Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Практикум. Учебное пособие
.pdf
81
10.Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(–2; 3) и
2
2
3
xy
xy
2
1
параллельных а) оси Ox; б) оси Oy. Постройте эти прямые.
Ответ: а) y – 3 = 0; б) x + 2 = 0.
11.Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересече-
ния прямых 3x – 2y + 1 = 0 и 2x + 5y – 12 = 0, и параллельную оси
Ox.
Ответ: y – 2 = 0.
12.Составить уравнения прямой, образующей с осью Ox угол 45º и
пересекающей ось Oy в точке A(0; 3).
Ответ: y = x + 3.
13.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(3; 1) и
образующей с осью Ox угол равный arctg2.
Ответ: y = 2x – 5.
14.Найти вектор нормали и угловой коэффициент прямых и записать
уравнения прямых в виде + b:
а) 3x – 2y + 4 = 0; б) x + 2y = 0; в) y + 7 = 0; г) x + 3 = 0.
Ответ: а) n = {3; –2}, k =
3
/
,
2
; б) n = {1; 2} k = –
1
/
2
; в) n = {0; 1}, k = 0, y = –7; г) n = {1; 0}, “–“.
,
15.Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(1; 2) и
B(–1; 4).
Ответ: x + y – 3 = 0.
16.Через точки A(–1; 2) и B(2; 5) проведена прямая. Определить
точки пересечения этой прямой с осями координат.
Ответ: C(–3; 0), D(0; 3).
17.Дан треугольник с вершинами A(1; 2), B(5; 5), C(6; 1). Составить
уравнения сторон треугольника.
Ответ: AB: 3x – 4y + 5 = 0; BC: 4x + y – 25 = 0; AC : x + 5y – 11 = 0.
18.Составить уравнение медианы, проведенной из вершины A
треугольника ABC с вершинами A(–2; 4), B(3; 2), C(–1; –2).
Ответ: 4x + 3y – 4 = 0.
82
19.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(3; –1)
BC
перпендикулярно вектору
20.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(–1; 3)
параллельно прямой 3x – 4y – 5 = 0.
21.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(–2; 4)
перпендикулярно прямой BC, если B(2; –4), C(–1; 3).
22.Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
A(2; –4) на прямую, проходящую через точки B(3; 2) и C(0; –3).
23.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2; –5)
перпендикулярно прямой 3x – 2y + 5 = 0.
24.Даны вершины треугольника A(–4; 3), B(3; –2), C(5; 3). Составить
уравнение высоты, проведенной из вершины A на сторону BC.
, если B(2; –3), C(–3; –2).
Ответ: 5x – y – 16 = 0.
Ответ: 3x – 4y + 15 = 0.
Ответ: 3x – 7y + 34 = 0.
Ответ: 3x + 5y + 14 = 0.
Ответ: 2x + 3y + 11 = 0.
Ответ: 2x + 5y – 7 = 0.
25.Даны вершины треугольника A(1; –3), B(–2; 1), C(3; 5). Составить
уравнения прямой, проходящей через вершину B параллельно
противоположенной стороне AC.
Ответ: 4x – y + 9 = 0.
26.Даны середины сторон треугольника A(2; 0), B(3; 3), C(4; 1).
Составить уравнения его сторон.
Ответ: 3x – y – 11 = 0, 2x + y – 4 = 0, x – 2y + 3 = 0.
27.Даны вершины треугольника A(1; –2), B(2; 3), C(–1; 4). Составить
уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины A на
медиану BE.
Ответ: x + y + 1 = 0.
28.Найти проекцию точки A(–4; 4) на прямую 2x – y + 2 = 0.
Ответ: B(0; 2).
83
29.Найти точку, симметричную точке P(2; 2) относительно прямой,
проходящей через точки A(1; –1) и B(–1; 3).
Ответ: N(–2; 0).
30.Даны вершины треугольника A(1; –2), B(5; 4), C(–2; 0). Составить
уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины C на биссектрису внутреннего угла при вершине A.
Ответ: x – 5y + 2 = 0.
31.Найти угол φ между прямыми:
а) 2x – 3y + 5 = 0 и 5x – y + 2 = 0;
б) 3x – 2y + 1 = 0 и 2x + 3y – 2 = 0;
в) 3x – 6y + 5 = 0 и x – 2y + 2 = 0;
г) 3x + 2y – 1 = 0 и 5x – 2y + 3 = 0;
Ответ: а) φ =
π
/
; б) φ =
4
π
/
; в) ) φ = 0; г) φ = arctg
2
16
/
.
11
32.При каком A угол между прямыми 3x – y – 1 = 0 и Ax + y + 5 = 0
будет равен 45º?
Ответ: а) A = 2 и A = –
1
/
.
2
33.При каком α
параллельны.
прямые 3x + 2y – 5 = 0 и 2x + α∙y + 3 = 0 будут
Ответ: α =
4
/
3
34.При каком значении α прямые 2x – 5y + 7 = 0 и α∙x + 2y – 1 = 0
будут перпендикулярны?
Ответ: α = 5.
35.Найти α, при котором следующие пары прямых будут:
а) параллельны; б) перпендикулярны.
1) 2x – 5y + 5 = 0 и α∙x – 10y + 2 = 0;
2) α∙x – 4y + 7 = 0 и 2x + y – 3 = 0;
3) 3x + y – 16 = 0 и 4x + α∙y – 14 = 0;
4) 3x – α∙y + 2 = 0 и 2x + 3y + 1 = 0.
Ответ: 1) α = 4, α = –25; 2) α = –8, α = 2;
3) α =
4
/
, α = –12; 4) α = –
3
9
/
, α = 2.
2
36.Дана прямая 2x + y + 7 = 0. Через точку A(–1; 2) провести прямую,
наклоненную к данной прямой под углом 45°.
Ответ: x + 3y – 5 = 0 и 3x – y + 5 = 0.
.
84
37.Определить угол между высотой и медианой треугольника ABC,
11
7
tg
11
7
arctg
5
512
d
проведенными из вершины B, если A(1; –1), B(–2; 1), C(3; 5).
Ответ:
,
.
38.В треугольнике ABC известны координаты вершин A(–1; 3),
B(3; –2), C(5; 3). Найти угол ACB и составить уравнение средней
линии, параллельной AB.
Ответ: tg φ =
5
/
или φ = arctg
2
5
/
, MN: 5x + 4y – 22 = 0.
2
39.В треугольнике ABC известны координаты его вершин A(2; 2),
B(4; 6) и точка пересечения медиан O(5; 3). Составить уравнение
высоты треугольника, проведенной из вершины C.
Ответ: x + 2y – 11 = 0.
40.В треугольнике ABC известны координаты его вершин A(3; –1),
B(5; 7). Высоты пересекаются в точке H(4; –1). Определить
координаты третьей вершины C.
Ответ: C(5; –
5
/
).
4
41.Известны две вершины A(–10; 2), B(6; 4) треугольника ABC и точ-
ка E(5;2) пересечения его высот. Составить уравнения его сторон.
Ответ: AB: x – 8y + 26 = 0; BC: x = 6; AC: x + 2y + 6 = 0.
42.Определить расстояние от точки M(2; –1) до прямой 4x –3y +4 =0
Ответ: d = 3.
43.Составить уравнения прямых, параллельных прямой 4x –3y –8 = 0
и отстоящих от нее на расстоянии d = 3.
Ответ: 4x – 3y + 7 = 0 и 4x – 3y – 23 = 0.
44.Найти расстояние между прямыми x + 2y – 14 = 0 и x + 2y – 2 = 0.
Ответ:
45.На прямой 3x + 4y – 5 = 0 найти точку C, равноудаленную от
точек A(–4; 0) и B(0; 4), и величину угла ACB.
Ответ: C(–5; 5), φ = arctg
46.Составить уравнения прямых, проходящих через точку C(–2; 3) и
равноудаленных от точек A(5; –1) и B(3; 7).
12
.
/
.
5
85
Ответ: y – 3 = 0 и 4x + y + 5 = 0.
47.Найти площадь квадрата, если две его стороны лежат на прямых
3x + 4y + 6 = 0 и 3x + 4y – 14 = 0.
Ответ: S = 16.
48.Даны две противоположные вершины квадрата A(10; –4) и
C(–8; 2). Составить уравнения его сторон.
Ответ: 2x + y – 16 = 0; x – 2y – 18 = 0;
2x + y + 14 = 0; x – 2y + 12 = 0.
49.В квадрате известны уравнение стороны AD: 2x – y + 11 = 0 и
координаты точки пересечения диагоналей E(1; 3). Составить
уравнения других его сторон.
Ответ: 2x – y – 9 = 0; x + 2y + 3 = 0; x + 2y – 17 = 0.
50.В равнобочной трапеции ABCD известны координаты трех
вершин A(3; 4), B(5; 7), C(9; 3). Найти координаты вершины D и
величину острого угла, если BC и AD параллельны.
Ответ: D(6; 1), tg φ = 5.
51.Показать, что четырехугольник с вершинами A(3; –1), B(1; 2),
C(–1; 1) и D(3; –5) является трапецией и найти ее площадь.
Ответ: kAB = kCD = –
3
/
; S = 12.
2
52.Даны две смежные вершины квадрата A(2; –1) и B(4;
уравнения его сторон. Сколько решений имеет задача?
Ответ: AB: 2x – y – 5 = 0; AD: x + 2y = 0;
BC: x + 2y – 10 = 0;
CD: 2x – y – 15 = 0 или 2x – y + 5 = 0.
3). Составить
86
3.2. Задачи к главе 2
21
MМ
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M(2: –1; 1) перпендикулярно вектору n = {3; –2; 4}. Найти точки
пересечения этой плоскости с осями координат и построить эту
плоскость.
Ответ: 3x – 2y + 4z – 12 = 0, M1(4: 0; 0), M2(0: –6; 0), M3(0: 0; 3).
2. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало
координат и имеет нормальный вектор n = {3; –2; 0}.
Ответ: 3x – 2y = 0.
3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M1
перпендикулярно вектору
, если M1(1; 2; –1), M2(4; –2; 1).
Ответ: 3x – 4y + 2z + 7 = 0.
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
A(–1; 3; 1) перпендикулярно вектору ā = 2ī – 3 k.
Ответ: 2x – 3z + 5 = 0.
5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
M(–2: 0; 3) параллельно плоскости 2x – 3y + 5z – 1 = 0.
Ответ: 2x – 3y + 5z – 11 = 0.
6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
A(3; –1; 2) параллельно плоскостям: а) Oxy; б) Oxz; в) Oyz.
Ответ: а) z – 2 = 0, б) y + 1 = 0, в) x – 3 = 0.
7. Найти уравнение плоскости, зная, что точка M1(1; –2; 2), служит
основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на
эту плоскость.
Ответ: x – 2y + 2z – 9 = 0.
8. Построить плоскости, заданные этими уравнениями:
а) z – 4 = 0; б) x + z – 2 = 0; в) 4x + 3y + 6z – 12 = 0; г) y = 0.
9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
A(4; –2; 2) параллельно двум векторам ā = {–3; 2; –1} и
b = {1; 2; 3}.
Ответ: x + y – z = 0.
87
10.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
A(2; –1; 3) и B(3; 1; 2) параллельно вектору ā = {1; –1; 4}.
Ответ: 7x – 5y – 3z – 10 = 0.
11.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
M1(2; 3; –1) и M2(–1; 1; 0) параллельно прямой, определяемой
точками A(2; –1; 3) и B(3; –1; 2).
Ответ: x – y + z + 2 = 0.
12.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
A(3; –1; 1) и B(2; 1; –1) перпендикулярно плоскости x + y + z– 2=0.
Ответ: 4x – y – 3z – 10 = 0.
13.Составить уравнение плоскостей, проходящих через точки
A(1; 2; –1) и B(–2; 1; 3) перпендикулярно плоскостям:
а) Oxy; б) Oyz; в) Oxz.
Ответ: а) x – 3y +5 = 0; б) 4y + z – 7 = 0; в) 4x + 3z – 1 = 0.
14.Составить уравнения плоскости, которая проходит через точку
A(4; 0; 2) перпендикулярно к двум плоскостям: 2x – y + 4z = 0 и
2x + y + 3z – 3 = 0.
Ответ: 7x – 2y – 4z – 20 = 0.
15.Составить уравнения плоскости, которая проходит через начало
координат перпендикулярно к двум плоскостям: 3x – 2y + 1 = 0 и
z = 0.
Ответ: 2x + 3y = 0.
16.Составить уравнения плоскости, проходящей через точку
A(–2; 1; 3) и ось Oy.
Ответ: 3x + 2z = 0.
17.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
A(–2; 3; 1) и B(2; 1; –1) параллельно оси Ox.
Ответ: y – z – 2 = 0.
18.Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные
точки A(1; 2; 0), B(3; 2; 1), C(–2; 1; 2).
Ответ: x – 7y – 2z + 13 = 0.
19.Вычислить расстояние d от точки до плоскости в каждом из
следующих случаев:
a) M1(2; 2; –3), 2x – 3y + z + 4 = 0;
88
б) M2(1; 2; 5), 4x – 3z + 1 = 0;
14
14
d
5d
2
3
d
в) M3(–1; 2; 1), 3x + y – z + 2 = 0.
Ответ: а)
; б) d = 2;
в) d = 0, т.e. точка лежит на плоскости.
20.Вычислить расстояние d от точки A(3; 4; –1) до плоскости,
проходящей через точки M1(1; 2; 0), M2(0; 1; –2), M3(2; 0; 2).
Ответ:
.
21.Дана пирамида с вершинами A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(6; 3; 7),
D(–5; –4; 8). Найти длину высоты, опущенной из вершины D на
грань ABC.
Ответ: h = 11.
22.Найти расстояние d между параллельными плоскостями
x + y + z – 3 = 0 и 2x + 2y + 2z – 9 = 0.
Ответ:
.
23.При каких значениях α и β уравнения будут определять парал-
лельные плоскости:
a) 3x – y + α·z – 7 = 0 и 2x + β·y + 2z = 0;
б) α·x + 4y – 6z – 1 = 0 и 5x – 2y – β·z + 7 = 0.
Ответ: а) α = 3, β = –
2
/
; б) α = –10, β = –3.
3
24.При каком значении α следующие пары уравнений будут опреде-
лять перпендикулярные плоскости:
a) 2x – 5y + α·z = 0 и x + 2y + 4z – 1 = 0;
б) 4x – 2y + z = 0 и α·x + y – 2z + 5 = 0.
Ответ: а) α = 2; б) α = 1.
25.Определить двугранные углы, образованные пересечением следу-
ющих пар плоскостей:
a) x + 3y – 2z + 1 = 0 и x + y + 2z – 7 = 0;
б) 2y – z = 0 и 3y + z = 0.
Ответ: а)
π
/
2
; б)
π
/4 и 3π/
.
4
26.Установить, что три плоскости x + y + z – 6 = 0, 2x – y + z – 5 = 0
и x – y – z = 0 имеют одну общую точку, и вычислить ее
координаты.
Ответ: M(3: 2; 1).
89
27.Составить канонические уравнения прямой, проходящей через
3
3
1
1
2
2 zyx
2
3
0
1
3
2 zyx
2
2
0
3
3
1 zyx
0
3
01
2 zyx
0
3
10
2 zyx
1
3
00
2 zyx
0
3
3
1
1
2 zyx
57
1
1
2 zyx
точку A(2; –1; 3) параллельно вектору ā = {2; –1; 3}.
Ответ:
28.Составить канонические уравнения прямой, проходящей через
точку M(1; 3; –2) параллельно прямой
Ответ:
29.Составить канонические уравнения прямых, проходящих через
точку P(2; 0; –3) параллельно осям а) Ox; б) Oy; в) Oz.
Ответ: а)
30.Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через
точку A(1; –1; 4) параллельно вектору ā = {–2; 3; 1}.
Ответ: x = –2t + 1, y = 3t – 1, z = t + 4.
31.Составить канонические и параметрические уравнения прямой,
проходящей через точки A(2; –1; 3) и B(1; 2; 3).
Ответ: а)
, б) x = –t + 2, y = 3t – 1, z = 3.
; б)
в)
.
.
.
;
.
32.Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через
точку A(–4; 2;–3) параллельно прямой x = 2t +1, y = –3t +1, z = 3t.
Ответ: x = 2t – 4, y = –3t + 2, z = 3t – 3.
33.Составить канонические и параметрические уравнения прямой,
заданной как пересечение двух плоскостей 2x + y – z – 5 = 0 и
x – 2y + 3z = 0.
Ответ: а)
; б) x = –t + 2, y = 7t + 1, z = 5t.
90
34.Составить канонические уравнения прямой, проходящей через
0122
062
zyx
zyx
5
1
4
3
3
2 zyx
1
2
1
2
1
1 zyx
022
032
zyx
zyx
tz
ty
tx
5
2
03202zyx
zyx
5
4
31
3 zyx
11
2
1
5 zyx
03
013
zyx
zyx
7
53
12
tz
ty
tx
11
4
2
2 zyx
0432
012
zyx
zyx
32
11zyx
точку M(2; 3; –1) параллельно прямой
.
Ответ:
35.Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через
точку A(2; –1; 1) перпендикулярно векторам ā = {1; –1; 2} и
b = {2; 1; 0}.
Ответ: x = –2t + 2, y = 4t – 1, z = 3t + 1.
36.Через точки A(1; –1; 2) и B(2; –3; 1) проведена прямая. Найти
точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями
1
Ответ: M1(3; –5; 0), M2(
/
; 0;
2
5
/
), M3(0; 1; 3).
2
37.Даны вершины треугольника A(–1; 2; 2), B(3; 7; 0) и C(1; 3; –2).
Составить уравнение медианы AM.
Ответ:
38.Доказать параллельность прямых
а)
и
;
.
.
б)
и
.
39.Доказать перпендикулярность прямых
а)
б)
и
и
;
.
40.Найти угол между прямыми
и
.
Ответ: φ =
π
/
.
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]