Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Ч.1. Практикум
.pdf
21
69
4 2 1
1
2
n a b d= + −
70
1 3 1
2 3 2n a c d= + −
71
3 3 3
1
2
2
n a c d= − +
72
1 1 2
22n b c d= + +
73
1 4 2
2
2
3
n b c d= + +
74
2 1 3
23n b c d= + +
75
1 2 4
22n b c d= + +
76
4 3 3
1
2
n a b c= + −
77
1 4 2
2n b d d= − +
78
3 3 1
11
22
n a b d= + +
79
2 2 4
2n b c d= + −
80
4 1 2
2
2
3
n a c d= − +
81
4 3 3
1
2
2
n a b c= − +
82
3 2 2
22n b a c= + +
83
3 2 1
1
2
2
n a b d= + +
84
4 2 4
2 3 2n b a a= + −
85
2 1 2
2
3
n a b d= + +
86
4 3 2
2n b c d= + −
87
3 3 1
3 2 2n a b d= + −
88
3 1 2
11
23
n a c d= + +
89
4 3 2
1
3
n c b d= + +
90
3 2 3
22n a b d= − + +
91
2 2 3
3n a b d= − + +
92
4 1 1
11
2
22
n a c d= + +
93
4 1 1
1
2
n a c d= − + +
94
2 2 2
32n a b d= − + +
95
4 4 1
2n a b c= + −
96
2 2 1
1
2
n a b d= + +
97
2 4 4
1
2
n a b d= + +
98
4 1 1
22n a b c= − +
99
2 2 4
23n b c d= + −
100
2 2 3
1
2
2
n a b d= − +
22
Пример решения задания 1 на построение линейной
комбинации векторов. Постройте на плоскости вектор
1 4 1
22n b c d= − +
, являющийся линейной комбинацией за-
данных векторов, найдите его координаты (векторы
1
b
,
4
c
и
1
d
изображены на рис. 11).
Рис. 12
23
Решение.
1. Построим вектора
1
2b
,
4
c−
и
1
2d
.
2. Применим правило параллелограмма для сложения век-
торов
1
2d
и
4
c−
.
3. Используем правило параллелограмма для сложения век-
торов
1
2b
и
14
2dc−
. Получим искомый вектор (см. рис.
12).
4. Найдём координаты вектора n. По рис. 11 видно, что за-
данные вектора имеют координаты:
1
( 1;3)b =−
,
4
( 1; 4)c = − −
,
1
(2; 4)d =−
.
Следовательно, координаты вектора
2 ( 1;3) ( 1; 4) 2 (2; 4) ( 2 1 4;6 4 8) (3;2).n = − − − − + − = − + + + − =
Задача 1.
Написать уравнение прямой l, проходящей через заданную точку
0 0 0
( ; )M x y
параллельно заданному вектору
( ; )a
=
.
Решение.
Возьмём произвольную точку
( ; )M x y l
. Рассмот-
рим вектор
0 0 0
( ; )M M x x y y= − −
. Точка
( ; )M x y
будет ле-
жать на прямой l, если вектор
0
MM
коллинеарен вектору
24
a. Запишем условие коллинеарности векторов:
00
x x y y
−−
=
. (5)
Получено каноническое уравнение прямой l. Выра-
жая y через x, можно получить уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Задача 2.
Написать уравнение прямой l, проходящей через за-
данные точки
1 1 1
( ; )M x y
и
2 2 2
( ; )M x y
.
Решение.
Возьмём произвольную точку
( ; )M x y l
. Рассмот-
рим вектор
1 1 1
( ; )M M x x y y= − −
. Точка
( ; )M x y
будет
лежать на прямой l, если вектор
1
MM
коллинеарен век-
тору
1 2 2 1 2 1
( ; )M M x x y y= − −
. Запишем условие коллине-
арности этих векторов:
Каноническое уравнение прямой
00
x x y y
−−
=
25
11
2 1 2 1
x x y y
x x y y
−−
=
−−
. (6)
Получено каноническое уравнение прямой.
Например, напишем уравнение прямой l, проходя-
щей через точки
(2;1)A
и
(6;3)B
(см. рис. 13).
Подставим координаты точек A и B в уравнение (6):
21
6 2 3 1
xy−−
=
−−
,
получим каноническое уравнение прямой l
21
42
xy−−
=
.
Это уравнение можно преобразовать к виду
y kx b=+
:
2( 2) 4( 1)xy− = −
,
1
1 ( 2)
2
yx− = −
,
1
2
yx=
– это уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
11
2 1 2 1
x x y y
x x y y
−−
=
−−
26
Рис. 13
4. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов a и b (бу-
дем обозначать3 ab или
( , )ab
) называется число, равное
произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними, см. рис. 14. Таким образом, по
определению
| | | | cosab a b
=
. (7)
Рис. 14
Рассмотрим некоторые свойства скалярного произ-
ведения.
3
См. историческую справку на стр. 4.
27
1. Скалярное произведение коммутативно:
ab ba=
.
2. Скалярное произведение ассоциативно относительно
скалярных множителей:
( )( ) ( )a b ab
=
.
3. Скалярное произведение дистрибутивно относительно
суммы векторов:
( , ) ( , ) ( , )a b c a b a c+ = +
.
4. Из условия
0ab =
следует, что либо
0a =
, либо
0b =
, либо
cos 0
=
. Таким образом, условием ортогонально-
сти (перпендикулярности) двух ненулевых векторов a и b
является равенство нулю их скалярного произведения, т.е.
ab⊥
0ab =
.
Рассмотрим теперь скалярное произведение вектора
самого на себя:
2
| | | | cos0 | | | | | |aa a a a a a= = =
.
Таким образом, если вектор имеет координаты
( ; )
aa
a x y=
2 2 2
||
aa
aa a x y= = +
.
Условие ортогональности векторов
ab⊥
0ab =
28
Скалярное произведение двух векторов
( ; )
aa
a x y=
и
( ; )
bb
b x y=
равно сумме парных произведений их одно-
имённых координат:
a b a b
ab x x y y=+
. (8)
Формулу (8) можно получить, если представить век-
торы a и
b
в виде линейной комбинации базисных векто-
ров
(1;0)i =
и
(0;1)j =
aa
a x i y j=+
,
bb
b x i y j=+
и использовать свойства скалярного произведения:
( )( )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ).
a a b b
a b a b a b a b
ab x i y j x i y j
x x i i x y i j y x j i y y j j
= + + =
= + + +
Так как базисные векторы i и j единичные и ортогональные, можно вычислить их скалярные произведения:
22
( , ) | | 1, ( , ) | | 1, ( , ) ( , ) 0.i i i j j j i j j i= = = = = =
В результате получаем формулу (8).
Используя координатную форму скалярного произ-
ведения, получаем, что условие ортогональности ненулевых векторов a и b имеет вид
ab⊥
0
a b a b
x x y y+=
.
Условие ортогональности векторов
ab⊥
0
a b a b
x x y y+=
29
Приравнивая выражения для скалярного произведе-
ния по формулам (7) и (8), получим формулу для нахождения косинуса угла между векторами:
2 2 2 2
cos
a b a b
a a b b
x x y y
x y x y
+
=
++
. (9)
Задача 3.
Написать уравнение прямой l, проходящей через за-
данную точку
0 0 0
( ; )M x y
перпендикулярно заданному век-
тору
( ; )a
=
.
Решение.
Возьмём произвольную точку
( ; )M x y l
. Рассмот-
рим вектор
0 0 0
( ; )M M x x y y= − −
. Точка
( ; )M x y
будет ле-
жать на прямой l, если вектор
0
MM
перпендикулярен век-
тору a. Запишем условие перпендикулярности векторов:
00
( ) ( ) 0x x y y
− + − =
.
30
Получено общее уравнение прямой
l
:
0Ax By C+ + =
(здесь вектор нормали к прямой имеет ко-
ординаты
( ; )N A B=
). Выражая y через x, можно полу-
чить уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Задание 2.
Даны координаты вершин треугольника АВС.
1) Нарисовать треугольник АВС.
2) Составить уравнение прямой, проходящей через
точку А, перпендикулярно стороне СВ.
3) Найти
ABC
.
4) Составить уравнения прямых, содержащих стороны
треугольника АВС.
5) Составить уравнение прямой, проходящей через
точку С параллельно стороне АВ.
6) Определить периметр треугольника АВС.
Пример решения задания 2 приведён на стр. 31.
Общее уравнение прямой
0Ax By C+ + =
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]