Аналитическая геометрия на плоскости и векторная алгебра сборник задач. Учебно-методическое пособие

№28

109. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(1; 2;4), B(0;3; 5),C( 2;0;6), D(3; 1;0).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра BA и направляющие косинусы вектора BA,

2)площадь грани BDC,

3)проекцию вектора BA на вектор BD,

4)косинус угла между векторами BA и BD.

прямых, проходящих через точку пересечения медиан треугольника, одна из которых перпендикулярна оси OX , а

вторая перпендикулярна к стороне 7x 4y 24.

111. Составить уравнения сторон квадрата, если известны координата вершины A( 1;8) и уравнения диагоналей

4x 5y 3 0 5x 4y 27 0.

112. По уравнению x2 4y2 8x 0 определить тип кривой

II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

31

№29

113. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(0; 1; 2), B( 3;0;3),C(2;2;4), D(2;1;0).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра DB и направляющие косинусы вектора DB,

2)площадь грани ADB,

3)проекцию вектора DB на вектор DC,

4)косинус угла между векторами DB и DC.

уравнение одной из его диагоналей: y x 2. Вычислить площадь ромба.

116. По уравнению y2 6y x2 2x 0 определить тип

кривой II порядка, привести уравнение к диагональному виду, указать параметры и построить кривую.

32

№30

117. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(0;3; 2), B(4; 1;1),C(3;0; 1), D(2; 3;0).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра CA и направляющие косинусы вектора CA,

2)площадь грани BDC,

3)проекцию вектора CB на вектор CA,

4)косинус угла между векторами CB и CA.

пересечения медиан. В каких точках этот перпендикуляр пересекает оси координат?

120. По уравнению x2 8x 4y2 0 определить тип кривой

II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

33

№31

121. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A( 1; 1; 1), B(0;2;4),C(3;0;5), D(1; 4;2).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра DA и направляющие косинусы вектора DA,

2)площадь грани DBC,

3)проекцию вектора DA на вектор DB,

4)косинус угла между векторами DB и DA.

122. Параллельно прямой 4x 2y 1 0 через точку A(4; 3) проведена прямая. В какой точке она пересекает ось ординат?

123.Определить площадь ромба ABCD, если известны координаты двух вершин A(3; 4) и C(3;8), вершина B лежит на оси Oy.

124.По уравнению 2x2 y2 8x 6y 1 0 определить тип

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

34

№32

125. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(2;0;2), B(3; 1;0),C(6;7; 5), D(0;1; 1).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра DC и направляющие косинусы вектора DC,

2)площадь грани ADB,

3)проекцию вектора DA на вектор DC,

4)косинус угла между векторами DA и DC.

126. Написать уравнение прямой, если известно, что её расстояние от начала координат равно 5, а перпендикуляр, опущенный на неё из начала координат, составляет с осью

Ox угол 600.

127. Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину A(3; 1), а также уравнения высоты x 4y 10 0 и

медианы 3x 5y 13 0, проведённых из одной вершины.

128. По уравнению 4x2 y2 4y 0 определить тип кривой

II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

35

№33

129. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(4;2; 3), B(2;0; 6),C(1; 2;7), D( 2;1;5).

Найти средствами векторной алгебры:

5)длину ребра BC и направляющие косинусы вектора BC,

6)площадь грани BAC,

7)проекцию вектора BA на вектор BC,

8)косинус угла между векторами BA и BC.

131. Найти площадь ромба, у которого сторона и диагональ лежат соответственно на прямых y 2x 2 0 и x 3 0,

а длина данной диагонали равна 12 единиц.

132. По уравнению y2 8y 2x 12 0 определить тип

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

36

№34

133. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A( 1;2; 3), B(0;5; 4),C(2;2;3), D(7;0; 2).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра CD и направляющие косинусы вектора CD,

2)площадь грани BDC,

3)проекцию вектора CA на вектор CD,

4)косинус угла между векторами CD и CA.

134.Написать уравнение прямой, параллельной биссектрисе первого координатного угла и проходящей через точку пересечения прямых x 5y 4 0 и 3x 2y 1 0.

135.Составить уравнения сторон равнобедренной трапеции с острым углом в 45˚ и длинами оснований в 6 и 10 единиц, если большее основание лежит на оси Ox, одна из вершин

совпадает с началом координат.

136. По уравнению x2 8x 4y2 0 определить тип кривой

II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

37

№35

137. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A(6;0; 6), B( 1;2;5),C(2; 3;4), D(0; 4;1).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра DB и направляющие косинусы вектора BD,

2)площадь грани DAC,

3)проекцию вектора DB на вектор DA,

4)косинус угла между векторами DB и DA.

138. Две прямые пересекаются в точке A(2; 5). Найти

острый угол между ними, если одна из них проходит через точку B(1; 3), а другая через точку C(4;1). Составить

уравнение одной из средних линий треугольника ABC.

определить тип кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

38

№36

141. Даны координаты вершин пирамиды ABCD :

A( 1;2;0), B(2;0; 3),C(1;4; 1), D(0; 2;1).

Найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра BC и направляющие косинусы вектора BC,

2)площадь грани ABD,

3)проекцию вектора BC на вектор BA,

4)косинус угла между векторами BA и BC.

142. В треугольнике известны вершины A( 3;1), B(3;5) и

Составить уравнение перпендикуляра, проведённого из вершины A на медиану CD.

кривой II порядка, привести уравнение к каноническому виду, указать параметры и построить кривую.

39