Аналитическая геометрия на плоскости и векторная алгебра сборник задач. Учебно-методическое пособие

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ»

Н.В. Маркова

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

СБОРНИК ЗАДАЧ

Москва Российский университет дружбы народов

2017

Маркова, Н. В.

М26 Аналитическая геометрия на плоскости и векторная алгебра : сборник задач : учебно-методическое пособие / Н. В. Маркова. – Москва : РУДН, 2017. – 39 с.

Сборник задач по высшей математике «Аналитическая геометрия на плоскости и векторная алгебра» составлен в соответствии с программой курса «Высшая математика».

Сборник разбит на индивидуальные задания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости и векторная алгебра» и состоит из теоретических вопросов и упражнений, являющихся общими для всех студентов, задач – индивидуальных для каждого студента.

Введение

Сборник задач по высшей математике «Аналитическая геометрия и векторная алгебра» составлен в соответствии с программой курса «Высшая математика».

Сборник разбит на индивидуальные задания по темам «Аналитическая геометрия на плоскости и векторная алгебра».

Сборник состоит из теоретических вопросов и упражнений, являющихся общими для всех студентов, задач

– индивидуальных для каждого студента.

Номер варианта, который должен выполнить студент, совпадает с его порядковым номером в групповом журнале.

Ответы на все теоретические вопросы, упражнения и решения задач следует выполнять в письменном виде, в отдельной тетради.

Выполняя индивидуальное задание, студент должен записать условие соответствующей задачи, после чего написать достаточно подробное решение, выделив ответ.

Каждое индивидуальное задание подлежит защите. Во время защиты студент должен ответить на теоретические вопросы, объяснить решение теоретических упражнений, задач своего варианта, решить аналогичные задачи.

Если в процессе защиты преподаватель обнаружит, что работа выполнена студентом не самостоятельно, он имеет право не зачесть её и предложить студенту выполнить другой вариант или отправить студента на экзамен.

Допускаются консультации с преподавателем. Базовым теоретическим материалом служат лекции.

3

№1

1. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(0; 1;2), B(5; 2; 1),C(8;3;4), D(3; 1; 2).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра CA и направляющие косинусы вектора CA,

2)площадь грани BCD,

3)проекцию вектора CD на вектор CA,

4)косинус угла между векторами CD и CA.

4. По уравнению x2 4y2 6x 5 0 определить тип

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

4

№2

5. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(0; 3;0), B(0;0; 2), D( 4;1; 4), C( 1;3;1).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра CD и направляющие косинусы вектора CD,

2)площадь грани ABC,

3)проекцию вектора AD на вектор AB,

4)косинус угла между векторами DC и DA.

6. Дан треугольник с вершинами A(1; 1), B( 2;1), C(3; 5).

Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины A на медиану, проведённую из вершины B.

7. В параллелограмме ABCD известны две его вершины: A( 1;4), D(6; 3) и точка пересечения диагоналей M (3; 1).

Найти другие вершины параллелограмма и острый угол между диагоналями.

8. По уравнению x2 34y 18x 13 0 определить тип

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

5

№3

9. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(1;4; 5), B(0;3;7),C( 1;2;4), D( 2;5;0).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра DC и направляющие косинусы вектора DC,

2)площадь грани ACD,

3)проекцию вектора DC на вектор CA,

4)косинус угла между векторами BA и BD.

10.Четыре прямые

3x 2y 6 0, 3x 2y 12 0.3x 2y 12 0, 3x y 6 0

образуют четырёхугольник: а) определить его вид; б) составить уравнения его диагоналей; в) найти точку пересечения диагоналей.

11.Даны две вершины треугольника

ABC : A( 4;3), B(4; 1) и точка пересечения высот M (3;3). Найти третью вершину C и вычислить длину стороны AC.

12.По уравнению x2 y2 4x 6y 5 0 определить тип

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

6

№4

13. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(1;2;3), B(4; 5;0),C(6; 1; 2), D(0; 7;8).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра BC и направляющие косинусы вектора BC,

2)площадь грани BCD,

3)проекцию вектора AC на вектор AB,

4)косинус угла между векторами BC и BD.

14. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2;1), перпендикулярно прямой 2x y 1 0.

15. Уравнение одной из сторон квадрата x 3y 5 0, центр квадрата лежит в точке B( 1;0). Составить уравнения остальных сторон.

16. По уравнению 5x2 y 10x 7 0 определить тип

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

7

№5

17. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A( 4;2;0), B(2; 1;3), C(0;5; 1), D( 3;0; 4).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра AC и направляющие косинусы вектора AC,

2)площадь грани ABD,

3)проекцию вектора CB на вектор CD,

4)косинус угла между векторами CD и CA.

18. Стороны четырёхугольника заданы уравнениями x 3y 7 0, 2x y 7 0, 4x y 24 0, x 3y 6 0/

Определить вид этого четырёхугольника и координаты точки пересечения диагоналей.

19. Составить уравнение сторон треугольника, если известны вершина B( 4;5) и уравнения высот:

5x 3y 4 0, 3x 8y 13 0.

20.По уравнению 9x2 25y2 18x 100y 116 0

определить тип кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

8

№6

21. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A( 4;1; 3), B(0; 1;2),C(3;0;4), D( 1; 5;6).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра BD и направляющие косинусы вектора BD,

2)площадь грани CDB,

3)проекцию вектора AB на вектор CD,

4)косинус угла между векторами AD и AB.

22.Даны уравнения сторон треугольника:

x2y 4 0, 3x 2y 12 0, 2x 5y 10 0.

Составить уравнения высот треугольника.

координат. Написать уравнения двух других сторон параллелограмма.

24.По уравнению 3y2 6y 2x2 12x 21 0 определить

тип кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

9

№7

25. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(2; 5;7), B(0;6;1),C(3;4;0), D( 1; 2; 3).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра AD и направляющие косинусы вектора AD,

2)площадь грани BCA,

3)проекцию вектора BC на вектор AC,

4)косинус угла между векторами CB и CA.

Составить уравнение высоты треугольника, проведённой из вершины C.

10