Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Матрицы и системы уравнений. Учебно-методическое пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

Кафедра математики

С.В. Шерстов

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Матрицы и системы уравнений

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2015

УДК 519 Ш50

Р е ц е н з е н т д-р физ.-мат. наук, проф. Р.З. Муратов

Шерстов С.В.

Ш50 Аналитическая геометрия и линейная алгебра : матрицы и системы уравнений : учеб.-метод. пособие / С.В. Шерстов. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2015. – 17 с.

ISBN 978-5-87623-970-9

Содержание учебно-методического пособия составляют стандартные темы учебного плана по высшей математике: операции над матрицами, определители и матричные уравнения, методы решения систем уравнений и их исследование. Объем материала рассчитан на 1 лекцию в неделю в течение 6 недель.

Предназначено для студентов I курса всех специальностей.

УДК 519

3

4)(λ1 +λ2 )A =λ1 A +λ2 A ;

5)(λ1λ2 )A =λ1 (λ2 A);

6)A(BC )=(AB )C ;

7)(A +B )C = AC +BC ;

8)A(B +C )= AB +AC .

Определение. Матрица Ат транспонированная к А, если столбцы А заменить соответствующими строками:

4. Квадратная матрица

Определение. Последовательность а11, а22, ..., ann квадратной матрицы называется главной диагональю, если все элементы, лежащие вне главной диагонали, равны 0, то матрица диагональная:

Всегда AE =EA = A .

Если AB = BA = E , то В – обратная к А.

B = A-1.

Определение. A1, ..., An – матрицы, λ1, ..., λn – числа, тогда λ1 A1 + ... +λn An – линейная комбинация.

5

2.Определитель матрицы 2-го и 3-го порядка

1.Матрица 2-го порядка:

A =æççça11

èa21

Определение. Определитель матрицы A – это число det A (или |A| ):

det A = A =a11a22 -a21a12 .

2. Квадратная матрица 3-го порядка:

=a11a22a33 +a12a23a31 +a13a32a21 -a31a22a13 -a12a21a33 -a32a23a11 .

det A =1 5 2 +2 6 0 +4 0 3 -3 5 0 -2 4 2 -6 0 1 =10 -16 =-6 .

3. Системы уравнений 2-го и 3-го порядка. Формулы Крамера

1. Системы 2-го порядка:

ìïa11 x1 +a12 x2 =b1,

í

ïïîa21 x1 +a22 x2 =b2 .

6

Тогда xi = DDi .

4. Системы линейных уравнений n-го порядка. Элементарные преобразования. Метод Гаусса

1. Дана система уравнений

которая обращает уравнения системы (1) в верные равенства. Система (1) совместна, если она имеет решения.

Система (1) несовместна, если решений нет.

Система (1) определенная, если решение единственное, в противном случае она неопределенная.

Система однородная, если b1 =b2 =... =bm =0 .

Системы равносильны (эквивалентны), если их решения совпадают.

2. Элементарные преобразования:

1)одно из уравнений системы умножается на число, отличное

от 0;

2)два уравнения системы меняются местами;

3)к одному из уравнений прибавляется другое, умноженное на число.

7

Можно доказать, что элементарные преобразования приводят к равносильной системе.

3. Метод Гаусса

Первый шаг

А) Если a11 =0, то меняем уравнения местами, так чтобы в новой

системе a11 ¹0.

Б) Прибавляем ко 2-му уравнению (1) 1-е уравнение, умноженное

Второй шаг

Повторяем алгоритм первого шага над системой (2) и т.д. После

Анализ системы

1. Если k =n , то решение системы единственное (его получим, двигаясь снизу вверх по уравнениям системы)

8

2. Если k <n , то получим общее решение в следующей форме:

положим xk +1 =C1 , xk +2 =C2 , xn =Cn-k ные постоянные.

Определим x1, ..., xk как в п. 1 .

5. Элементарные преобразования строк (столбцов). Метод Жордана – Гаусса

1. Рассмотрим систему (1) и свяжем с ней расширенную матрицу A :

Тогда элементарным преобразованиям 1) 2) 3) системы (1) соответствуют элементарные преобразования строк матрицы A :

1)строка умножается на число, не равное 0;

2)строки меняются местами;

3)к одной из строк прибавляется другая, умноженная на число. 2. С помощью элементарных преобразований строк и переста-

новки столбцов (как и в методе Гаусса) приводим матрицу A к виду

которой соответствует система (эквивалентная исходной)

исследование которой описано в методе Гаусса.

9