Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Практикум. Учебное пособие
.pdf
11
известно, что скалярное произведение этих векторов равно нулю.
.
B
C
.
A
C
.x
B
A
.
B
A
x
B
A
.
B
C
B
A
Следовательно,
A(x – x0) + B(y – y0) = 0 (1.3.3)
Полученное уравнение называется уравнением прямой по точке
и нормальному вектору. Преобразуем его: Ax + By – Ax0 – By0 = 0.
Пусть C = – Ax0 – By0, тогда получим:
Ax + By + C = 0 (1.3.4)
Уравнение (1.3.4) называется общим уравнением прямой.
Напомним, что коэффициенты А и В в уравнении определяют
координаты нормального вектора n = {A, B}.
Рассмотрим общее уравнение прямой подробнее.
1) Если А = 0, то n = {0, B}, уравнение примет вид By + C = 0;
y = –
Прямая параллельна оси Ox.
2) Если В = 0, то n = {A, 0}, уравнение примет вид: Ax + C = 0,
x = –
Прямая параллельна оси Oy.
3) Если С = 0, то уравнение примет вид: Ax + By = 0, y = –
Прямая проходит через начало координат и имеет угловой коэффициент k = –
См. пример 1, пункт 1.3.1.
Из общего уравнения прямой, если В ≠ 0, можно найти угловой
коэффициент k. Для этого выразим y из уравнения: Ax + By + C = 0:
By = – Ax – C или y = –
k = –
–
Отсюда,
(1.3.5)
Пример 1. Прямая задана уравнением 3x – 4y +5 = 0. Найти
координаты нормального вектора.
Решение: Координатами нормального вектора n являются
коэффициенты при x и y данного уравнения прямой. Имеем А = 3;
В = –4.
Ответ: n = {3, –4}.
12
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
AB
AB
MM
0
MM
0
n
yy
m
xx
00
.
2
3
1
2 yx
рис. 20
М(2, –1) и имеющей нормальный вектор n = {0; 2}.
Решение: Применяем формулу (1.3.3). Имеем 0(x – 2) + 2(y + 1) = 0
2y + 2 = 0 y + 1 = 0.
Ответ: y + 1 = 0.
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
М(0; 1) перпендикулярно вектору AB, где А(–1; 2), В(1; –1).
Решение: Найдем координаты вектора
= {1 –(–1), –1 – 2} =
= {2, –3}.
Вектор
является нормальным вектором искомой прямой. По
формуле (1.3.3) имеем 2(x – 0) –3(y –1) = 0 2x – 3y + 3 = 0.
Ответ: 2x – 3y + 3 = 0.
1.3.4. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
Пусть прямая проходит через точку M0(x0, y0). Направляющим
вектором s данной прямой называется ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Пусть дан вектор s = {m, n} ≠ 0. Возьмем на
прямой произвольную точку M(x, y) и рассмотрим вектор
Векторы s и
= {x – x
y – y
0,
0
коллинеарны, следова-
}.
тельно, их соответствующие координаты
пропорциональны.
(1.3.6)
Полученное уравнение называется уравнением прямой по точке
и направляющему вектору.
Пример 1. Прямая задана уравнением
Написать
координаты направляющего вектора; найти координаты точки,
лежащей на прямой; составить общее уравнение прямой.
Решение: Направляющий вектор s = {−1; 2}. Точку M0 мы
получим, приравняв нулю числители данного уравнения: x + 2 = 0
x = − 2; y – 3 = 0 y = 3. Итак, M0(−2; 3).
13
Общее уравнение прямой получим по свойству пропорций:
4
)5(
2
2yx
AB
AB
5
1
1
2 yx
2
1
MM
).,(
1212
2
1
yyxxMMs
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
рис. 21
(x + 2)∙2 = (y − 3)∙(− 1) 2x + 4 = −y + 3 2x + y + 1 = 0.
Ответ: s = {−1; 2}, M0 (−2; 3), 2x + y + 1 = 0.
Пример 2. Составить уравнение прямой по точке М(2, −5) и
направляющему вектору s = {−2; 4}.
Решение: Применяем формулу (1.3.6). Имеем:
4(x − 2) = −2(y + 5) 4x − 8 = −2y – 10
4x + 2y + 2 = 0 2x + y + 1 = 0.
Ответ: 2x + y + 1 = 0.
Пример 3. Через точку С(−2, 1) провести прямую, параллельную
вектору AB, где А(2, −1), В(3, 4).
Решение: Вектор
данной прямой.
= s = {3 − 2; 4 − (−1)}, s = {1; 5}.
Применяем формулу (1.3.6). Имеем:
можно взять за направляющий вектор
5(x + 2) = y – 1 5x + 10 = y – 1 5x – y + 11 = 0.
Ответ: 5x – y + 11 = 0.
1.3.5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Известно, что через две данные точки можно провести единственную прямую.
Пусть прямая проходит через точки
M1(x1, y1) и M2(x2, y2). За направляющий
вектор s данной прямой можно взять
вектор
.
Составим уравнение прямой по точке
M1(x1, y1) и направляющему вектору s. По формуле (1.3.6) имеем:
(1.3.7)
Получили уравнение прямой по двум точкам.
14
Если x1 = x2, то прямая параллельна оси Oy. Ее уравнение имеет
4
1
1
2
)1(3
)1(
21
2 yxyx
1
2
3
1
23
2
14
1 yxyx
рис. 22
вид: x = x1 .
Если y1 = y2, то прямая параллельна оси Ox. Ее уравнение: y = y1 .
Пример 1. Составить уравнение прямой АВ, если А(2, −1), В(1, 3).
Решение: Применяем формулу (1.3.7):
4(x – 2) = –(y + 1)
4x + y – 7 = 0
Ответ: 4x + y – 7 = 0.
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки
М(4, – 2) и N(4, 5).
Решение: Так как x1 = x2, то по формуле x = x1 (см. выше) уравне-
ние прямой имеет вид: x = 4. Прямая параллельна оси Oy.
Пример 3. Дан треугольник АВС, у которого А(1, 2), В(4, 3),
С(1, 3). Составить уравнения его сторон.
Решение: 1) Найдем уравнение стороны АВ. По формуле (1.3.7)
имеем:
x – 1 = 3(y – 2)
x – 3y + 5 = 0.
2) Сторона ВС находится по формуле y = y1, так как yB =yC, то y=3.
3) Запишем уравнение стороны АС, пользуясь формулой x = x1;
так как xA = xC, то x = 1.
Ответ: AB: x – 3y + 5 = 0, BC: y = 3; AC: x = 1.
Пример 4. Даны вершины треугольника АВС А(–1, 3), В(3, –2), С(5, 3).
Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В.
Решение: Пусть ВМ – медиана,
тогда точка М является серединой
отрезка АС. По формулам (1.2.2)
имеем:
15
2
;
2
CA
M
CA
M
yy
y
xx
x
;
;3
2
33
;2
2
51
MM
yx
)2(3
)2(
32
3 yx
5
2
1
3 yx
1
b
y
a
x
.,1 by
b
y
.,1 ax
a
x
1
12
2
12
3 yx
1
64
yx
рис. 23
рис. 24
рис. 25
M(2, 3).
Уравнение медианы ВМ получим по формуле (1.3.7):
5(x – 3) = –(y +2)
5x + y – 13 = 0.
Ответ: BM: 5x + y – 13 = 0.
1.3.6. Уравнение прямой в отрезках
Если прямая отсекает на осях отрезки а и b, не равные нулю, то ее
уравнение можно записать в виде:
(1.3.8)
Такое уравнение называется уравнением прямой в отрезках.
Рассмотрим это уравнение. Пусть x = 0, тогда
y = 0, тогда
Прямая проходит через точки А(а, 0) и B(0, b).
Пусть
Пример. Записать уравнение прямой 3x – 2y + 12 = 0 в отрезках и
построить эту прямую.
Решение: 3x – 2y = –12. Разделим обе части этого уравнения
на –12. Получим:
.
16
Следовательно, a = –4, b = 6.
22
00
BA
CByAx
d
||
.4
5
20
5
|2246|
169
|22)1(423|
d
рис. 26
рис. 27
рис. 28
Построим эту прямую. Для этого отложим на оси Ox a = –4, на оси Oy b = 6 и
соединим полученные точки.
1.3.7. Расстояние от точки до прямой
Пусть прямая задана уравнением Ax + By + C = 0. Найдем рассто-
яние от точки M0(x0, y0) до этой прямой.
Под расстоянием от точки до прямой понимают длину отрезка
M0M, где М – основание перпендикуляра, опущенного из точки M0
на данную прямую. Расстояние d = |M0M| находим по формуле:
(1.3.9)
Пример. Найти расстояние от точки M0(2,–1) до прямой, заданной
уравнением 3x + 4y –22 = 0.
Решение: По формуле (1.3.9) получим:
Ответ: d = 4.
1.4. Взаимное расположение прямых на плоскости.
17
1.4.1. Точка пересечения двух прямых
0
0
:
222
111
CyBxA
CyBxA
M
4
0105
4
023)4(2
4
0232
04
0232
yx
y
yx
yy
yx
yx
yx
yx
2
2
x
y
21
12
1
tg
kk
kk
рис. 29
Пусть прямые l1: A1x + B1y + C1 = 0 и l2: A2x + B2y + C2 = 0. пересе-
каются. Требуется найти точку точку пересечения этих прямых.
Для этого достаточно решить систему двух уравнений с двумя
неизвестными x и y:
(1.4.1)
Пример. Найти точку пересечения прямых l1: 2x + 3y – 2 = 0 и
l2: x – y + 4 = 0.
Решение: Запишем систему (1.4.1) и решим ее
; M(–2, 2).
Ответ: M(–2, 2).
1.4.2. Угол между двумя пересекающимися прямыми
Пусть прямые l1: y = k1x + b1 и l2: y = k2x + b2 пересекаются.
Углом между двумя пересекающимися прямыми называется
наименьший из углов
и 2.
1
Формула для нахождения угла между прямыми имеет вид:
(1.4.2)
Пример 1. Найти угол между прямыми y = 2x – 4 и y = –3x + 1.
18
Решение: Найдем угловые коэффициенты этих прямых: k1 = 2,
.1
5
5
)3(21
23
tg
0
4
5
0
2
1
2
1
1
2
1
2
1
tg
5
3
1
3
5
)
3
2
(11
)
3
2
(1
tg
.
0
15
34
3
5
)
5
3
(1
)
5
3
(
3
5
tg
k2 = –3. (см. 1.3.1). По формуле (1.4.2) получим
Отсюда = 45º.
Ответ: = 45º.
Пример 2. Найти угол между прямыми 2x + 4y + 5 = 0 и
x + 2y – 3 = 0.
Решение: По формуле (1.3.5) найдем угловые коэффициенты
прямых: k1 = –
/
= –
4
1
/
; k2 = –
2
1
/
. Применяем формулу (1.4.2):
2
2
. Отсюда = 0º. Прямые парал-
лельны.
Ответ: = 0º.
Пример 3. Найти угол между прямыми 2x + 3y – 2 = 0 и
x – y + 4 = 0.
Решение: По формуле (1.3.5) найдем угловые коэффициенты:
k1 = –
2
/
, k2 = –
3
1
/
= 1.
(–1)
Применим формулу (1.4.2)
= arctg 5.
Ответ: = arctg 5.
Пример 4. Найти угол между прямыми 3x + 5y + 1 = 0 и
5x – 3y – 2 = 0.
Решение: Находим угловые коэффициенты прямых: k1 = –
k2 = –
5
/
(–3)
5
=
/
. По формуле (1.4.2) имеем
3
Тангенс угла не существует, следо-
вательно, угол = 90º. Прямые взаимно перпендикулярны.
Ответ: = 90º.
, отсюда
3
/
,
5
19
1.4.3. Условие параллельности двух прямых
.0
1
tg
21
12
kk
kk
1
2
1
k
.2
2
4
;2
2
4
3
k
рис. 30
Пусть даны две прямые l1: y = k1x + b1 и l2: y = k2x + b2. Так как
прямые параллельны, то они имеют одинаковый угол наклона α с
осью Ox и, следовательно, одинаковые угловые коэффициенты: k1 =
= k2. Эту же формулу можно получить и другим способом. Угол
между параллельными прямыми равен 0º, т.е. = 0º, tg = tg0º = 0.
Из формулы (1.4.2) получим
Отсюда k1 – k2 = 0,
k1 = k2 (1.4.3)
Таким образом, условием параллельности прямых является
равенство их угловых коэффициентов.
Пример. Определить, какая из двух прямых l1: 2x + y – 7 = 0 или
l2: 4x – 2y + 1 = 0 параллельна третьей прямой l3: 4x + 2y + 3 = 0.
Решение: По формуле (1.3.5) находим угловые коэффициенты
каждой прямой.
– 2; k2 =
Имеем: k1 = k3 , следовательно, l1 || l3 (по 1.4.3).
Ответ: l1 || l3.
В том случае, когда параллельные прямые заданы общими уравнениями, можно использовать геометрический смысл коэффициентов А и В. Напомним, что в уравнении Ax + By + C = 0 числа А и В
определяют координаты нормального вектора n = {A, B}. Поэтому
рассмотрим другое решение приведенного выше примера.
Решение: Две прямые будут параллельны, если их нормальные
векторы будут коллинеарны. Выпишем нормальные векторы данных
20
прямых: n1 = {2, 1}, n2 = {4, –2}. n3 = {4, 2}. Проверим пропор-
2
1
4
2
;
2
2
4
4
;
2
1
4
2
21
12
1tgkk
kk
1
2
1
k
k
;2
1
2
)
2
1
(2
1
1
1
k
.
3
2
2
k
.1
3
2
)
3
2
)(1(
21
kk
рис. 31
циональность координат:
. Координаты векторов n1 и n3 про-
порциональны, то есть n1 || n3. Следовательно, прямые l1 || l3 .
Ответ: l1 || l3 .
1.4.4. Условие перпендикулярности двух прямых
Если две прямые l1: y = k1x + b1 и l2: y = k2x + b2. взаимно перпендикулярны, то угол между ними = 90º, Так как tg90º не существу-
ет, то это означает, что в формуле
знаменатель равен нулю,
то есть 1 + k1k2 = 0. Отсюда
k1k2 = –1 или
(1.4.4)
Это и есть условие перпендикулярности двух прямых.
Пример. Определить, какие из следующих пар прямых взаимно
перпендикулярны:
a) 2x – y + 7 = 0 и x + 2y – 5 = 0
б) x + y – 3 = 0 и 2x + 3y + 7 = 0 .
Решение: а) По формуле (1.3.5) найдем угловые коэффициенты
прямых:
k1 =
k2 = –
1
/
. Проверим условие (1.4.4) k1∙k2 =
2
= –1. Условие выполнено, следовательно, прямые перпендикулярны.
б) Аналогично,
–1;
Прямые не перпендикулярны.
Если перпендикулярные прямые заданы общими уравнениями,
задачу можно решить другим способом. Из того, что прямые
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]