL CD
,
KL AB
.
Из школьного курса известно, что от любой точки
можно отложить вектор, равный данному, и притом только
один.
Три вектора называются компланарными, если они,
будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной
8
плоскости. Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой,
то три вектора тоже считаются компланарными.
Например, в прямоугольном параллелепипеде
ABCDOKMN (рис. 4) векторы
DC
и
MK
компланарны,
или
DC
и
также компланарны
Рис. 4
2. Линейные операции над векторами
Линейными операциями называются сложение векто-
ров и умножение вектора на число.
Произведением вектора
a
на действительное число
называется вектор
ba
=
, длина которого
| | | | | | | |b a a
= =
, а направление совпадает с a, если
0
, и противоположно a, если
0
.
Из определения следует, что векторы a и
ba
=
все-
гда расположены на одной или на параллельных прямых
(см. рис. 5). Следовательно, равенство
ba
=
(1)
выражает условие коллинеарности двух векторов.
9
Противоположным вектором a− называется про-
изведение вектора a на число (-1), т.е.
( 1)aa− = −
.
Рис. 5
Условие коллинеарности
10
Домашнее задание
Рис. Д1 Рис. Д2
Задание Д1. Назовите на рисунке Д1 векторы, укажите
начало и конец вектора. Найдите длину вектора.
Задание Д2. Назовите на рисунке Д2
а) коллинеарные векторы;
б) сонаправленные векторы;
в) противоположно направленные векторы.
Рис. Д3 Рис. Д4 Рис. Д5
Задание Д3. Назовите на рисунке Д3
а) коллинеарные векторы;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]