Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Практикум. Учебное пособие
.pdf
61
Решение: Направляющий вектор первой прямой s1 ={3; 1; –1}.
kji
kji
NN 220
111
111
21
.:
000
p
zz
n
yy
m
xx
l
.
00
00
00
ptzz
ntyy
mtxx
.
00
00
00
ptzz
ntyy
mtxx
рис. 23
Найдем направляющий вектор s2 второй прямой. Для этого возьмем
нормальные векторы N1 и N2 плоскостей, входящих в систему:
N1 = {1; –1; 1} и N2 = {1; 1; –1}, и вычислим их векторное произведение:
s2 =
(см. пример 1 пункта
2.3.4). Зная s1 ={3; 1; –1} и s2 ={0; 2; 2}, проверим условие перпендикулярности прямых (2.3.6): 3∙0 + 1∙2 + (–1)∙2 = 0.
Условие выполнено, следовательно, прямые перпендикулярны.
2.4. Взаимное расположение прямой и плоскости
2.4.1. Пересечение прямой с плоскостью
Пусть дана плоскость α: Ax + By + Cz + D = 0 и прямая
Требуется
найти точку пересечения прямой с плоскостью (см. рис. 23).
Перепишем уравнения прямой в пара-
метрическом виде:
.
Подставим полученные выражения в уравнение плоскости:
мая пересекает плоскость в точке M с координатами:
плоскости.
A(x0 + mt) + B(y0 + nt) + C(z0 + pt) + D = 0.
Возможны три случая:
а) Если это уравнение имеет единственное решение t = t0, то пря-
б) Если это уравнение не имеет решений, то прямая параллельна
62
в) Если уравнение имеет бесчисленное множество решений, т.е.
3
1
41
2
:
1
zyx
l
3
1
41
2
:
2
zyx
l
02
02
:
3
yx
zyx
l
tz
ty
tx
31
4
2
tz
ty
tx
l
31
4
2
:
2
.
02
02
:
3
yx
zyx
l
.0;2
02
02
:
3
yx
yx
yx
l
имеет вид 0∙t = 0, то прямая лежит в плоскости.
Пример. Найти точку пересечения прямой с плоскостью, если:
а)
б)
в)
, α
, α
, α
: 2x – y – 2z – 8 = 0;
1
: x + y + z – 1 = 0;
2
: x + 2y + z – 3 = 0.
3
Решение: а) Запишем уравнения прямой l1 в параметрическом
виде:
.
Подставим эти уравнения в уравнение плоскости:
2(2 – t) – 4t – 2(–1 –3t) – 8 = 0
4 – 2t – 4t +2 + 6t – 8 = 0 0∙t = 2.
Полученное уравнение не имеет решений. Следовательно, прямая
l1 параллельна плоскости α1.
б) Рассуждая аналогично, получим:
; (2 + t) + (–4t) + (–1 + 3t) – 1 = 0 0∙t = 0
t – любое. Уравнение имеет бесчисленное множество решений.
Следовательно, прямая l2 лежит в плоскости α2.
в)
Запишем уравнение l3 в параметрическом
виде. Для этого найдем точку, лежащую на прямой. Положим z = 0.
Тогда
Итак, M0(–2; 0; 0).
63
Найдем направляющий вектор s. Для этого выпишем нормальные
tz
ty
tx
l
2
2
:
3
2)1(2
1)1(
1)1(2
z
y
x
12
1
1
2 zyx
рис. 24
векторы плоскостей: N1 = {1; 1; –1} и N2 = {1; –1; 0}, и вычислим
их векторное произведене: s = N1 N2 = {–1; –1; –2}. Воспользуемся формулами (2.3.2):
Подставим l3 в уравнение плоскости α3: x + 2y + z – 3 = 0. Получим
(–2 – t) + 2∙(–t) + (–2t) – 3 = 0 –2 – t – 2t + –2t – 3 = 0
–5t = 5 t = –1.
Подставив найденное значение t = –1 в параметрические уравне-
ния прямой l3, получим точку пересечения прямой l3 с плоскостью α3.
M(–1; 1; 2).
Ответ: а) l1 || α1; б) Прямая l2 лежит в плоскости α2;
в) Прямая l3 пересекает плоскость α3 в точке M(–1; 1; 2).
2.4.2. Параллельность прямой и плоскости
Условие параллельности прямой и плоскости можно получить, используя векторную алгебру. Пусть прямая l параллельна
плоскости α (l || α1) (см. рис. 24) Тогда направляющий вектор s прямой l перпендикулярен нормальному вектору N плоскости α. Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Если s = {m, n, p}, N = {A, B, C}, то s ∙ N = 0 или
Am + Bn + Cp = 0 (2.4.1)
Полученное условие является условием параллельности прямой
и плоскости.
Пример. Доказать, прямая l:
параллельна
плоскости α: 3x – y + z – 2 = 0.
64
Решение: Выпишем направляющий вектор прямой l: s = {1; 2; –1}
C
p
B
n
A
m
31
1
2
1 zyx
.
32
1
1
2 zyx
.
32
1
1
2 zyx
рис. 25
и нормальный вектор плоскости α: N = {3; –1; 1}. Найдем скалярное произведение этих векторов: s ∙ N = 1∙3 + 2∙(–1) + (–1)∙1 = 0.
Следовательно, прямая l параллельна плоскости α.
2.4.3. Перпендикулярность прямой и плоскости
Условие перпендикулярности прямой и плоскости также можно
получить, используя векторную алгебру. Пусть прямая l перпендику-
лярна плоскости α (l α) (см. рис. 25).
Тогда направляющий вектор s прямой l
будет коллинеарен нормальному вектору
N плоскости α. Следовательно, соответ-
ствующие координаты этих векторов
пропорциональны.
Пусть s = {m, n, p}, N = {A, B, C}.
Тогда
(2.4.2)
Это условие перпендикулярности прямой и плоскости.
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку M(1; 2; 3) перпендикулярно прямой
.
Решение: Выпишем направляющий вектор прямой: s = {2; –1; 3}.
Вектор s можно взять за нормальный вектор N искомой плоскости:
N = s. Применяем формулу (2.2.1)
2(x – 1) – 1(y – 2) + 3(z – 3) = 0 2x – y + 3z – 9 = 0.
Ответ: 2x – y + 3z – 9 = 0.
Пример 2. Составить уравнение прямой; проходящей через точку
M(2; –1; 0) перпендикулярно плоскости x + 2y – 3z + 1 = 0.
Решение: Выпишем нормальный вектор плоскости: N ={1; 2;–3}.
Вектор N можно взять за направляющий вектор искомой прямой:
s = N = {1; 2; –3}. По формулам (2.3.1) запишем канонические
уравнения прямой, проходящей через точку M(2; –1; 0):
Ответ:
65
MM
0
MM
0
0:
000
zyx
zyx
bbb
aaa
zzyyxx
.
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
baN
2
1
MM
рис. 26
2.5. Упражнения к главе 2
1. Найти уравнение плоскости, проходящей через данную точку
M0(x0, y0, z0) параллельно двум данным (неколлинеарным) векторам
ā = {ax, ay, az} и b = {bx, by, bz}.
Указание. 1 способ. Возьмем
произвольную точку плоскости
M(x, y, z). Векторы a, b и
=
= {x – x0, y – y0, z – z0} будут ком-
планарны, так как они расположены
в параллельных плоскостях. Следовательно, их смешанное произведе-
ние (ā, b,
) = 0. Записывая это
условие в координатах, получим
уравнение искомой плоскости:
.
Вычислять этот определитель удобнее разложением по первой
строке.
2 способ. Векторы a и b параллельны искомой плоскости. Следовательно, вектор, равный векторному произведению векторов a и b,
перпендикулярен этой плоскости α, т.е. вектор N = a b является
нормальным вектором плоскости α, N α. Если a = {ax, ay, a
} и
z
b = {bx, by, bz}, то вектор N находится по формуле:
Уравнение плоскости α находим по точке M0(x0, y0, z0) и нормальному вектору N = {A, B, C}.
α: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 (2.2.1).
2. Найти уравнение плоскости, проходящей через две данные
точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) параллельно данному вектору
ā = {ax, ay, az} (
и ā неколлинеарны).
66
Указание. 1 способ. Пусть M(x, y, z) –
MM
1
2
1
MM
0),,(
2
11
aMMMM
.0:
121212
111
zyx
aaa
zzyyxx
zzyyxx
2
1
MM
aMMN
2
1
.
121212
zyx
aaa
zzyyxx
kji
N
рис. 27
произвольная точка плоскости. Тогда
векторы
= {x – x1, y – y1, z – z1},
= {x2 – x1, y2 – y1, z2 – z
ā = {ax, ay, az} располагаются в парал-
лельных плоскостях и, следовательно,
компланарны, т.е. их смешанное про-
изведение
. Записав это условие в координатах,
получим уравнение искомой плоскости α.
2 способ. Вектор нормали искомой плоскости будет равен вектор-
ному произведению векторов
и ā, т.е.
координатах:
Уравнение искомой плоскости α найдется по нормальному вектору N и точке M1(x1, y1, z1) (или точке M2(x2, y2, z
(2.2.1) α: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z
) = 0 (см. пример 1 пункт
0
)) по формуле
2
2.2.2).
} и
1
или в
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
M0(2; –3; –7) параллельно плоскости 2x – 6y – 3z + 5 = 0.
Указание. Нормальный вектор N найдем из общего уравнения
данной плоскости 2x – 6y – 3z + 5 = 0 (2.2.2): N = {2; –6; –3}. Вектор
N перпендикулярен данной плоскости, следовательно, он перпенди-
кулярен любой плоскости, параллельной ей. Вектор N можно взять
за нормальный вектор искомой плоскости. Составим уравнение
искомой плоскости по точке M0(2; –3; –7) и нормальному вектору
N = {2; –6; –3} (см. пример 1 пункт 2.2.2).
α: 2(x – 2) – 6(y – (– 3)) – 3(z – (– 7)) = 0 2x – 6y – 3z – 43 = 0
Ответ: 2x – 6y – 3z – 43 = 0.
67
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
MM
0
;0
111
212
532
:
zyx
;0
11
12
)5(
11
22
)3(
11
21
)2(: zyx
11
12
11
22
11
21
111
212 kji
kji
N
рис. 28
M0(2; –3; 5) перпендикулярно линии пересечения плоскостей
2x + y – 2z + 1 = 0 и x + y + z – 5 = 0.
Указание. 1 способ. Перпенди-
кулярные каждый своей плоскости векторы N1={2; 1; –2} и
N
= {1; 1; 1} (координаты
2
векторов найдены из общих
уравнений плоскостей, формула (2.2.2)) перпендикулярны
линии их пересечения и,
следовательно, параллельны
искомой плоскости. Искомая
плоскость проходит через
точку M0 параллельно двум
векторам N1 и N2 (см. задачу 1 пункт 2.5).
={x –2; y + 3; z –5},
N1={2; 1; –2} и N2 = {1; 1; 1}. Уравнение искомой плоскости имеет
вид:
Раскрывая определитель третьего порядка по первой строке,
получим искомое уравнение.
α: 3(x – 2) – 4(y + 3) + 1∙(z – 5) = 0 или 3x – 4y + z – 23 = 0.
2 способ. Составим уравнение плоскости по точке M0(2; –3; 5) и
нормальному вектору N по формуле (2.2.1). Нормальный вектор N
равен векторному произведению векторов N1 и N2, т.е. N = N1N2.
Так как векторы N1 и N2 перпендикулярны линии пересечения
плоскостей, то вектор N параллелен линии пересечения плоскостей
и перпендикулярен искомой плоскости.
Векторы N1 = {2; 1; –2} и N2 = {1; 1; 1}, поэтому
68
.43)1112())2(112())2(111( kjikji
.0
313
421
132
:
zyx
.
2
1
1
NMMN
2
1
MM
;51510
313
421
1
kji
kji
N
рис. 29
рис. 30
Составим уравнение плоскости по точке M0(2; –3; 5) и нормальному
вектору N ={3; –4; 1} (см. пример 1 пункт 2.2.2)
α: 3(x – 2) – 4(y + 3)) + 1∙(z – 5) = 0 ;
α: 3x – 4y + z – 23 = 0.
Ответ: α: 3x – 4y + z – 23 = 0.
5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
M1(2; 3; –1) и M2(1; 5; 3) перпендикулярно плоскости
3x – y + 3z +15 = 0.
Указание. 1 способ. Выпишем координаты нормального вектора данной плоскости
3x – y + 3z +15 = 0: N ={3; –1; 3}. Так как
плоскости перпендикулярны, то вектор N
параллелен искомой плоскости α. Составим
уравнение искомой плоскости α, которая
параллельна вектору N и проходит через
точки M1 и M2 (см. решение задачи 2 пункт
2.5; 1 способ).
Вычисляя определитель, получим уравнение искомой плоскости
α: 10x + 15y – 5z – 70 = 0 2x + 3y – z – 14 = 0.
2 способ. Составим уравнение искомой
плоскости α по точке M1(2; 3; –1) и вектору
нормали
если
={–1; 2; 4}, а N ={3; –1;3}
N1 = {10; 15; –5} и M1(2; 3; –1).
Составляем уравнение искомой плоскости α.
α: 10(x – 2) + 15(y – 3)) – 5(z + 1) = 0;
α: 10x + 15y – 5z – 70 = 0.
Разделим обе части уравнения на 5.
Найдем вектор N1,
69
α: 2x + 3y – z – 14 = 0.
;0:
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
;0
332014
322114
321
:
zyx
;0
023
533
321
:
zyx
рис. 31
Ответ: α: 2x + 3y – z – 14 = 0.
6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
M1(1; 2; 3), M2(4; –1; –2), M3(4; 0; 3).
Указание. Составим уравнение плоскости, проходящей через три
точки (см. пример 1, пункт 2.2.3)
Раскрывая определитель, получим
α: –10x – 15y + 3z + 31 = 0 или α: 10x + 15y – 3z – 31 = 0.
Ответ: 10x + 15y – 3z – 31 = 0.
Замечание. Для проверки правильности вычисления определите-
ля рекомендуется в полученное уравнение подставить координаты
данных точек, через которые проходит плоскость. Должно получиться тождество; в противном случае в вычислениях допущена ошибка.
7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M0(–2; 7; 3) параллельно плоскости α: x – 4y + 5z + 1 = 0.
Указание. Из общего уравнения плоскости
α: x – 4y + 5z + 1 =0 найдем нормальный вектор N = {1; –4; 5} (формула 2.2.2) Вектор
N перпендикулярен к искомой плоскости
α1, так как α
кости α
|| α. Составим уравнение плос-
1
по точке M0(–2; 7;
1
3) и нормальному
вектору N = {1; –4; 5} (см. пример 1; пункт
2.2.2): α1: x – 4y + 5z + 15 = 0.
Ответ: x – 4y + 5z + 15 = 0.
8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M0(1; –2; 2) параллельно векторам ā = {–3; 2; –1} и b = {1; 2; 3}.
Указание. См. решение задачи 1 пункт 2.5. Решаем задачу одним
из указанных способов. Ответ: x + y – z + 3 = 0.
70
9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
AB
PO
PO
рис. 32
рис. 33
рис. 34
M0(2; 2; –2) перпендикулярно линии пересечения плоскостей:
3x – 2y – z + 1 = 0 и x – y – z = 0.
Указание. Выше, в задаче 4 пункта 2.5
мы изложили два способа решения аналогичной задачи. Данную задачу можно
решить любым из этих способов.
Ответ: x + 2y – z – 8 = 0.
10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
M1(2; –15; 1) и M2(3; 1; 2) перпендкулярно плоскости 3x – y – 4z = 0.
Указание. См. решение задачи 5 пункт 2.5.
Ответ: 9x – y +7z – 40 = 0.
11. Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки
M1(1; 1; 1) и M2(–1; 1; –1) параллельно прямой, определяемой точка-
ми A(5; –2; 3) и B(6; 1; 0).
Указание. Искомая плоскость парал-
лельна прямой AB, следовательно, она
параллельна вектору
Уравнение искомой плоскости α находим, как в задаче 2 пункта 2.5 (одним из
способов).
Ответ: 3x – 4y – 3z +4 = 0.
= {1; 3; –3}.
12. Точка P(2; –1; –2) служит основанием перпендикуляра,
опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение
этой плоскости.
Указание. Нормальным вектором к
искомой плоскости является вектор
Найдем его координаты. Так как P(2;–1;–2)
и O(0; 0; 0), то
N = {2; –1; –2}.
Составим уравнение плоскости α по
точке P(2; –1; –2) и нормальному вектору
N = {2; –1; –2}, (см. пример 1, пункт 2.2.2).
= {2; –1; –2}, поэтому
Ответ: 2x – y – 2z – 9 = 0.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]