Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Учебное пособие
.pdf
19
Для второго варианта известно, что
105500y =
(рублей) при
460x =
(деталей).
Провести оценку двух вариантов технологического процесса и
найти себестоимость продукции для обоих вариантов при
225x =
деталей.
I способ.
◄ Сначала найдём уравнение, описывающее зависимость
издержек от количества деталей для второго технологического
процесса. Так как по условию задачи дано, что эта зависимость
линейная, то уравнение имеет вид
y a x b= +
. Найдём параметры a и
b
из системы уравнений:
29000 120
105500 460
ab
ab
= +
= +
Решая данную систему, находим, что
240a =
и
2000b =
.
Получили зависимость:
225 2000yx= +
.
II способ.
Применим уравнение прямой, проходящей через две точки:
11
2 1 2 1
x x y y
x x x x
−−
=
−−
.
Составим уравнение прямой, проходящей через точки:
( )
120;29000
и
( )
460;105500
:
120 29000
460 120 105500 29000
xy−−
=
−−
120 29000
340 76500
xy−−
=
.
Из последнего равенства получаем:
225 2000yx= +
.
Найдём точку пересечения двух прямых, описывающих
зависимость издержек от количества деталей:
210 5600
225 2000
yx
yx
= +
= +
.
Откуда находим:
0
240x =
,
0
56000y =
.
Получаем, что при объёме партии
240x
выгоднее второй
вариант технологического процесса, при
240x
- первый вариант.
20
Находим себестоимость выпуска
225
деталей первым
технологическим способом:
( )
225 210 225 5600 52850y = + =
условных денежных единиц.
Для второго технологического способа себестоимость составит:
( )
225 220 225 2000 51500y = + =
условных денежных единиц. ►
Пример 6. Фиксированные издержки производства составляют
10 тыс. руб. в месяц, переменные издержки – 30 руб. за единицу
продукции, выручка – 50 руб. за единицу продукции. Составить
функцию прибыли.
◄ Так как фиксированные или постоянные издержки равны
10000 руб., переменные издержки по производству одной единицы
продукции по условию задачи равны 30 руб., то переменные
издержки, зависящие от количества произведённой продукции,
30vx=
, где x - количество произведённой продукции. Тогда
совокупные издержки составляют
( )
10000 30C x x= +
.
Найдём
x
из условия
( ) ( )
C x R x=
. Получим:
10000 30 50xx+ =
. Откуда
500x =
. Тогда
( ) ( )
25000C x R x==
.
Совокупный доход, получаемый от продажи xединиц
продукции, определяется как
( )
50R x x=
.
Прибыль, получаемую предприятием, находим по формуле:
( ) ( ) ( ) ( )
50 10000 30 20 10000P x R x C x x x x= − = − + = −
.►
Пример 7. Фабрика продаёт бумагу по цене 350 руб. за пачку.
Издержки составляют 63 тыс. руб. за 100 пачек и 60,75 тыс. руб. за 85
пачек.
а) Найти точку безубыточности.
б) Сколько пачек бумаги должна произвести и продать фабрика,
чтобы получить 10% дохода на деньги, вложенные в фиксированные
затраты?
◄ а) Пусть x- количество произведённой продукции, C-
совокупные издержки (затраты). Зависимость между издержками
производства и количеством произведённой продукции линейная.
Найдём зависимость вида:
( )
C x b a x= +
.
21
Это уравнение задаёт на плоскости прямую. Из условия задачи
известны две её точки:
( )
100;63000
и
( )
85;70650
. Применим
уравнение прямой, проходящей через две точки:
11
2 1 2 1
x x y y
x x x x
−−
=
−−
.
Подставляя исходные данные, получим:
85 60750
100 85 63000 60750
xC−−
=
−−
,
60750 85
2250 15
Cx−−
=
,
( ) ( )
15 60750 2250 85Cx − = −
,
( ) ( ) ( )
350 150 48000P x R x C x x x= − = − −
.
Получим
( )
48000 150C x x= +
- линейная модель издержек.
Найдём функцию прибыли:
( )
200 48000P x x= −
.
Найдём точку безубыточности, в которой прибыль обращается в
нуль:
( )
0Px=
,
200 48000 0x − =
,
240x =
.
б) Из выражения
( )
48000 150C x x= +
следует, что
фиксированные затраты составляют 48000 рублей. Десять процентов
от этой суммы составляют 4800 руб. Тогда:
200 48000 4800x − =
,
264x =
.
Ответ: а) 240; б) 264. ►
Пример 8. Законы спроса и предложения на некоторый товар
определяется уравнениями:
2 12px= − +и 3px=+
.
а) Найти точку рыночного равновесия.
б) Найти точку равновесия после введения налога, равного 3 на
единицу продукции. Найти увеличение цены и уменьшение
равновесного объёма продаж. Найти доход государства после
введения этого налога.
в) какая субсидия приведёт к увеличению объёма продаж на 2
единицы?
г) Вводится пропорциональный налог, равный 20%. Найти новую
точку равновесия и доход государства.
22
◄ а) В точке рыночного равновесия спрос равен предложению.
Найдём её из равенства:
2 12 3xx− + = +
,
3x =
. Тогда
6p =
. Значит,
точка
( )
3,6
- точка рыночного равновесия.
б) По условию введённый налог
3t =
. Найдём новую точку
рыночного равновесия. После введения налога уравнение спроса не
изменяется:
2 12
c
px= − +
. Составим систему для определения точки
равновесия. Применим связь между ценой на рынке
c
p
и ценой,
получаемой поставщиками,
s
p
:
cs
p p t=+
, следовательно,
6
c
px=+
,
так как
3
s
px=+
. Система будет иметь вид:
2 12
6
c
c
px
px
= − +
=+
Решая эту систему, получим новую точку равновесия
( )
2;8
.
Значит, после введения налога равновесный объём уменьшился на
одну единицу, а равновесная цена увеличилась на две единицы. Доход
государства после введения налога будет равен
2 3 6=
.
в) Введём субсидию. Тогда уравнение спроса Dне изменяется.
2 12
c
px= − +
. Применяя соотношение между ценой на рынке
c
p
и
ценой
s
p
, получаемой поставщиками:
cs
p p s=−
, где
3
s
px=+
Система для определения точки рыночного равновесия:
2 12
3
c
c
px
p x s
= − +
= + −
.
Если объём продаж увеличится на 2 единицы, то он составит:
3 2 5x = + =
.
Подставляя
5x =
в систему уравнений, получим
2 12 3x x s− + = + −
,
2 5 12 5 3 s− + = + −
,
6s =
- величина субсидии,
приводит к увеличению объёма продаж на 2 единицы.
г) Введён пропорциональный налог 20%. Тогда вся рыночная
цена 120%. 100% из них получают поставщики, 20% - государство.
Поставщики в итоге получают
100
120
sc
pp=
,
5
6
sc
pp=
. Уравнение
спроса остаётся неизменным. В уравнение предложения подставим
5
6
sc
pp=
. Получим:
23
2 12
3
c
s
px
px
= − +
=+
,
2 12
5
3
6
c
c
px
px
= − +
= +
,
2 12
6 18
55
c
c
px
px
= − +
= +
.
Решая последнюю систему, получим:
5
2
8
x =
,
3
6
4
p =
. Получим
новую точку рыночного равновесия
53
2 ,6
84
. Найдём доход
государства. Совокупный доход выражается:
R x p=
. Это есть
площадь прямоугольника с основанием xи высотой p. В нашем
случае:
5 3 567
26
8 4 32
сов
R = =
. Доход государства равен
1 61
2
6 64
гос сов
RR= =
. ►
Пример 9. Через пункты
( )
11
,A x y
и
( )
22
,B x y
проходит
прямолинейный участок шоссе. Размеры участков в десятках
километров. В пункте Cпостроили новый новое промышленное
предприятие, от которого нужно провести кратчайшую дорогу к
шоссе. Вычислить координаты точки D, в которой дорога должна
соединяться шоссе. Какова длина этой дороги? Решить задачу, если
( )
3,2A
,
( )
11,6B
,
( )
7,9C
.
◄ Вектор
( ) ( )
11 3,6 2 8,4AB = − − =
является направляющим
прямой AB(шоссе) и нормалью для прямой
CD
(дорога). Составим
уравнение прямой
AB
(шоссе), применяя каноническое уравнение
прямой:
00
x x y y
mp
−−
=
, гдеmиp- координаты направляющего вектора
AB
,
0
x
и
0
y
- координаты точки A. Подставив их в каноническое
уравнение прямой, получим:
32
84
xy−−
=
или
3
2
2
xy−
=−
.
Напишем уравнение прямой
CD
, проходящей через точку
( )
00
,C x y
и нормальный вектор этой прямой
( )
,AB A B=
:
( ) ( )
00
0A x x B y y − + − =
.
24
Применяя данные задачи, получаем:
( ) ( )
8 7 4 9 0xy − + − =
или
2 23xy + =
.
Найдём координаты точки D, в которой шоссе соединится с
дорогой, ведущей к новому промышленному предприятию. Для этого
решим систему уравнений:
3
2
2
2 23
x
y
xy
−
=−
+ =
21
4 2 46
xy
xy
− = −
+ =
9x =
,
5y =
,
( )
9,5D
- пункт, в котором шоссе соединится с дорогой.
Вектор
( )
2, 4CD =−
. Длина
( )
2
2
2 4 20 4,5CD = + − =
.
По условию задачи расстояния измеряются в десятках
километров. Значит, длина дороги от поворота до предприятия
приблизительно равна 45 км.
На рисунке изображены шоссе ABи дорогаCD.►
Рис. 9
Пример 10. Производство продукцийAиB взаимосвязано. Завод
производит оба вида продукции. Издержки на производствоxединиц
продукции
A
и
y
единиц продукцииBзадаются функцией
25
( )
,R x y x y
= + +
. Имеющиеся ресурсы позволяют выпускать
либо
1
x
единиц продукции Aи
1
y
единиц продукции B, либо
2
x
единиц продукцииAи
2
y
единиц продукцииB, либо
3
x
единиц
продукцииAи
3
y
единиц продукцииB. Вычислить
( )
1 1 1
,C R x y=
,
( )
2 2 2
,C R x y=
и
( )
3 3 3
,C R x y=
. Построить графики прямых
( )
11
,R x y c=
,
( )
2 2 2
,R x y c=
и
( )
3 3 3
,R x y c=
. Указать, при каком плане
( )
, , 1,2,3
ii
x y i =
, выпуска продукции расходы будут наименьшими и
при каком наибольшими, если
( )
, 20 30 60R x y x y= + +
,
1
15x =
,
1
15y =
,
2
24x =
,
2
6y =
,
3
6x =
,
3
24y =
.
◄ Вычислим
1
c
,
2
c
,
3
c
и составим уравнения линий
1
L
,
2
L
,
3
L
с
уравнениями:
( )
11
:,L R x y c=
,
( )
22
:,L R x y c=
,
( )
33
:,L R x y c=
.
( )
1
15,15 20 15 30 15 60 810cR= = + + =
.
Прямая
1
L
имеет уравнение:
20 30 60 810xy + + =
2 3 75xy + =
.
( )
2
24,6 20 24 30 6 60 720cR= = + + =
.
Прямая
2
L
имеет уравнение:
20 30 60 720xy + + =
2 3 66xy + =
.
( )
3
6,24 20 6 30 24 60 900cR= = + + =
.
Прямая
3
L
имеет уравнение:
20 30 60 900xy + + =
2 3 84xy + =
.
Вектор
( )
20,30n =
и любой вектор ему коллинеарный, будет
нормалью для
1
L
,
2
L
,
3
L
.
( ) ( )
3 3 3
max , , 900R x y R x y c= = =
.
( )
max ,R x y
принадлежит точкам
3
L
.
( ) ( )
2 2 2
min , , 720R x y R x y c= = =
26
( )
min ,R x y
принадлежит точкам
2
L
.
Рис. 10
На рисунке построены графики прямых
1
L
,
2
L
и
3
L
.
Чем дальше в направлении вектора нормали передвигать линии
уровня, тем больше уровень c
( )
20;30n =
- нормаль прямых
1
L
,
2
L
,
3
L
;
( )
1
5;7,5
4
nn= =
- тоже
нормаль прямых
1
L
,
2
L
,
3
L
.►
§ 7. Примеры для практических занятий.
Задание 1.
Вариант 1. Постоянные издержки при производстве шин
составляют 2,1 тыс. руб. в месяц, а переменные 70 руб. за одну шину.
Цена одной шины 140 руб.
а) Найти точку безубыточности. Построить графики
( )
Cx
,
( )
Px
,
( )
Rx
.
27
б) Сколько шин надо изготовить и продать, чтобы получить 20%
дохода на деньги, вложенные в фиксированные затраты?
Вариант 2. Настольные лампы продаются по цене 1200 руб.
Постоянные издержки составляют 24 тыс. руб. в месяц, а переменные
800 руб. за лампу.
а) Найти точку безубыточности.
б) Сколько ламп надо произвести и продать, чтобы получить 15%
дохода на деньги, вложенные в фиксированные затраты?
Вариант 3. Издержки производства xединиц продукции
определяются функцией
( )
2
0,2 14 300C x x x= + +
. Цена одной
единицы равна 30. Составить функцию прибыли. Найти точку
безубыточности.
Вариант 4. Предприятие продаёт одно изделие по цене 980 руб.
Постоянные издержки составляют 45,6 тыс. руб. в месяц, а
переменные - 240 руб. за штуку.
а) Найти точку безубыточности.
б) Предприятие может купить новое оборудование. При этом
постоянные издержки возрастут до 40,5 тыс. руб. в месяц, а а
переменные снизятся до 230 руб. за штуку.
Вариант 5. Постоянные издержки при производстве ручных
часов составляют 12 тыс. руб. в месяц, а переменные 400 руб. за одни
часы. Цена часов 1400 руб. Написать функции дохода и издержек,
построить их графики.
а) Найти точку безубыточности.
б) Сколько часов, чтобы прибыль составила 97,6 тыс. руб.?
Вариант 6. Мебельная фабрика продаёт каждый изготовленный
стул по 53 тыс. руб. При этом издержки составляют 435 тыс. руб. за 10
стульев и 530 тыс. руб. за 12 стульев. Составить функцию дохода и
функцию издержек.
а) Найти точку безубыточности.
б) Сколько стульев фабрика должна произвести и продать, чтобы
получить 25% дохода на деньги, вложенные в фиксированные
затраты?
Вариант 7. Постоянные издержки производства некоторой
продукции составляют 125 тыс. руб. в месяц, а переменные - 700 руб.
за единицу продукции. Продукция продается по цене 1200 руб.
Составить функцию прибыли, построить график.
а) Найти точку безубыточности.
б) Сколько единиц продукции нужно произвести, чтобы прибыль
составила 105 тыс. руб. в месяц?
28
Вариант 8. Издержки производства x единиц продукции
определяются функцией
( )
2
0,1 4 90C x x x= + +
. Цена одной
единицы равна 10. Составить функцию прибыли. Найти точку
безубыточности.
Вариант 9. Постоянные издержки производства некоторой
продукции составляют 31,15 тыс. руб. в месяц, а переменные - 155
руб. за единицу продукции. Продукция продается по цене 300 руб.
Составить функцию прибыли, построить график.
а) Найти точку безубыточности.
б) Выгодно ли расширить производство, если при этом
постоянные издержки возрастут до 40,95 тыс. руб. в месяц, а
переменные снизятся до 145 руб. за единицу продукции?
Вариант 10. Фабрика продаёт одну единицу продукции по цене
90,2 руб. Постоянные издержки составляют 270,2 руб. в месяц, а
переменные 400,5 руб. за штуку. Выгодно ли это?
а) Найти точку безубыточности.
б) Фабрика может купить новый станок. При этом постоянные
издержки возрастут до 350 руб. в день, а переменные снизятся до 80,5
руб. за штуку. Выгодно ли это?
Вариант 11. Издержкиy(в рублях) на изготовление партии
деталей находятся в линейной зависимости от объёма партии x. Для
первого варианта технологического процесса издержки выражаются
линейной зависимостью от объёма партии:
220 5300yx= +
,
30000y =
(рублей) при
120x =
(деталей).
Для второго варианта известно, что
105500y =
(рублей) при
460x =
(деталей).
Провести оценку двух вариантов технологического процесса и
найти себестоимость продукции для обоих вариантов при
220x =
деталей.
Вариант 12. Издержки перевозки двумя транспортными
средствами выражаются функциями
10 90yx= +
и
20 70yx= +
,
x
- это дальность перевозки в сотнях километров.
y
- это транспортные расходы в денежных единицах.
Определить, начиная с какого расстояния более экономичным
становится первое транспортное средство.
Вариант 13. Известно, что издержки на производство 100 единиц
некоторой продукции составляют 250 денежных единиц, издержки на
производство 80 единиц этой же продукции составляют 100 денежных
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]