Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Рязанский государственный радиотехнический университет
им. В.Ф. Уткина
А.Н. Конюхов, С.Н. Машнина, К.А. Ципоркова
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебное пособие
Рязань 2023
УДК 514.12
Аналитическая геометрия: учебное пособие / А.Н. Конюхов, С.Н.
Машнина, К.А. Ципоркова; Рязан. гос. радиотехн. ун-т. – Рязань, 2023.
– 62 с.
Приведены основные теоретические сведения по теме
«Аналитическая геометрия». Содержит задачи для практических
занятий и самостоятельной работы по теме «Аналитическая
геометрия», изучаемой в дисциплине «Математика».
Предназначены для студентов всех форм, обучающихся по
направлениям подготовки бакалавров 38.03.01 «Экономика»,
38.03.02 «Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом»,
38.03.04 «Государственное и муниципальное управление»,
38.03.05 «Бизнес-информатика».
Табл. 5. Ил. 10. Библиогр.: 12 назв.
Плоскость, прямая, кривые второго порядка
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Рязанского государственного радиотехнического университета.
Рецензент: кафедра ЭМОП Рязанского государственного
радиотехнического университета им. В.Ф. Уткина (зав. кафедрой
д-р экон. наук, доцент Е.Н. Евдокимова)
ВВЕДЕНИЕ
В элементарной геометрии изучаются свойства прямолинейных
фигур и окружности. Основную роль играют построения; вычисления
же, хотя практическое значение их и велико, в теории играют
подчиненную роль.
Аналитическая геометрия возникла из потребности создать
единообразные средства для решения геометрических задач с тем,
чтобы применить их к изучению важных для практики кривых линий
различной формы. Эта цель была достигнута созданием
координатного метода. В нем ведущую роль играют вычисления,
построения же имеют вспомогательное значение. Вследствие этого
решение задач методом аналитической геометрии требует гораздо
меньшей изобретательности.
Создание координатного метода было подготовлено трудами
древнегреческих математиков, в особенности Аполлония (3 – 2 вв. до
н.э.). Систематическое развитие координатный метод получил в
первой половине 17 века в работах П. Ферма и Р. Декарта. Они
рассматривали только плоские линии. К систематическому изучению
пространственных линий и поверхностей координатный метод был
применен впервые Л. Эйлером.
§ 1. Уравнения прямой
Прямая на плоскости и в пространстве может быть задана поразному. Различные виды уравнения прямой отражены в табл.1
Рис. 1. Уравнения прямой на плоскости и в пространстве
2
Таблица 1. Виды уравнения прямой
Вид
уравнения
На плоскости
В пространстве
Общее
уравнение
прямой
1.
– вектор,
перпендикулярный к прямой
(вектор нормали).
2.
где
00
( , )xy
– точка, через
которую проходит прямая,
( , )n A B
-вектор нормали к
данной прямой
прямая задается как линия
пересечения двух
непараллельных
плоскостей (уравнение
плоскости
Уравнение
прямой с
угловым
коэффицие-
том
(угловой
коэффициент k равен
тангенсу угла ,
образованного прямой и осью
OX, 0
, отсчет угла
производится против часовой
стрелки)
Уравнение
прямой с угло-
вым коэф-
фициентом k,
проходящей
через точку
1 1 1
( , )M x y
(уравнение пучка прямых с
центром в точке
1 1 1
( , )M x y
)
Уравнение
прямой в
отрезках
(прямая в отрезках
пересекает ось OX в точке
( ,0)Aa
и ось OY – в точке
(0, )Bb
)
Уравнение
прямой,
проходящей
через две
заданные
точки
1 1 1
( , )M x y
,
2 2 2
( , )M x y
1 1 1 1
( , , )M x y z
,
2 2 2 2
( , , )M x y z
Канонические
( )
BAn ,
3
Вид
уравнения
На плоскости
В пространстве
уравнения
прямой
Прямая проходит через точку
0 0 0
( , )M x y
параллельно
заданному вектору
( , )s l m
–
направляющий вектор
прямой
Прямая проходит через
точку
0 0 0 0
( , , )M x y z
параллельно заданному
вектору
( , , )s l m n
–
направляющий вектор
прямой
Параметри-
ческие
уравнения
прямой
A(x - x0)+B(y - y0)+C(z – z0)= 0
,
Векторное
уравнение
прямой
00
( , )
M M M M o
r r t s r OM r OM= + = =
Нормальное
уравнение
прямой
где и –
координаты нормального (⊥)
вектора прямой,
направленного из начала
координат в сторону прямой;
p – расстояние от начала
координат до прямой.
Это уравнение можно
получить из общего
Ax+By+C=0
домножив его на
нормирующий множитель .
Знак противоположен знаку
числа С
s
M
0
M
4
Пример. Известно общее уравнение прямой
Найти её канонические уравнения.
◄ Для определения координат опорной точки
полагаем
и, подставляя в общие уравнения прямой , получаем систему для
определения , :
Таким образом, M
0
(5,1,0).
Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую как
линию пересечения, имеют координаты:
,
Находим направляющий вектор прямой
как векторное
произведение векторов
и
:
Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид:
►
§ 2. Взаимное расположение прямых.
Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой
Пусть заданы на плоскости две прямые:
1)
координаты векторов
и
пропорциональны) или
а)
, или
б) k1= k2,
2)
(скалярное произведение
векторов и должно быть равно нулю), или
а)
0x0
y
1
n
2
n
5
Координаты точки пересечения прямых
и
находятся по
формулам:
(вспомните формулы Крамера для
решения СЛАУ).
Замечание 1. Аналогичные условия можно записать, если заданы
направляющие векторы и
2 2 2
( , )s l m=
прямых
и
.
Замечание 2. В пространстве условия || или ⊥ прямых M1 и M2
следуют из условий || или ⊥ векторов
и
или
и
:
Угол между прямыми
и
определяется как угол между
направляющими векторами (или векторами нормали) этих прямых или
дополняющий его до
:
или
.
Расстояние от точки
0 0 0
( , )M x y
до прямой :
0Ax By C+ + =
находится по формуле:
(
– это длина перпендикуляра, опущенного из точки M0 на
прямую
).
§ 3. Уравнения плоскости
Рис. 2
Плоскость в пространстве может быть задана по-разному.
Различные виды уравнения плоскости отражены в табл.2
6
Таблица 2. Уравнения плоскости
Вид уравнения
Уравнение
Общее уравнение
плоскости
– нормальный вектор плоскости
Уравнение пло-
скости, проходя-
щей через точку
0 0 0 0
( , , )M x y z
перпендикулярно к
вектору
A(x - x0)+B(y - y0)+C(z – z0)= 0
Уравнение
плоскости в
отрезках
, где числа a, b, c – абсцисса,
ордината, аппликата точек пересечения плоскости с
координатными осями
Нормальное
уравнение
плоскости
, где –
расстояние от начала координат до плоскости;
направляющие косинусы –
координаты единичного нормального вектора
, направленного
из начала координат к плоскости.
.
Умножением на нормирующий множитель (знак
противоположен знаку свободного слагаемого D в
общем уравнении плоскости) общее уравнение
плоскости приводится к нормальному виду
Уравнение плос-
кости, проходящей
через три точки:
,
, не
лежащие на одной
прямой
(записано условие компланарности векторов
:
, где –
произвольная точка плоскости)
Плоскость, задан-
ная точкой
и
двумя неколлине-
арными векторами
и
,
коллинеарными
плоскости
A (x - x0)+B(y - y0)+C(z – z0)= 0
где нормальный вектор равен
7
§ 4. Взаимное расположение плоскостей, прямой и
плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Пусть даны две плоскости:
.
Угол между плоскостями и
определяется как угол между
их нормальными векторами
и
или дополняющий его до
.
.
Пусть даны канонические уравнения прямой L:
(
( , , )s l m n
– направляющий вектор прямой L ,
и общее уравнение плоскости :
Координаты точки пересечения прямой L
и плоскости
должны
одновременно удовлетворять этим двум уравнениям. Перейдём к
параметрическим уравнениям прямой L :
Подставляя их в уравнение плоскости , получаем значение
параметра t, равное
, подстановка которого в
параметрические уравнения прямой L даёт координаты точки
пересечения прямой L с плоскостью .
Угол между прямой L и плоскостью – это угол между
прямой L и её проекцией на плоскость
.
8
Рис. 3
Расстояние от точки
до плоскости
находится по
формуле:
Пример. Найти точку, симметричную точке
относительно прямой, заданной каноническими уравнениями
.
Рис. 4
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]