Аналитическая геометрия на плоскости и векторная алгебра сборник задач. Учебно-методическое пособие

№8

29. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(5; 2; 7), B(4; 6;0),C(0;1; 7), D(3;0;4).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра CB и направляющие косинусы вектора CB,

2)площадь грани DAC,

3)проекцию вектора DA на вектор AC,

4)косинус угла между векторами CB и CD.

30. Известны вершины треугольника A( 4; 2), B(0;1) и C(2; 1). Найти расстояние от начала координат до точки пересечения медианы AD с высотой BE.

31.Даны точки A( 2;0) и B( 4; 2). На отрезке

OA (O начало координат) построен параллелограмм OACD, диагонали которого пересекаются в точке B.

Составить уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.

32. По уравнению x2 y2 6x 2y 0 определить тип

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

11

№9

33. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A( 3;0;0), B( 2; 3;7),C(4; 5;1), D(4;1;2).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра CB и направляющие косинусы вектора CB,

2)площадь грани DAC,

3)проекцию вектора DA на вектор DB,

4)косинус угла между векторами AB и AD.

34. Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами

A(2;3), B( 5;1), C(0; 2).

35. Даны точки A( 4;0)и B(0;6). Через середину отрезка

AB провести прямую, отсекающую на оси OX отрезок, вдвое больший, чем на оси OY.

36. По уравнению x2 4y2 2x 16y 7 0 определить

тип кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

12

№10

37. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A( 3;2; 1), B(0;0;7),C(2;4;1), D(1;5;0).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра DB и направляющие косинусы вектора DB,

2)площадь грани DAC,

3)проекцию вектора BD на вектор CD,

4)косинус угла между векторами CB и CD.

38. Найти координаты ортоцентра (центра пересечения высот) треугольника и расстояние ортоцентра от начала координат, если известны вершины треугольника:

A( 8;4),| B( 2;1), C(1; 3).

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

13

№11

41. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(2;3; 1), B( 1;3;5),C(0; 1;2), D(7;0;3).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра AD и направляющие косинусы вектора AD,

2)площадь грани ACD,

3)проекцию вектора BD на вектор BC,

4)косинус угла между векторами DA и DB.

42. Определить свободный член прямой 2x 5y c 0,

если эта прямая проходит через точку пересечения прямых x 2y 0 и x 3y 2 0.

43. Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину A(0;2) и уравнения высот x y 4 и y 2x.

тип кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

14

№12

45. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(3;0; 2), B(2;0;0),C( 2; 1; 3), D(1;5; 7).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра DB и направляющие косинусы вектора DB,

2)площадь грани BCD,

3)проекцию вектора AB на вектор BC,

4)косинус угла между векторами BA и BD.

46.Дан треугольник с вершинами A(0;5), B(3;1), C( 6; 3). Найти уравнение медианы CE, биссектрисы AD и точку их пересечения.

47.Дана прямая 2x y 6 0 и на ней точки A и B с

определить тип кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

15

№13

49. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(0;0;6), B(4;0; 4),C(1;3; 1), D(2;5; 6).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра BC и направляющие косинусы вектора BC,

2)площадь грани ABC,

3)проекцию вектора DC на вектор DA,

4)косинус угла между векторами CA и CB.

50.Вычислить площадь треугольника, заключённого между координатными осями и прямой 5x 8y 40 0.

51.Даны уравнения боковых сторон равнобедренного

треугольника 2x y 3 0, x 2y 12 0 и точка C(4;0),

лежащая на его основании. Найти расстояния от этой точки до боковых сторон треугольника.

52.По уравнению 5x2 6y2 10x 12y 31 0 определить

тип кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

16

№14

53. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(2;3; 2), B(1;0;0),C( 2; 3; 1), D(4;5;0).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра CA и направляющие косинусы вектора CA,

2)площадь грани ABD,

3)проекцию вектора BC на вектор DA,

4)косинус угла между векторами CA и CB.

54.Даны середины сторон треугольника:

M (2;1), N(4;3), P(3;5). Найти уравнения сторон этого треугольника.

55.Составить уравнения треугольника, если A( 3;3) и

тип кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

17

№15

57. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A( 5;3;2), B(0;2;4),C( 1; 2;0), D(4;5;1).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра DC и направляющие косинусы вектора DC,

2)площадь грани BCD,

3)проекцию вектора AC на вектор DC,

4)косинус угла между векторами AC и AD.

58. Вершины однородной треугольной пластинки находятся в точках A(2; 1), B( 3;3) и C( 1;1). Определить

координаты центра тяжести пластинки (центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан).

59. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: x 3y 12 0 и x 3y 8 0, и

уравнение одной из его диагоналей 2x y 4 0.

60. По уравнению y2 8y 3x 28 0 определить тип

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

18

№16

61. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(4;6; 1), B(3; 1;2),C(0;0;1), D( 2;1;3).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра AB и направляющие косинусы вектора AB,

2)площадь грани BAD,

3)проекцию вектора BC на вектор CD,

4)косинус угла между векторами CA и CB.

62.Дан треугольник с вершинами A(7;0), B(3;4),C(2; 3). Найти уравнение биссектрисы BD .

63.Даны две противоположные вершины квадрата A(0;1) и C(2;3). Найти две другие вершины квадрата.

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

19

№17

65. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A( 1;7;2), B( 3;2;4),C(0;0; 1), D(2;5;3).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра DA и направляющие косинусы вектора DA,

2)площадь грани DCB,

3)проекцию вектора AC на вектор BD,

4)косинус угла между векторами BC и BD.

66. Найти точку, симметричную точке A(1;3) относительно прямой x 3y 3 0.

68.По уравнению 5x2 30x 2y 37 0 определить тип

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

20