Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Ч.1. Практикум
.pdf
41
i j k=
,
j k i=
,
k i j=
.
Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами
1 2 3
( ; ; )a a a a=
,
1 2 3
( ; ; )b b b b=
, то5
2 3 1 3
12
1 2 3
2 3 1 3
12
1 2 3
i j k
a a a a
aa
c a b a a a i j k
b b b b
bb
b b b
= = = − + =
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
( ) ( ) ( )a b a b i a b a b j a b a b k= − − − + −
.
Следовательно, координаты векторного произведения
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
( ; ; )c a b a b a b a b a b a b= − − −
.
6. Смешанное произведение векторов
Если векторное произведение двух векторов a и b
скалярно умножается на третий вектор c, то такое произ-
ведение трёх векторов называется смешанным произведе-
нием и обозначается символом
abc
.
5
См. в [1] разложение определителя по первой строке.
42
Если векторы a, b и c в базисе i, j, k заданы
своими координатами
1 2 3
( , , )a a a a=
,
1 2 3
( , , )b b b b=
,
1 2 3
( , , )c c c c=
, то их смешанное произведение вычисля-
ется как определитель матрицы, составленной из координат
векторов
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a a a
abc b b b
c c c
=
. (10)
Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование – это скаляр, по абсолютной величине
равный объёму параллелепипеда, построенного на трёх данных векторах (см. рис. 16).
Рис. 16
Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное
указанному объёму; если же тройка a, b, c – левая, то
0abc
и
V abc=−
, следовательно
||V abc=
.
43
Объём треугольной пирамиды, построенной на век-
торах a, b, c равен
1
||
6
пирамиды
V abc=
(см. рис. 17).
Рис. 17
Свойства смешанного произведения.
1. Необходимым и достаточным условием компланарности
трёх векторов является равенство нулю их смешанного
произведения.
2. Смешанное произведение трёх векторов, два из которых
совпадают, равно нулю.
3. При перестановке множителей знак смешанного произ-
ведения меняется на противоположный
.abc cba cab acb bac bca= − = = − = − =
Условие компланарности векторов
Вектора
a
, b,
c
компланарны
0abc =
44
Задача 4.
Написать уравнение плоскости , проходящей через заданную точку
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
перпендикулярно задан-
ному вектору
( ; ; )a
=
.
Рис. 18
Решение.
Возьмём произвольную точку
( ; ; )M x y z
. Рас-
смотрим вектор
0 0 0 0
( ; ; )M M x x y y z z= − − −
. Точка
( ; ; )M x y z
будет лежать на плоскости , если вектор
0
MM
перпендикулярен вектору a. Запишем условие пер-
пендикулярности векторов:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0x x y y z z
− + − + − =
.
Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, получим общее уравнение плоскости
:
0Ax By Cz D+ + + =
(здесь вектор нормали к плоскости
имеет координаты
( ; ; )N A B C=
).
Уравнение плоскости
0Ax By Cz D+ + + =
45
Задача 5.
Написать уравнение плоскости , проходящей через три заданных точки
1 1 1 1
( ; ; )M x y z
,
2 2 2 2
( ; ; )M x y z
и
3 3 3 3
( ; ; )M x y z
.
Рис. 19
Решение.
Возьмём произвольную точку
( ; ; )M x y z
. Рас-
смотрим векторы
1 1 1 1
( ; ; )M M x x y y z z= − − −
,
1 2 2 1 2 1 2 1
( ; ; )M M x x y y z z= − − −
и
1 3 3 1 3 1 3 1
( ; ; )M M x x y y z z= − − −
.
Точка
( ; ; )M x y z
будет лежать на плоскости , если век-
торы
1
MM
,
12
MM
и
13
MM
компланарны. Запишем усло-
вие компланарности векторов:
1 1 2 1 3
0M M M M M M =
.
Применим формулу (10) для вычисления смешанного произведения:
46
1 1 1
2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
0
x x y y z z
x x y y z z
x x y y z z
− − −
− − − =
− − −
.
Разложим определитель по первой строке, приведём
подобные слагаемые и получим общее уравнение плоскости
.
Задание 3.
Даны вершины пирамиды ABCD.
1) Доказать, что точки А, В, С, D не лежат в одной плоско-
сти.
2) Найти объём пирамиды ABCD.
3) Найти площадь грани АВС пирамиды ABCD.
4) Cоставить уравнения плоскостей, содержащих грани пи-
рамиды АВСD.
5) Cоставить уравнение прямой, содержащей ребро СD.
Пример решения задания 3 приведён на стр. 52.
вариант
А В С
D
1.
А(–2;1;1)
В(–5;1;–2)
С(–3;0;3)
D(–6;0;1)
2.
А(–3;–4;1)
В(–2;–3;–5)
С(0;0;0)
D(–6;0;3)
3.
А(–2;4;5)
В(1;3;–4)
С(–5;–5;1)
D(–1;2;–2)
4.
А(–1;2;0)
В(–4;2;–3)
С(–2;1;2)
D(–5;1;0)
47
5.
А(–2;–3;0)
В(–1;–2;–6)
С(1;1;–1)
D(–5;1;2)
6.
А(–1;5;–6)
В(2;4;–5)
С(–4;–4;0)
D(0;3;–3)
7.
А(–3;2;2)
В(–6;2;–1)
С(–4;1;4)
D(–7;1;2)
8.
А(–4;–3;2)
В(–3;–2;–4)
С(–1;1;1)
D(–7;1;4)
9.
А(–3;5;–4)
В(0;4;–3)
С(–6;–4;2)
D(–2;3;–1)
10.
А(0;1;1)
В(–3;1;–2)
С(–1;0;3)
D(–4;0;1)
11.
А(1;–2;1)
В(1;–5;–2)
С(0;–3;3)
D(0;–6;1)
12.
А(–4;–3;1)
В(–3;–2;–5)
С(0;0;0)
D(0;–6;3)
13.
А(4;–2;–5)
В(3;1;–4)
С(–5;–5;1)
D(2;–1;–2)
14.
А(2;0;0)
В(2;–4;–3)
С(1;–2;2)
D(1;–5;0)
15.
А(–3;–2;0)
В(–2;–1;–6)
С(1;1;–1)
D(1;–5;2)
16.
А(5;–1;–6)
В(4;2;–5)
С(–4;–4;0)
D(3;0;–3)
17.
А(2;–3;2)
В(2;–6;–1)
С(1;–4;4)
D(1;–7;2)
18.
А(–3;–4;2)
В(–2;–3;–4)
С(1;–1;1)
D(1;–7;4)
19.
А(5;–3;–4)
В(4;0;–3)
С(–4;–6;2)
D(3;–2;–1)
20.
А(1;0;1)
В(1;–3;–2)
С(0;–1;3)
D(0;–4;1)
21.
А(–1;5;–4)
В(0;3;–3)
С(–6;–4;1)
D(–4;3;–1)
22.
А(0;3;1)
В(–3;1;–3)
С(–1;1;3)
D(–4;0;2)
23.
А(1;–2;2)
В(4;–5;–2)
С(2;–3;3)
D(0;–5;1)
24.
А(1;0;1)
В(–2;1;–5)
С(3;0;–3)
D(1;0;–6)
25.
А(1;–4;–3)
В(–5;–3;–2)
С(0;0;0)
D(3;0;–6)
26.
А(–5;4;–2)
В(–4;3;1)
С(1;–5;–5)
D(–2;2;–1)
48
27.
А(0;2;–1)
В(–3;2;–4)
С(2;1;–2)
D(0;1;–5)
28.
А(0;–3;–2)
В(–6;–2;–1)
С(–1;1;1)
D(2;1;–5)
29.
А(–6;5;–1)
В(–5;4;2)
С(0;–4;–4)
D(–3;3;0)
30.
А(2;2;–3)
В(–1;2;–6)
С(4;1;–4)
D(2;1;–7)
31.
А(2;–3;–4)
В(–4;–2;–3)
С(1;1;–1)
D(4;1;–7)
32.
А(–4;5;–3)
В(–3;4;0)
С(2;–4;–6)
D(–1;3;–2)
33.
А(1;1;0)
В(–2;1;–4)
С(3;0;–1)
D(1;0;–4)
34.
А(1;–3;1)
В(1;–5;–3)
С(0;–3;3)
D(0;–6;1)
35.
А(–4;–4;1)
В(–3;–2;–6)
С(0;0;0)
D(0;–6;3)
36.
А(4;–3;–5)
В(3;1;–5)
С(–5;–5;1)
D(2;–1;–2)
37.
А(2;–2;0)
В(2;–4;–4)
С(1;–2;2)
D(1;–5;0)
38.
А(–3;–3;0)
В(–2;–1;–7)
С(1;1;–1)
D(1;–5;2)
39.
А(5;0;–6)
В(4;2;–6)
С(–4;–4;0)
D(3;0;–3)
40.
А(2;–2;2)
В(2;–6;–1)
С(0;–4;4)
D(1;–7;2)
41.
А(–3;–3;2)
В(–2;–3;–4)
С(2;–1;1)
D(1;–7;4)
42.
А(5;–4;–4)
В(4;0;–3)
С(–3;–6;2)
D(3;–2;–1)
43.
А(1;2;1)
В(1;–3;–2)
С(0;–1;3)
D(0;–4;0)
44.
А(1;3;1)
В(–2;1;–5)
С(3;0;–3)
D(1;0;–5)
45.
А(1;–5;–3)
В(–5;–3;–2)
С(0;0;0)
D(3;0;–5)
46.
А(–3;2;0)
В(5;4;–3)
С(2;1;–2)
D(–2;3;–1)
47.
А(–2;3;1)
В(–5;4;–2)
С(–3;1;3)
D(–6;1;1)
48.
А(–3;–4;1)
В(–2;0;–5)
С(0;3;0)
D(–6;0;0)
49
49.
А(–2;4;1)
В(1;0;–4)
C(0;–4;8)
D(–1;2;–4)
50.
А(–1;2;5)
В(–4;2;–3)
С(–2;1;4)
D(–5;1;2)
51.
А(–2;–3;1)
В(–1;2;–6)
С(1;–1;–1)
D(7;1;2)
52.
А(–1;5;–6)
В(5;4;–3)
С(–4;4;–2)
D(2;3;–3)
53.
А(–3;2;0)
В(–6;2;1)
С(–4;1;3)
D(7;1;2)
54.
А(–4;3;2)
В(3;–2;–4)
С(–1;1;–1)
D(–7;5;4)
55.
А(–3;5;1)
В(1;4;–3)
С(–6;0;2)
D(–2;3;–1)
56.
А(0;1;4)
В(–3;1;–6)
С(–1;0;6)
D(–4;0;1)
57.
А(–2;4;6)
В(–5;7;–2)
C(–5;4;–4)
D(0;–4;1)
58.
А(1;–2;1)
В(4;–5;–2)
C(1;–5;–2)
D(0;–6;1)
59.
А(–4;–3;1)
В(–2;1;–5)
C(–3;–2;–5)
D(0;–6;3)
60.
А(4;–2;–5)
В(–5;–3;–2)
C(3;1;–4)
D(2;–1;–2)
61.
А(2;–1;0)
В(–4;3;1)
C(2;–4;–3)
D(1;–5;0)
62.
А(–3;–6;0)
В(–3;2;–4)
C(–2;–1;–6)
D(1;–5;2)
63.
А(5;–1;–7)
В(–6;–2;–1)
C(4;2;–5)
D(3;0;–3)
64.
А(2;–3;7)
В(–5;4;2)
C(2;–6;–1)
D(1;–7;2)
65.
А(–7;–4;2)
В(–1;2;–6)
C(–2;–3;–4)
D(1;–7;4)
66.
А(5;–6;–4)
В(–4;2;–3)
C(4;0;–3)
D(3;–2;–1)
67.
А(1;0;5)
В(–3;4;0)
C(1;–3;–2)
D(0;–4;1)
68.
A(5;–4;5)
B(2;4;–5)
C(6;–4;1)
D(1;–3;–5)
69.
A(0;3;–3)
B(–4;3;–1)
С(–6;–4;1)
D(1;–2;1)
70.
A(–3;1;–3)
B(–4;0;2)
С(–1;1;3)
D(–4;–3;1)
50
71.
A(4;–5;–2)
B(0;–5;1)
С(2;–3;3)
D(4;–2;–5)
72.
A(–2;1;–5)
B(1;0;–6)
С(3;0;–3)
D(2;–1;0)
73.
A(–5;–3;–2)
B(3;0;–6)
С(0;0;7)
D(–3;–2;0)
74.
A(–4;3;1)
B(–2;2;–1)
С(1;–5;–5)
D(5;–1;–6)
75.
A(–3;2;–4)
B(0;1;–5)
С(2;1;–2)
D(2;–3;2)
76.
A(–6;–2;–1)
B(2;1;–5)
С(–1;1;1)
D(–3;–4;2)
77.
A(–5;4;2)
B(–3;3;0)
С(0;–4;–4)
D(5;–3;–4)
78.
A(–1;2;–6)
B(2;1;–7)
С(4;1;–4)
D(1;0;1)
79.
А(5;–3;–4)
В(–5;–3;–2)
С(1;–2;7)
D(0;–5;1)
80.
A(1;1;–1)
B(4;1;–7)
С(0;–3;3)
D(2;–3;–4)
81.
A(2;–4;–6)
B(–1;3;–2)
С(0;0;0)
D(–4;5;–3)
82.
A(3;0;–1)
B(1;0;–4)
С(–5;–5;1)
D(1;1;0)
83.
A(0;–3;3)
B(0;–6;1)
С(1;–2;2)
D(1;–3;1)
84.
A(0;5;0)
B(2;–6;3)
С(1;1;–1)
D(–4;–4;1)
85.
A(–5;–5;1)
B(2;–1;–2)
С(–4;–4;0)
D(4;–3;–5)
86.
A(1;–2;2)
B(1;5;6)
С(1;–4;4)
D(2;–2;0)
87.
A(1;1;–1)
B(1;–5;2)
С(1;–1;1)
D(–3;–3;4)
88.
A(–4;–4;0)
B(3;0;–3)
С(–4;–6;2)
D(5;0;–6)
89.
A(0;–4;4)
B(1;–7;2)
С(0;–1;3)
D(2;–2;2)
90.
A(3;1;–3)
B(2;–3;–6)
С(–1;1;3)
D(7;1;2)
91.
А(2;–2;1)
В(2;–4;1)
С(1;–2;7)
D(1;0;0)
92.
А(–3;3;5)
В(–2;–1;7)
С(1;1;–5)
D(1;–5;3)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]