Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Матрицы и системы уравнений. Учебно-методическое пособие

Определение. Алгебраические дополнения Aij к элементу aij ма-

трицы называют число Aij =(-1)i +j Mij .

Пример

A23 =(-1)2+3 M 23 =(-1)5 17 82 =(-1) (-6)=6.

2. Определение. Определитель матрицы A (n´n) равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

det A = A =ai1 Ai1 +ai 2 Ai 2 +... +ain Ain

или

=1 +6 +6 -3 -3 -4 =3.

3.Свойства определителя

1)Определитель не меняется при элементарных преобразованиях столбцов и строк 3-го типа.

2)Определитель равен 0, если есть строки (столбцы), состоящие из нулей.

3)Определитель меняет знак при элементарном преобразовании 2-го типа.

4)При умножении строки (столбца) на число λ определитель умножается на λ .

5)Если две строки одинаковые, то det A = 0.

6)Если строка (столбец) есть линейные комбинации других строк, то A =0 .

7)При транспонировании матрицы определитель не меняется.

11

Если C = AB и они имеют одинаковые размерности, то

C= A B .

4. Практические способы нахождения определителей Первый способ. Обнуление строки (столбца):

12

7. Обратная матрица. Матричные уравнения. Формулы Крамера

Аналогично, используя формулу разложения определителя по столбцу, получаем что A-1 · A =E .

13

Определение. Строки ai1, ai 2 , ..., aim – линейно независимы, если

из c1ai1 +c2ai 2 + ... +cmaim =0 следует c1 =c2 =... =cm =0 , в противном случае они линейно зависимы.

Теорема. О линейной зависимости строк.

Строки ai1, ..., aim – линейно зависимы тогда и только тогда, когда одна из них есть линейная комбинация остальных.

минора: rang A = K .

2. Теорема. О ранге матрицы.

Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк (столбцов).

14

Доказательство. A – данная матрица (rang A = K ) → A ¢ – преобразованная матрица.

Рассмотрим элементарные преобразования трех типов. Элементарные преобразования 1):

Элементарные преобразования 2): так как строки меняются ме-

стами, то M k¢+1 = M k +1 =0. Элементарные преобразования 3):

M k¢+1 =M k(1+)1 +λ M k(2+)1 =0 +λ 0 =0,

где M k(1+)1 , M k(2+)1 – миноры (k+1)-го порядка матрицы A .

Таким образом, M k¢+1 =0.

Если допустить, что все M k¢ =0 , то, делая преобразования, обратные 1) 2) 3), получаем для матрицы A , что все M k =0 , что противоречит условию теоремы. Следовательно, существует

M k¢ ¹0 rang A ¢=K .

Лемма 1. О максимальном числе линейно зависимых строк. Строки a1, ..., am – линейно зависимы M1,j1...,...,m, jm =0 для всех

j1, ..., jm .

Лемма 2. О максимальном числе линейно независимых строк. Если a1, ..., am линейно независимы, а остальные – их линей-

ные комбинации, то m – максимальное число линейно независимых строк A .

Теорема. О нулевом определителе.

A =0 строки матрицы A линейно зависимы. Теорема. О базисном миноре.

Базисные строки линейно независимы, а остальные – их линейные комбинации.

Теорема. О ранге матрицы.

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк.

9.Теорема Кронекера – Капелли. Вычисление ранга матрицы

1.Теорема Кронекера – Капелли

Система уравнений (1) AX =B совместна тогда и только тогда, если rang A =rang A ¢.

15

2. Метод элементарных преобразований Путем элементарных преобразований строк и столбцов можно

rang A =2.

3. Метод окаймляющих миноров

Этот метод состоит в том, что к найденному ненулевому минору k-го порядка добавляются оставшиеся строки и столбцы до тех пор, пока не обнаружится ненулевой минор (k +1)-го порядка и т.д. Если все окаймляющие миноры (k +1)-го порядка равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Вычислим минор 2-го порядка:

M1223 ¹0.

Вычислим миноры 3-го порядка:

M123123 =-4 -12 -10 +12 +10 +4 =0,

M123234 =-40 +4 -3 -10 +1 +48 =0,

M123235 =-10 -8 -21 +20 +12 +7 =0. Следовательно,

rang A = 2.

16