Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Практикум. Учебное пособие
.pdf
91
41.Составить канонические уравнения прямой, проходящей через
2
4
4
3
3
8 zyx
4
2
3
2
2
1 zyx
3
1
42
2 zyx
321
5 zyx
точку A(8; –3; 4) перпендикулярно плоскости 3x – 4y + 2z – 7 = 0.
Ответ: а)
42.Составить параметрические уравнения прямой, проходящей че-
рез точку A(–1;2;–5) перпендикулярно плоскости 4x –5y +2z –1=0.
Ответ: x = 4t – 1, y = –5t + 2, z = 2t – 5.
43.Составить параметрические уравнения перпендикуляра, опущен-
ного из начала координат на плоскость 3x – y + 2z – 5 = 0.
Ответ: x = 3t, y = –t, z = 2t.
44.Найти точку пересечения прямой
стью 3x – 2y + 2z – 3 = 0.
Ответ: M(3; 1; –2).
45.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
A(2; –1; –3) перпендикулярно прямой
Ответ: 2x + 4y – 3z – 9 = 0.
46.Найти проекцию точки A(1; 1; 1) на плоскость 3x – y + z + 8 = 0.
Ответ: A0(–2; 2; 0).
с плоско-
.
.
47.Найти проекцию точки A(–1; 0; 3) на плоскость, проходящую
через точки M(1; 2; 3), N(–1; 0; –3) и P(2; –1; 2).
Ответ: A0(1; 1; 2).
48.Найти проекцию точки A(1; –1; 2) на прямую, заданную параме-
трически x = 2t, y = 3t – 6, z = 2t + 2.
Ответ: A0(2; –3; 4).
49.Найти проекцию точки A(–3; 0; 2) на прямую
Ответ: A0(4; 2; 3).
.
92
50.Найти координаты точки B, симметричной точке A(2; –3; 6) отно-
02
0132
zyx
zyx
1
3
1
2
3
1 zyx
11
4
3
2 zyx
042
02
zyx
yx
2
1
2
1
3
2 zyx
11
2
1
1 zyx
1
1
21
1 zyx
44d
сительно прямой
.
Ответ: B(8; 3; 0).
51.Найти координаты точки B, симметричной точке A(4; 1; –3)
относительно плоскости 2x + 3y – z = 0.
Ответ: B(0; –5; –1).
52.Составить уравнение плоскости, проходящей через две паралле-
льные прямые
и
.
Ответ: 3x – 10y – 19z + 34 = 0.
53.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
A(–1; –2; 1) и прямую x = 2t + 1, y = –2t, z = 3t – 1.
Ответ: x – 5y – 4z – 5 = 0.
54.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
параллельно прямой x = y = z.
Ответ: 2x – 5y + 3z – 12 = 0.
55.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
перпендикулярно плоскости 2x + 3y – z – 4 = 0
Ответ: 4x – 7y – 13z – 14 = 0.
56.Составить уравнение высоты, опущенной из вершины D(1; –2; 0)
треугольной пирамиды ABCD на основание ABC, если A(1; 1; 6),
B(1; 2; 7) и C(3; 3; 6).
Ответ:
.
57.Вычислить расстояние d от точки A(–7; 2; –1) до прямой
. Ответ:
.
93
4.1. Основные формулы главы 1
координаты точки М, делящей отрезок M1M2 в отношении λ
1
;
1
2121
yy
y
xx
x
(1.2.1)
координаты середины отрезка
2
;
2
2121
yy
y
xx
x
(1.2.2)
уравнение прямой по угловому коэффициенту k и
начальной ординате b
y = kx + b
(1.3.1)
уравнение прямой по точке M0(x0; y0) и угловому
коэффициенту k
y – y0 = k(x – x0)
(1.3.2)
уравнение прямой по точке M0(x0; y0) и вектору нормали
n = {A, B}
A(x – x0) + B(y – y0) = 0
(1.3.3)
общее уравнение прямой, координаты нормального вектора
Ax + By + C = 0 n = {A, B}
(1.3.4)
угловой коэффициент прямой k = –
B
A
(1.3.5)
уравнение прямой по точке M0(x0; y0) и направляющему
вектору s = {m; n}
n
yy
m
xx
00
(1.3.6)
уравнение прямой по двум точкам M1(x1; y1) и M2(x2; y2)
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
(1.3.7)
уравнение прямой в отрезках
1
b
y
a
x
(1.3.8)
расстояние от точки M0(x0; y0) до прямой Ax + By + C = 0
22
00
BA
CByAx
d
||
(1.3.9)
точка пересечения двух прямых
0
0
:
222
111
CyBxA
CyBxA
M
(1.4.1)
94
угол между двумя прямыми
21
12
1
tg
kk
kk
(1.4.2)
условие параллельности двух прямых k1 = k2
(1.4.3)
условие перпендикулярности двух прямых k1k2 = –1
(1.4.4)
уравнение окружности (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2
(1.5.1)
каноническое уравнение окружности x2 + y2 = R2
(1.5.2)
каноническое уравнение эллипса
1
2
2
2
2
b
y
a
x
(1.5.3)
уравнение эллипса с центром в точке M0(x0; y0)
1
)()(
2
2
0
2
2
0
b
yy
a
xx
(1.5.4)
канонические уравнения гиперболы
1
2
2
2
2
b
y
a
x
или
1
2
2
2
2
b
y
a
x
(1.5.5)
(1.5.6)
уравнение гиперболы с центром M0(x0; y0)
1
)()(
2
2
0
2
2
0
b
yy
a
xx
или
1
)()(
2
2
0
2
2
0
b
yy
a
xx
(1.5.7)
(1.5.8)
каноническое уравнение параболы x2 = 2py
или y2 = 2px
(1.5.9)
(1.5.10)
уравнение параболы с центром в точке M0(x0; y0)
(x– x0)2 = 2p(y – y0) или (y– y0)2 = 2p(x – x0)
(1.5.11)
(1.5.12)
формулы перехода от полярных координат к декартовым
и от декартовых координат к полярным
x = rcos , y = rsin
x
y
yxr tg,
22
2222
sin;cos
yx
y
yx
x
(1.6.1)
(1.6.2)
(1.6.3)
95
4.2. Основные формулы главы 2
уравнение плоскости по точке M0(x0; y0; z0) и нормальному
вектору N = {A, B, C}
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
(2.2.1)
общее уравнение плоскости, координаты нормального
вектора
Ax + By + Cz + D = 0, N = {A, B, C}.
(2.2.2)
уравнение плоскости по трем точкам M1(x1; y1;z1),
M2(x2; y2; z2), M3(x3; y3;z3)
0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
(2.2.3)
угол между двумя плоскостями
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
CBACBA
CCBBAA
(2.2.4)
условие параллельности двух плоскостей
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
(2.2.5)
условие перпендикулярности двух плоскостей.
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
(2.2.6)
расстояние от точки до плоскости
222
000
||
CBA
DCzByAx
d
(2.2.7)
канонические уравнения прямой
p
zz
n
yy
m
xx
000
(2.3.1)
параметрические уравнения прямой
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
(2.3.2)
уравнения прямой по двум точкам
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
(2.3.3)
96
прямая, заданная как пересечение двух плоскостей
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
(2.3.4)
угол между двумя прямыми в пространстве
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
pnmpnm
ppnnmm
(2.3.5)
условие перпендикулярности двух прямых в пространстве
m1·m2 + n1·n2 + p1·p2 = 0
(2.3.6)
условие параллельности двух прямых в пространстве
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
(2.3.7)
условие параллельности прямой и плоскости
Am + Bn + Cp = 0
(2.4.1)
условие перпендикулярности прямой и плоскости
C
p
B
n
A
m
(2.4.2)
Литература
1. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.,
Наука, 1975 г.
2. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. М., Наука, 1966 г.
3. Малышева Е.Б., Медведева Н.П. Аналитическая геометрия.
Учебное пособие. М., МГСУ, 2010 г.
4. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.,
Наука, 1980 г.
5. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. М.,
Айрис-пресс, 2011 г.
6. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М., АСТ,
2005 г.
97
Оглавление
Глава 1. Аналитическая геометрия на плоскости ……..……..… 3
1.1. Основные понятия ........................................................................... 3
1.2. Деление отрезка в данном отношении ........................................... 5
1.3. Прямая на плоскости ....................................................................... 7
1.3.1. Прямая y = kx + b ....................................................................... 7
1.3.2. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту ...... 9
1.3.3. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору ......... 10
1.3.4. Уравнение прямой по точке и направляющему вектору .... 12
1.3.5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки 13
1.3.6. Уравнение прямой в отрезках ................................................ 15
1.3.7. Расстояние от точки до прямой ............................................. 16
1.4. Взаимное расположение прямых на плоскости ......................... 16
1.4.1. Точка пересечения двух прямых .......................................... 17
1.4.2. Угол между двумя пересекающимися прямыми ................. 17
1.4.3. Условие параллельности двух прямых ................................. 19
1.4.4. Условие перпендикулярности двух прямых ........................ 20
1.5. Кривые второго порядка ............................................................... 21
1.5.1. Окружность ............................................................................. 21
1.5.2. Эллипс ...................................................................................... 22
1.5.3. Гипербола ................................................................................ 24
1.5.4. Парабола .................................................................................. 25
1.6. Полярные координаты ................................................................... 27
1.7. Упражнения к главе 1 .................................................................... 31
Глава 2. Аналитическая геометрия в пространстве ................... 45
2.1. Основные понятия ......................................................................... 45
2.2. Плоскость в пространстве ............................................................. 45
2.2.1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору .... 45
2.2.2. Общее уравнение плоскости .................................................. 46
2.2.3. Уравнение
плоскости, проходящей через три данные
точки 48
2.2.4. Угол между двумя плоскостями ............................................ 50
2.2.5. Условие параллельности двух плоскостей ........................... 51
2.2.6. Условие перпендикулярности двух плоскостей .................. 52
2.2.7. Расстояние от точки до плоскости ........................................ 53
98
2.3. Прямая в пространстве .................................................................. 54
2.3.1. Канонические уравнения прямой .......................................... 54
2.3.2. Параметрические уравнения прямой .................................... 54
2.3.3. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки 56
2.3.4. Прямая как линия пересечения двух плоскостей ................ 57
2.3.5. Взаимное расположение двух прямых в пространстве ....... 59
2.4. Взаимное расположение прямой и плоскости ............................ 61
2.4.1. Пересечение прямой и плоскости ......................................... 61
2.4.2. Параллельность прямой и плоскости .................................... 63
2.4.3. Перпендикулярность прямой и плоскости ........................... 64
2.5. Упражнения к главе 2 .................................................................... 65
3.1. Задачи к главе 1 .............................................................................. 80
3.2. Задачи к главе 2 .............................................................................. 86
4.1. Основные формулы главы 1 ......................................................... 93
4.2. Основные формулы главы 2 ......................................................... 95
Литература ........................................................................................... 96
Учебное издание
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ПРАКТИКУМ
Редактор Е.Б. Левенкова
Компьютерная верстка С.Б. Глембовецкого
Подписано в печать 23.04.2014 г. Формат 6084 1/16. Печать офсетная.
И-294. Усл.-печ. л. 5,81. Уч.-изд. 6,01. Тираж 150 экз. Заказ № 164
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский государственный строительный университет».
Тел. (495) 287-49-14, вн. 13-71, (499) 188-29-75, (499) 183-97-95,
Отпечатано в типографии Издательства МИСИ – МГСУ.
Тел. (499) 183-91-90, (499) 183-67-92, (499) 183-91-44.
Издательство МИСИ – МГСУ.
e-mail: ric@mgsu.ru, rio@mgsu.ru
129337, Москва, Ярославское ш., 26
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]