Аналитическая геометрия на плоскости и векторная алгебра сборник задач. Учебно-методическое пособие

№18

69. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(0;3;5), B( 1;2;3),C(2; 1;4), D(4; 5;0).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра BD и направляющие косинусы вектора BD

2)площадь грани ABC,

3)проекцию вектора DA на вектор AC,

4)косинус угла между векторами DA и DC.

70. На прямой CD найти точку, равноудалённую от точек

A( 2;3) и B( 4; 5), если C(0;4), D(2;0).

71. В треугольнике ABC известны уравнение стороны AB :2x y 0, уравнения высот AD : 4x 3y 1 0 и BK :

7x 2y 22 0. Составить уравнения сторон AC и BC.

72.По уравнению 5x2 6y2 10x 12y 31 0 определить

тип кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

21

№19

73. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(3;2;4), B( 5;6;1),C(2; 5;3), D(5;2;1).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра BC и направляющие косинусы вектора BC,

2)площадь грани DBA,

3)проекцию вектора BC на вектор BA,

4)косинус угла между векторами BA и BC.

74.Дан треугольник с координатами вершин

A(4;1), B(7;5),C( 4;7). Найти пересечения биссектрисы угла A с противолежащей стороной.

75. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(4;3) и отсекающей от координатного угла треугольник

площадью, равной 3 кв. единицам.

76. По уравнению x2 4x y 3 0 определить тип

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

22

№20

77. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(0;2;6), B(4;0;4),C(1;3; 1), D( 2; 1;0).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра CD и направляющие косинусы вектора CD,

2)площадь грани ADB,

3)проекцию вектора DC на вектор DA,

4)косинус угла между векторами DC и DA.

78. Даны координаты двух смежных вершин прямоугольника: A(1;4) и B(4;0). Составить уравнения

сторон, если известно, что вершина C лежит на оси ординат.

79. На биссектрисе координатного угла y x найти точку, расстояние которой от точки A(2;0) равно 10.

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

23

№21

81. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(2;0; 3), B( 2;3;3),C(1; 5;2), D(3; 2;0).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра DB и направляющие косинусы вектора DB,

2)площадь грани ACD,

3)проекцию вектора DB на вектор DA,

4)косинус угла между векторами DB и DA

82.Показать, что треугольник ABC с вершинами

A( 3; 3), B( 1;3), C(11; 1) - прямоугольник.

83.Составить уравнение двух сторон треугольника, если

уравнения 3x 2y 12 0,7x 2y 12 0, x 2y 4 0

являются соответственно уравнениями стороны и двух высот треугольника.

84. По уравнению x2 2y2 4x 12y 22 0определить

тип кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

24

№22

85. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(2; 1; 2), B(3; 2; 1),C(4;0;2), D(0; 3;4).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра BD и направляющие косинусы вектора BD,

2)площадь грани ABC,

3)проекцию вектора BD на вектор BC,

4)косинус угла между векторами BD и BC.

87. Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину B(4; 8), а также уравнения высоты 7x 9y 1 0 и

стороны 2x 7y 13 0.

88.По уравнению 3x2 y2 12x 4y 4 определить тип

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

25

№23

89. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(3; 2;4), B( 2;1;0),C( 5;3; 1), D(0;5;4).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра BC и направляющие косинусы вектора BC,

2)площадь грани BAC,

3)проекцию вектора BD на вектор BC,

4)косинус угла между векторами BC и BD.

стороны AB. Является ли AB высотой трапеции? Вычислить длину стороны AB.

91.Две вершины равностороннего треугольника находятся в точках A(1;0) и B(2;3). Найти третью вершину C.

92.По уравнению 5x2 30x 2y 37 0 определить тип

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

26

№24

93. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(0; 1;2), B(3; 2;1),C(4;1;0), D( 1;3; 1).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра CD и направляющие косинусы вектора CD,

2)площадь грани BDC,

3)проекцию вектора CD на вектор CA,

4)косинус угла между векторами CD и CA.

94.Дан вершины треугольника A(4;3), B( 12;9),C( 5;15).

Вычислить длину высоты AK и составить уравнение медианы BD.

координат. Составить уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.

96.По уравнению 5x2 6y2 10x 12y 9 определить тип

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры, построить кривую.

27

№25

97. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A( 1;2;0), B(3;1; 2),C( 4;0;2), D(0; 2;3).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра CB и направляющие косинусы вектора CB,

2)площадь грани CAD,

3)проекцию вектора CB на вектор CD,

4)косинус угла между векторами CB и CD.

98. Даны уравнения оснований трапеций 2x y 5 0 и 4x 2y 7 0. Вычислить длину высоты трапеции.

99.Составить уравнения сторон треугольника, зная его

вершину B( 5;3), а также уравнения высоты 6x y 17 0 и медианы 2y x 3, проведённых из различных вершин.

100. По уравнению y2 4x 8y 0 определить тип кривой

II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

28

№26

101. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A( 1;2;3), B(0;1; 2),C(3; 2;0), D(0;4; 1).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра AD и направляющие косинусы вектора AD,

2)площадь грани BAC,

3)проекцию вектора AB на вектор AD,

4)косинус угла между векторами AD и AB.

102.Показать, что треугольник с вершинами A(2; 1), B(4;2), C(5;1) равнобедренный.

103.Составить уравнение прямой, проходящей через точку C( 5;4), зная, что длина её отрезка, заключённого между

прямыми x 2y 1 0, x 2y 4 0, равна 5.

104. По уравнению x2 4y2 4x 0 определить тип кривой

II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

29

№27

105. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(0; 1; 1), B(2;0; 4),C(3; 5;6), D(2; 2;0).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра AC и направляющие косинусы вектора AC,

2)площадь грани BAD,

3)проекцию вектора AC на вектор AB,

4)косинус угла между векторами AC и AB.

106. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения медиан треугольника,

C(0;6) найти расстояние от вершины C до биссектрисы угла

A.

108. По уравнению 2x2 y2 8x 6y 1 0 определить тип

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

30