Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Учебное пособие
.pdf
9
◄ Точка симметричная точке
относительно заданной
прямой L, лежит на прямой M0M перпендикулярной к прямой L . При
этом точка пересечения прямых O делит отрезок M0M пополам.
Если провести через точку M
0
плоскость , перпендикулярную к
прямой L , то прямая M0M будет лежать в этой плоскости. Для
плоскости
нормальным вектором является направляющий вектор
прямой L : .
Уравнение плоскости :
, или .
Запишем уравнения прямой L в параметрическом виде:
Точка O – точка пересечения прямой L и плоскости . Её
координаты найдём из системы
Подставляя и из первых трёх уравнений в четвёртое,
получаем , или , откуда
Теперь можно определить координаты точки O :O (2;-4;2). Точка
O – середина отрезка M0M . Подставляя координаты точек O и M0 в
формулы деления отрезка пополам, определяем координаты точки
:
Следовательно, M (5;-6;1.5).►
yx,
z
2−=t
10
§ 5. Кривые второго порядка на плоскости
Кривые 2-го порядка на плоскости описываются алгебраическим
уравнением 2-го порядка:
5.1. Эллипс
Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место всех
точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух
заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (её
обозначают 2a ), причем эта постоянная больше расстояния между
фокусами.
Рис. 5
a - большая полуось a – малая полуось
b – малая полуось b – большая полуось
с – полуфокальное расстояние
F1, F2 – фокусы
Таблица 3.
Параметр
Характеристика
Каноническое
уравнение
11
Параметр
Характеристика
Связь между
параметрами
Эксцентриситет
Площадь
эллипса
Директрисы
Прямые, параллельные оси OY и отстоящие от
неё на расстояние
, называются директрисами
d1 и d2 эллипса
Фокальный
параметр
– это половина хорды, проведённой
через фокус параллельно оси OY
Замечание. Если в уравнении эллипса
, то получаем
уравнение окружности
с центром в точке O(0,0)
радиусом, равным a
.
5.2. Гипербола
Определение 2. Гиперболой называется геометрическое место
всех точек плоскости, абсолютная величина (модуль) разности
расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами,
есть величина постоянная (её обозначают 2a), причем эта постоянная
меньше расстояния между фокусами.
12
Таблица 4.
Параметр
Характеристика
Чертёж
2a – действительная ось
2b – мнимая ось
,
– вершины
,
– фокусы
Каноническое
уравнение
Связь между
параметрами
a2 + b2 = c
2
Эксцентриситет
Уравнения
асимптот
y = ±
Уравнения
директрис
x =
Фокальный
параметр
p =
13
Пример 1. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в
фокусах, а фокусы в вершинах эллипса
◄Найдем основные параметры эллипса. Сравнивая данное
уравнение
с каноническим
получаем
5, 3ab==
. Для нахождения полуфокального расстояния
воспользуемся соотношением между параметрами эллипса
( )
ab
:
2 2 2 2 2 2
25 9 16 4a b c c a b c= + = − = − = =
.
Выполним вспомогательный чертеж по условию задачи:
Рис. 6
Из чертежа видно, что для гиперболы:
5, 4
гг
ca==
.
Воспользуемся соотношением между параметрами гиперболы:
2 2 2 2 2 2
25 16 9 3c b a b c a b= + = − = − = =
.c
Каноническое уравнение гиперболы:
►
5.3. Парабола
Определение 3. Параболой называется геометрическое место
всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки,
называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
14
Таблица 5.
Параметр
Характеристика
Чертёж
Каноническое
уравнение
y2= 2 px
x2= 2 py
Уравнение
директрисы
x =
y =
Методы аналитической геометрии широко используются в
современном естествознании и прикладных дисциплинах при
построении математических моделей объектов и процессов. В
частности, аналитическая геометрия и распространена при решении и
визуализации экономических задач на производстве.
Математическое моделирование – это система математических
выражений, включающая переменные величины и параметры.
Параметры – это количественные связи между экономическими
величинами, а переменные – это значения, которые должны быть
найдены в результате анализа данной системы уравнений. Система
уравнений образует математическую модель экономического
процесса. Такие модели делятся на статические и динамические. В
статистических моделях все экономические показатели привязаны к
определённому моменту времени. Связь между показателями разных
периодов развития экономического объекта не рассматривается. В
динамических моделях развитие экономического процесса во времени
рассматривается. Определяется временная взаимосвязь экономических
показателей. Математическое решение задачи оптимального
функционирования экономического объекта означает нахождение
критерия оптимальности деятельности экономического объекта.
15
§ 6. Примеры решения задач с экономическим
содержанием
Постоянные издержки
F
- это издержки, не зависящие от
числа единиц произведённой продукции. Они включают в себя
амортизацию, аренду помещения, проценты по займам и т. п.
Переменные издержки
V
- это издержки, напрямую зависящие от
количества произведённой продукции. Они включают в себя
стоимость сырья, рабочей силы и т. п. Переменные издержки прямо
пропорциональны x- количеству произведённой продукции.
Коэффициент пропорциональности – это прямые затраты по
производству одной единицы продукции.
Линейная модель издержек:
( )
C x b a x= +
, где
b
-
фиксированные затраты, a- коэффициент пропорциональности.
Совокупный доход, или выручка,
( )
R x p x=
, где p- цена
единицы товара.
Прибыль
( ) ( ) ( )
P x R x C x=−
.
Точка безубыточности – это такой объём производства, начиная
с которого выручка покрывает издержки.
Пример 1. Издержки перевозки двумя транспортными
средствами выражаются функциями
20 100yx= +
и
25 70yx= +
x
- это дальность перевозки в сотнях километров.
y
- это транспортные расходы в денежных единицах.
Определить, начиная с какого расстояния более экономичным
становится первое транспортное средство.
◄Чтобы найти искомое расстояние, приравняем транспортные
расходы двух транспортных средств:
20 100 25 70xx + = +
5 30x=
6x =
.
Получили, что при перевозке на
6x =
сотен километров
транспортные расходы совпадают и равны
20 6 100 220y = + =
денежных единиц.
Получили, что, начиная с 600 км, первый вид транспорта
становится более экономичным. ►
16
Пример 2. В период 1920-1935 г. г. предложение Sи спрос Dна
муку были выражены функциями:
0,8 0,5Sp= +
0,4 1,5Dp= − +
,
где p- цена муки - измеряется в долларах, Sи D- в центнерах. Найти
рыночную цену муки. (Рыночная цена товара – это цена, при которой
его предложение на рынке и спрос совпадают). Изобразить рисунок.
◄Рыночная цена определяется условием:
SD=
, т. е. является
решением уравнения:
0,8 0,5 0,4 1,5pp + = − +
1,2 1p=
0
0,83p =
доллара.
На рисунке изображены графики функций Sи D. По оси абсцисс
откладывается цена товара p, по оси ординат – количество товара Q.
Абсцисса точек пересечения этих графиков и является рыночной
ценой муки
( )
( )
( )
( )
( )
1
0
2
1
2
100 100 1500
80 80 1280
11 400
100 100 1500
80 80 1280
11 400 110
R
p
R
R
R
R x x p
= + =
= + =
==
= + =
= + =
= + =
.►
Рис. 7
17
Пример 3. Известно, что издержки на производство 100 единиц
некоторой продукции составляют 150 денежных единиц, издержки на
производство 80 единиц этой же продукции составляют 1280
денежных единиц. Вычислить издержки на производство 110 единиц
этой же продукции, при условии, что функция издержки имеет вид
( )
R x x
= +
.Проиллюстрировать на графике.
◄ По условию известно, что
( )
100 100 1500R
= + =
,
( )
80 80 1280R
= + =
.
Решим систему уравнений:
( )
( )
100 100 1500
80 80 1280
R
R
= + =
= + =
.
11=
,
400
=
,
( )
11 400R x x= +
.
Так как
110p =
, то
( )
110 11 110 400 1610R = + =
- денежных
единиц – издержки на производство 110 единиц продукции.
Рис. 8
На рисунке изображена зависимость
( )
11 400R x x= +
.►
18
Пример 4. Мебельная фабрика продаёт каждый изготовленный
стул по 64 тыс. руб. При этом издержки составляют 635 тыс. руб. за 8
стульев и 750 тыс. руб. за 13 стульев. Найти точку безубыточности,
если функция издержек линейная.
◄ Пусть
( )
Cx
- функция издержек,
( )
Rx
- функция выручки. По
условию она имеет вид:
( )
64R x x=
. Так как функция издержек
линейная, найдём её, применяя уравнение прямой, проходящей через
две точки:
11
2 1 2 1
x x y y
x x x x
−−
=
−−
.
Прямая издержек проходит через точки
( )
8,635
и
( )
13,750
.
Подставив в уравнение прямой координаты точек, получим:
( )
635
8
750 635 13 8
Cxx−
−
=
−−
( )
635
8
115 5
Cxx−
−
=
( )
635
8
23 1
Cxx−
−
=
.
Из последнего равенства получаем:
( ) ( )
635 23 8C x x− = −
( )
23 451C x x= +
.
Так как функция выручки имеет вид
( )
64R x x=
. Найдём точку
безубыточности как абсциссу точки пересечения линий издержек и
выручки:
23 451 64xx + =
,
11x =
.
11x =
- точка безубыточности. ►
Широко применяется в экономических задачах и уравнение
прямой с угловым коэффициентом:
y a x b= +
.
Пример 5. Издержкиy(в рублях) на изготовление партии
деталей находятся в линейной зависимости от объёма партии x. Для
первого варианта технологического процесса издержки выражаются
линейной зависимостью от объёма партии:
210 5600yx= +
,
29000y =
(рублей) при
120x =
(деталей)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]