Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Практикум. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ПРАКТИКУМ
Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов РФ
по образованию в области строительства
в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по программе бакалавриата
по направлению 270800 «Строительство»
(18.11.2013 №102-15/786)
Москва 2014
УДК 512.91 (07)
ББК 22.143я73
А 64
доктор физико-математических наук, профессор И. М. Петрушко,
Национальный исследовательский университет МЭИ;
доктор технических наук, профессор С. А. Редкозубов,
Московский государственный горный университет;
кандидат технических наук, профессор А. А. Медведев,
Российский государственный геологоразведочный университет
Рецен з е нты:
А 64 Аналитическая геометрия : практикум : учебное пособие /
Е. Б. Малышева, А. Ю. Лемин, Л. Ю. Фриштер, Р. З. Хайруллин ; М-во образования и науки Росс. Федерации,
Моск. гос. строит. ун-т. Москва : МГСУ, 2014. 96 с.
ISBN 978-5-7264-0826-2
Приведены определения, теоремы и формулы аналитической
геометрии на плоскости и в пространстве, входящие в учебную программу курса «Математика». Теоретический материал сопровождается разбором задач по аналитической геометрии с подробными решениями, содержится более 100 задач для самостоятельной работы
студентов.
Для студентов 1-го курса очного отделения, обучающихся по
программе бакалавриата по направлению 270800 «Строительство».
УДК 512.91 (07)
ББК 22.143я73
ISBN 978-5-7264-0826-2 © ФГБОУ ВПО «МГСУ», 2014
рис. 1
рис. 2
Глава 1. Аналитическая геометрия на плоскости
1.1. Основные понятия.
Аналитическая геометрия –это та часть математики, в которой ге-
ометрические задачи решаются аналитическими (алгебраическими)
методами. И в этом ей помогает метод координат. Основателем
метода координат является французский математик и философ Рене
Декарт (1596–1650 гг.). Публикация его «Геометрии» (приложение к
философскому трактату «Рассуждение о методе») в 1637 году считается историками науки датой рождения аналитической геометрии.
Под системой координат на плоскости или в пространстве пони-
мают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости или пространства. Одной из таких систем является прямо-
угольная (декартова) система координат. Прямоугольная система
координат задается взаимно перпендикулярными прямыми (рис. 1,
2), на каждой из которых выбрано положительное направление, и
задан единичный отрезок. Эти прямые называются осями координат,
точка их пересечения (точка O) – начало координат, Ox – ось
абсцисс, Oy – ось ординат.
На рисунке 1 изображена система координат на плоскости, ее
обозначение: Oxy; на рисунке 2 – в пространстве, обозначается Oxyz.
Числа x и y полностью определяют положение точки M(x, y) на плоскости; числа x, y, z полностью определяют положение точки N(x, y, z)
в пространстве. Эти числа называются координатами точки.
4
Другой важной системой координат на плоскости является
рис. 3
полярная система координат. Полярная система координат
задается точкой O (называемой полюсом), лучом ОР (называемым
полярной осью), на котором задан единичный отрезок, и углом
(называемым полярным углом), образованным полярной осью ОР и
отрезком ОM. Положение произвольной точки M определяется
двумя числами: ее расстоянием r от полюса и углом (рис. 3).
Полярная система координат будет подробно рассмотрена ниже в
пункте 1.6, а сейчас вернемся к декартовой системе координат Oxy.
Важнейшим понятием аналитической геометрии на плоскости
является понятие уравнения линии.
Линией l, определяемой уравнением F(x, y) = 0, называется гео-
метрическое место точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Это означает, что координаты любой
точки линии l удовлетворяют уравнению F(x, y) = 0, а координаты
любой точки, не принадлежащей линии l, этому уравнению не удовлетворяют.
Уравнение линии дает возможность заменить изучение
геометрических свойств линии исследованием ее уравнения.
Чтобы ответить на вопрос, лежит ли точка на линии l, достаточно
знать координаты точки M и уравнение линии l.
Пример 1. Лежит ли точка M(5, 3) на окружности: x2 + y2 = 16?
Решение. Подставим значения x = 5, y = 3 в уравнение окружно-
сти x2 + y2 = 16, получим 52 + 32 = 34 ≠ 16. Следовательно, точка
M(5, 3) не лежит на данной окружности.
Пример 2. Лежит ли точка K(–2, 1) на линии 2x + y + 3 = 0?
Решение. Подставив x = –2, y = 1 в уравнение линии, получим:
2(–2 ) + 1 + 3 = 0. Точка K(–2, 1) лежит на данной линии.
5
1.2. Деление отрезка в данном отношении
MK
KN
MK
KN
MK
yy
yy
xx
xx
2
1
2
1
1
;
1
2121
yy
y
xx
x
2
;
2
2121
yy
y
xx
x
рис. 5
рис. 4
Даны точки M(x1, y1) и N(x2, y2). Требуется найти координаты точ-
ки K(x, y), делящей отрезок MN в отношении MK:KN = λ (см. рис. 4).
Рассмотрим векторы
= λ
. Из векторной алгебры известно, что если векторы
и
. Эти векторы коллинеарны, т.е.
коллинеарны, то соответствующие координаты пропорциональны.
Имеем:
= {x – x1, y – y1}, KN = {x2 – x, y2 – y}.
Следовательно,
. Из этих уравнений легко найти
x и y:
(1.2.1)
Если λ = 1, то точка K является серединой отрезка MN.
Формулы (1.2.1) примут вид:
(1.2.2)
Это формулы координат середины отрезка.
Пример 1. Найти координаты точки K, делящей отрезок MN в
отношении 2:1, где M(–1, 4) и N(2, 1).
Решение. По условию λ = 2:1 = 2. Подставим координаты точек M
и N в формулы (1.2.1). Получим:
6
.2
3
6
21
124
;1
3
3
21
221
yx
1
;
1
BA
D
BA
D
yy
y
xx
x
2
3
6
21
422
;5
3
15
21
623
DD
yx
.0
2
1
1
4
2
1
2
;4
2
1
1
6
2
1
3
,
2
1
CC
yx
CB
AC
2
;
2
DA
C
DA
C
yy
y
xx
x
2
22
;4
2
53
CC
yx
рис. 6
Точка K имеет координаты: x = 1, y = 2.
Ответ: K(1, 2).
Пример 2. Отрезок АВ разделен на три равные части. Определить
координаты точек деления, если А(3, –2), В(6, 4).
Решение. Обозначим точки деления С и D. Точка D делит отрезок
АВ в отношении АD:DB = 2. Координаты точки D найдем по
формулам (1.2.1):
Итак, D(5, 2).
Координаты точки С можно найти аналогично, взяв
Значит, C(4, 0).
Существует другой способ нахождения координат точки С. Точка
С является серединой отрезка АD. По формулам (1.2.2) имеем
, то есть,
= 0.
Ответ: D(5, 2); C(4, 0).
7
Пример 3. Найти точку пересечения медиан треугольника АВС,
2
1
2
32
;4
2
53
MM
yx
;
1
;
1
00
MAMA
yy
y
xx
x
3
4
21
2
1
23
;
3
7
21
421
00
yx
рис. 7
где А(–1, 3); B(3, –2); C(5, 3).
Решение: Пусть точка О – точка пересечения медиан AM и BN
треугольника ABC. Точка М является серединой отрезка ВС. По
формулам (1.2.2) получим координаты точки М:
1
; M(4;
/
).
2
Из школьного курса планиметрии известно, что точка О делит
медиану АМ в отношении АО:ОМ = 2:1. λ = 2:1 = 2. По формулам
(1.2.1) получим
7
4
/
;
/
) .
3
3
Ответ: Точка пересечения медиан O(
, O(
7
4
/
;
/
) .
3
3
Замечание: Точка пересечения медиан треугольника является его
центром тяжести.
1.3. Прямая на плоскости
1.3.1. Прямая y = kx + b
Простейшей из линий, изучаемых в геометрии, является прямая.
Всякую прямую, не параллельную оси ординат, можно представить
уравнением вида:
y = kx + b, (1.3.1)
где k есть тангенс угла α, образованного прямой с положительным
направлением оси абсцисс Ox; k = tg α, M(0, b).
8
Величину k называют угловым коэффициентом, Величину b –
рис. 8
рис. 9
рис. 10
рис. 11
рис. 12
рис. 13
рис. 14
начальной ординатой.
Если прямая параллельна оси Ox, то α = 0, k = tgα = 0. (см. рис. 11,
12). Уравнение такой прямой примет вид:
y = b
Если прямая параллельна оси Oy, то α = /2, а угловой коэффициент k = tg /2 не существует (см. рис. 13 и 14). В этом случае
уравнение прямой будет иметь вид:
x = a,
где a – абсцисса точки, через которую проходит данная прямая
(точки пересечения прямой с осью Ox).
9
Пример 1. Какую прямую представляет уравнение y = 3x?
3
рис. 15
рис. 17
рис. 16
рис. 18
Решение. Данное уравнение задает
прямую, у которой k =
; b = 0.
Так как k = tg α = 3, то α = 60º.
Поэтому данное уравнение
преставляет прямую, проходящую
через начало координат (b = 0) и
обрзующую с осью Ox угол 60º.
Пример 2. Написать уравнение прямой, параллельной оси Ox и
имеющей начальную ординату b = –2.
Решение: По формуле y = b при b = –2
имеем y = –2. Итак, искомая прямая
задается уравнением y = –2.
Ответ: y = –2.
Пример 3. Написать уравнение прямой, паралельной оси Oy и
проходящей через точку M(3, 1).
Решение: По формуле x = a при а = 3
имеем x = 3. Следовательно, искомая
прямая задается уравнением x = 3.
Ответ: x = 3.
1.3.2. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
Пусть прямая проходит через точку
M0(x0, y0) и имеет угловой коэффициент k.
Уравнение такой прямой можно запи-
сать в виде (1.3.1): y = kx + b, где b – неизвестная величина. Так как прямая проходит
через точку M0(x0, y0), то координаты точки
удовлетворяют уравнению (1.3.1), то есть
10
y0 = kx0 + b. Отсюда b = y0 – kx0. Подставим значение b в уравнение
MM
0
MM
0
MM
0
рис. 19
(1.3.1), получим y = kx + y0 – kx0 или
y – y0 = k(x – x0) (1.3.2)
Полученное уравнение называется уравнением прямой по точке
и угловому коэффициенту.
Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
M0(1, –2) и образующей с положительным направлением оси Ox
угол α = 135º.
Решение: Так как k = tg α, то k = tg135º = –1. Применив формулу
(1.3.2), получим y – (–2) = –1(x – 1) y + 2 = –x + 1 y = –x – 1.
Ответ: y = –x – 1.
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
А(–3, 4) и имеющей угловой коэффициент k = 2.
Решение: Применяем формулу (1.3.2): y – 4 = 2(x + 3)
y – 4 = 2x + 6, y = 2x + 10.
Ответ: y = 2x + 10.
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
М(–1, 2) параллельно оси Ox.
Решение: Если прямая параллельна оси Ox, то угол между прямой
и положительным направлением оси Ox равен нулю. Следовательно,
k = tg0 = 0. По формуле (1.3.2) получим y – 2 = 0(x + 1) y – 2 = 0
y = 2.
Ответ: y = 2.
1.3.3. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору
Пусть прямая проходит через точку
M0(x0, y0). Под нормальным вектором
понимают ненулевой вектор, который
перпендикулярен данной прямой. Обозначим его n = {A, B}. Возьмем на прямой произвольную точку M(x, y) и рас-
смотрим вектор
равны
n перпендикулярен вектору
= {x – x
. Из векторной алгебры
. Его координаты
y – y
0,
Вектор
0}.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]