Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Учебное пособие
.pdf
49
Варианты ответов: 1)
11
arcsin
130
; 2)
3
arcsin
130
; 3)
11
arc3tg
;
4)
3
arc
311
tg
; 5)
7
arccos
11
.
5. Если уравнение окружности имеет вид
22
2 4 1 0x y x y+ − − + =
, то произведение координат ее центра
равно…
Варианты ответов: 1) 2; 2) -2; 3) -8; 4) 8; 5) 2,25.
6. Если уравнение эллипса имеет вид
22
4 16xy + =
, то его
эксцентриситет равен…
Варианты ответов: 1)
3
5
; 2)
3
2
; 3)
33
2
; 4)
2
33
;
5)
23
3
.
7. Если уравнение гиперболы имеет вид
22
4 16yx= −
, то ее
эксцентриситет равен …
Варианты ответов: 1)
3
5
; 2)
3
2
; 3)
5
2
; 4)
8
3
; 5)
9
4
.
Ответы
Номер задания
1 2 3 4 5 6 7
Вариант правильного
ответа
4 3 2 5 1 2 3
§ 9. Задания для самостоятельной работы
Задание 1.
1.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало
координат, точку
( )
1; 2;3A −
и перпендикулярной к плоскости
2 4 0x y z− − − =
.
1.2. Найти уравнение плоскости, проходящей через ось OY
перпендикулярно к плоскости
3 4 5 12 0x y z− + − =
.
50
1.3. Через точку
( )
5;16;12M −
проведены две плоскости: одна из них
содержит ось OX, другая – ось OY. Найти уравнения этих
плоскостей и вычислить угол между этими плоскостями.
1.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через две данные
точки
( )
1
2;3; 1M −
и
( )
2
1;5;3M
перпендикулярно к плоскости
3 2 15 0x y z− + + =
.
1.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
( )
3;4; 2B −
и отсекающей на оси OX и OZ отрезки, соответственно
равные
2a =
,
5c =
.
1.6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
( )
1;2; 4A −
,
( )
1;3; 2B −−
, отсекающей на осях OX и OY равные
отрезки.
1.7. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости
10x y z+ + − =
и отстоящей от нее на расстояние 3.
1.8. Найти уравнение плоскости, проходящей через ось OZ и
составляющей с плоскостью
2 5 0x y z+ − =
угол
3
.
1.9. Найти уравнение плоскости, проходящей через ось OX и
составляющей с плоскостью
yx=
угол
3
=
.
1.10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
( )
1
2; 3;5M −
и перпендикулярной к двум плоскостям
2 2 1 0x y z+ − + =
,
50x y z+ + − =
.
1.11. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку
( )
0
2; 3;1M −
параллельно векторам
( )
3;2; 1a −−
и
( )
1;2;3b
.
1.12. Найти расстояние от точки
( )
3;2;5M
до плоскости, проходящей
через три точки
( )
1
0;1; 1M −
,
( )
2
1;1;3M −
,
( )
3
2;3;7M
.
1.13. Найти уравнение плоскости, зная, что точка
( )
1;1;1P
служит
основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на
эту плоскость.
1.14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
( )
1
1;1;1M
,
( )
2
3;2;1M
параллельно вектору
( )
3;2;1a
.
51
1.15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
( )
1
2;0;3M
перпендикулярно к двум плоскостям
7 1 0xz+ − =
,
0x =
.
1.16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
( )
1;1;1M
перпендикулярно к двум плоскостям
3 5 0x y z+ − + =
и
0z =
.
1.17. Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось OZ
и точку
( )
1
1;2;1M
.
1.18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
( )
1;2;3N
параллельно плоскости XOY.
1.19. При каком значении параметра плоскости
3 8 0x y z
+ + − =
и
2 2 5 0x y z− + + =
перпендикулярны?
1.20. При каких значениях и плоскости
2 5 0x y z
+ − + =
и
6 4 8 0xyz
− + + =
параллельны?
1.21. Найти расстояние между параллельными плоскостями
4 3 5 8 0x y z+ − − =
и
4 3 5 12 0x y z+ − + =
.
1.22. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось OX и
составляющей угол
60
с плоскостью
yx=
.
1.23. Найти расстояние точки
( )
1;2;3A
от плоскости, отсекающей на
осях координат отрезки
1a =
,
2b =
,
3c =
.
1.24. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало
координат и перпендикулярной к двум плоскостям
2 5 3 0x y z− + − =
,
3 7 0x y z+ − − =
.
1.25. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
( )
1
1;1;1M
и
( )
2
0;2;1M
параллельно вектору
( )
2;0;1a
.
1.26. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
( )
1
1;2;0M
,
( )
2
2;1;1M
и перпендикулярной к плоскости
10xy− + − =
.
1.27. Проверить, можно ли провести плоскость через следующие
четыре точки
( )
3;1;0A
,
( )
0;7;2B
,
( )
1;0; 5C −−
,
( )
4;1;5D
. В
случае утвердительного ответа найти уравнение данной
плоскости.
1.28. Найти угол между плоскостью
2 5 0x y z− + − =
и плоскостью
YOZ.
52
1.29. Проверить, можно ли провести плоскость через следующие
четыре точки
( )
1; 1;1A −
,
( )
0;2;4B
,
( )
1;3;3C
и
( )
4;0; 3D −
. В
случае утвердительного ответа найти уравнение данной
плоскости.
1.30. Составить уравнение плоскости, проходящей от начала
координат на расстоянии 6 единиц и отсекающей на осях
координат отрезки, связанные соотношением
: : 1: 3 : 2abc=
.
Задание 2.
2.1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
( )
4;3;0A −
и
параллельной прямой
2 4,
2 0.
x y z
x y z
− + =
+ − =
2.2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
( )
1;3;2A −
и
перпендикулярной к оси OX.
2.3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
( )
3;0;2B
и
перпендикулярной к оси OZ.
2.4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
( )
1;2;4C
и
перпендикулярной к оси OY.
2.5. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку
( )
3; 2;1B −
и образует с осями координат углы, соответственно
равные
45, 120, 60
.
2.6. Установить, лежат ли три данные точки
( )
1;2;3A
,
( )
10;8;4B
,
( )
3;0;2C
на одной прямой.
2.7. Найти угол между прямыми
2 2 8 0,
2 2 1 0
x y z
x y z
− − + =
+ − + =
и
3 1,
6 2,
2 4.
xt
yt
zt
= − +
=−
=+
2.8. Общие уравнения прямой
2 3 13 0,
3 4 14 0
x y z
x y z
+ + − =
+ + − =
привести к
каноническому виду.
2.9. Найти косинус угла между прямыми
3 0,
20
xy
x y z
− + =
+ + =
и
22
2 3 4
x y z++
==
.
2.10. Доказать перпендикулярность прямых
53
23
1 1 1
x y z−−
==
−
и
0,
1 0.
xy
x y z
+=
− + + =
2.11. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через
точку
( )
1;3;2M
параллельно прямой
1,
2 2.
x y z
x y z
− − =
+ + =
2.12. Доказать параллельность прямых
12
5 1 3
x y z−−
==
−−
,
2 0,
2 3 0.
x y z
x y z
− + =
+ + + =
2.13. Доказать перпендикулярность прямых
1
1 3 3
x y z −
==
и
3 3 1 0,
2 0.
x y z
x y z
+ + + =
− − =
2.14. Составить канонические уравнения прямой, лежащей в
плоскости XOZ, проходящей через начало координат и
перпендикулярной к прямой
2 1 5
3 2 1
x y z− + −
==
−
.
2.15. Общие уравнения прямой
3 2 0,
2 1 0
xy
yz
− + =
− + =
привести к
каноническому виду.
2.16. Доказать, что прямые
12
2 1 2
x y z−+
==
−−
и
1 11 6
1 2 1
x y z+ + +
==
пересекаются. Найти точку пересечения.
2.17. Доказать, что прямые
21
3 2 1
x y z+−
==
−
и
0,
5 8 0
x y z
x y z
+ − =
− − − =
параллельны.
2.18. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
( )
1;2; 3A −−
и перпендикулярной к прямой
2,
1.
x
yz
=
−=
2.19. Найти уравнения прямой, проходящей через точку
( )
2;7; 1A −
и
образующей с осями OY и OZ углы
120
и
45
.
2.20. Найти уравнения прямой, проходящей через точку
( )
1;3;4A −
и
образующей с осями OX и OZ углы
120
и
60
.
54
2.21. Даны три последовательные вершины параллелограмма
( )
3;0; 2A −
,
( )
1;2; 4B −
и
( )
0;7; 2C −
. Найти уравнения сторон AD
и CD.
2.22. В плоскости YOZ найти прямую, проходящую через начало
координат и перпендикулярную к прямой
2 2,
2 2.
xy
xz
−=
+ = −
2.23. При каких значениях коэффициентов A и B плоскость
6 7 0Ax By z+ + − =
перпендикулярна к прямой
25
2 4 3
x y z−+
==
−
?
Найти орт вектора нормали плоскости.
2.24. При каком значении коэффициента A плоскость
3 5 1 0Ax y z+ + + =
будет параллельна прямой
12
4 3 1
x y z−+
==
?
Найти орт вектора нормали плоскости.
2.25. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
( )
2;3;0A −
и через прямую
1,
2,
2.
x
yt
zt
=
=+
=−
2.26. Доказать, что прямые
2 3,
3 2,
46
xt
yt
zt
=−
=−
= − +
и
5,
4 1,
4
xt
yt
zt
=+
= − −
=−
пересекаются.
Найти точку их пересечения.
2.27. Составить уравнение плоскости, проходящей через две
параллельные прямые
11
3 3 2
x y z−−
==
и
21
5 3 2
x y z−+
==
.
2.28. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
5,
1,
2
xt
yt
zt
=+
= − +
=
и точку
( )
1;3;2M
.
2.29. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
( )
1
1;1;0M
,
( )
2
3;0; 1M −
параллельно прямой
1
5 5 3
x y z −
==
−
.
2.30. Даны точки
( )
1;1;1A
,
( )
2;3;3B
и
( )
3;3;2C
. Составить уравнение
прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной к
векторам AB и AC.
55
Задание 3.
3.1. Через линию пересечения плоскостей
4 3 1 0x y z− + − =
и
5 2 0x y z− − + =
провести плоскость, проходящую через точку
( )
1;1;1A
.
3.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
( )
2;3;0A −
и через прямую
1,
2,
2.
x
yt
zt
=
=+
=−
3.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало
координат и перпендикулярной к прямой пересечения
плоскости
2 4 3 0x y z− + − =
с плоскостью OXZ.
3.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
0,
20
xy
x y z
+=
− − − =
параллельно прямой
x y z==
.
3.5. Найти координаты точки пересечения прямой
2 9,
9 43
yx
zx
= − +
=−
и
плоскости
3 4 7 33 0x y z− + − =
.
3.6. Проверить, что прямые
3 1 2
5 2 4
x y z− + −
==
,
8 1 6
3 1 2
x y z− − −
==
−
пересекаются, и написать уравнение плоскости, проходящей
через них.
3.7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки
пересечения плоскости
2 3 1 0x y z+ − + =
с прямыми
3 5 1
1 5 2
x y z− − +
==
−
,
5 3 4
2 4 6
x y z− − +
==
.
3.8. Через прямую
2 3 1
5 1 2
x y z− − +
==
провести плоскость,
перпендикулярную плоскости
4 3 7 0x y z+ − + =
.
3.9. Написать уравнение к плоскости, проходящей через прямую
3 4 2
2 1 3
x y z− + −
==
−
и параллельной прямой
5
4 3 1
x y z+
==
−
.
3.10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
( )
1;1;1M
параллельно плоскости
2 1 0x y z− + − + =
и найти
расстояние между этими плоскостями.
56
3.11. Написать уравнение проекции прямой
0,
2 2 0
x y z
xy
+ − =
− + =
на
координатную плоскость OXZ.
3.12. Убедиться, что прямые
1 2 5
2 3 4
x y z− + −
==
−
,
7 2 1
3 2 2
x y z− − −
==
−
принадлежат одной плоскости, и написать уравнение этой
плоскости.
3.13. Доказать, что прямые
2 2 1 0,
22 0
x y z
x y z
+ + − =
− − − =
и
7 5 9
1 3 4
x y z+ − −
==
−
параллельны и найти расстояние между ними.
3.14. Написать уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные
углы, образованные плоскостями
2 5 3 0x y z− + − =
,
2 10 4 2 0x y z− + − =
.
3.15. Найти расстояние между прямыми
3 2,
4,
21
xt
yt
zt
=+
= − +
=+
и
183
3 1 2
x y z+ − +
==
−
.
3.16. Найти проекцию точки
( )
2;1;0A
на плоскость
20yz+ + =
.
3.17. Показать, что прямые
3 1 1
1 2 1
x y z+ + +
==
и
42
3 1 1
x y z+−
==
пересекаются и найти точку их пересечения.
3.18. Найти уравнение плоскости, проходящей через параллельные
прямые
112
1 2 3
x y z− + −
==
−
и
11
1 2 3
x y z+−
==
−
.
3.19. Составить уравнение проекции прямой
3 5 ,
1,
4
xt
yt
zt
=+
= − +
=+
на плоскость
2 2 3 5 0x y z− + − =
.
3.20. Через точку
( )
1;2;3A
провести плоскость, перпендикулярную к
плоскости
5 2 5 10 0x y z− + − =
и образующую с плоскостью
4 8 12 0x y z− − + =
угол
4
.
57
3.21. Найти расстояние от точки
( )
2; 1;3P −
до прямой
1 2 1
3 4 5
x y z+ + −
==
.
3.22. Показать, что прямая
1 1 3
2 1 3
x y z+ + +
==
−
лежит в плоскости
20x y z+ − =
.
3.23. Найти угол между прямой
3 1,
5,
2
xt
yt
zt
=+
= − +
=
и плоскостью
50x y z+ + + =
.
3.24. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через
точку
( )
1;0;2M
перпендикулярно к плоскости
4 7 3 0x y z+ + =
,
найти точку их пересечения.
3.25. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
33
1 1 1
x y z−−
==
−
и точку
( )
1;7;3M
.
3.26. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
( )
1
2;3;3M
,
( )
2
1;1;1M
параллельно прямой
3,
2 4,
1.
xt
yt
zt
=+
= − +
=−
3.27. Найти точку пересечения прямой
12
3 7 1
x y z−−
==
−
и плоскости
30xy− + =
и угол между ними.
3.28. Доказать перпендикулярность прямых
11
5 3 3
x y z−−
==
,
0,
2 5 0.
x y z
x y z
+ + =
− − + =
3.29. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые
3,
2 1,
33
xt
yt
zt
=+
=+
=−
и
11
2 5 1
x y z−+
==
−
.
58
3.30. Через прямую
52
3 1 4
x y z+−
==
провести плоскость,
параллельную плоскости
15 0x y z+ − + =
.
Задание 4.
Заданы координаты вершин некоторого треугольника
ABC
. Найти:
а) уравнение стороны BC;
б) уравнение высоты, проведенной из точки A;
в) уравнение медианы, проведенной из точки C;
г) уравнение биссектрисы внутреннего угла B.
4.1.
( )
1;4A
,
( )
7; 4B −
,
( )
3; 7C −
.
4.2.
( )
2;1A
,
( )
7;13B −
,
( )
1;21C −
.
4.3.
( )
3;3A
,
( )
10; 21B −
,
( )
2; 5C −−
.
4.4.
( )
4;1A
,
( )
4; 5B −−
,
( )
20; 7C −−
.
4.5.
( )
5;0A
,
( )
1; 3B −
,
( )
6;21C −
.
4.6.
( )
3;1A
,
( )
15;17B
,
( )
6;29C
.
4.7.
( )
4;2A
,
( )
12;4B
,
( )
8;1C
.
4.8.
( )
2;5A
,
( )
9; 19B −
,
( )
21; 3C −
.
4.9.
( )
0;3A
,
( )
4;6B
,
( )
8;22C −
.
4.10.
( )
1;2A
,
( )
7;10B
,
( )
31;17C
.
4.11.
( )
1;4A
,
( )
17;16B
,
( )
5;32C
.
4.12.
( )
2;1A
,
( )
14; 8B −
,
( )
22; 2C −
.
4.13.
( )
3;3A
,
( )
9;11B
,
( )
5;14C
.
4.14.
( )
4; 1A −
,
( )
12;11B −
,
( )
12;18C
.
4.15.
( )
5;0A
,
( )
8;4B
,
( )
16; 2C −
.
4.16.
( )
3;1A
,
( )
15;17B
,
( )
6;29C
.
4.17.
( )
4;2A
,
( )
13; 10B −
,
( )
19; 2C −
.
4.18.
( )
2;1A
,
( )
9; 23B −
,
( )
13; 20C −
.
4.19.
( )
0;2A
,
( )
16; 10B −−
,
( )
24; 4C −−
.
4.20.
( )
1;3A
,
( )
3;0B −
,
( )
5; 6C −
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]