Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Практикум. Учебное пособие
.pdf
71
13. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
рис. 35
A(0; –1; 2) параллельно плоскости: а) Oxy; б) Oyz; в) Oxz.
Указание. Вектор k = {0; 0; 1} –
единичный вектор оси Oz перпендикулярен плоскости Oxy; следовательно,
он перпендикулярен искомой плоскости α (т.к. α || Oxy).
Составляем уравнение плоскости по
точке A(0; –1; 2) и N = k = {0; 0; 1}
(см. пример 1 пункт 2.2.2): α: z – 2 = 0.
Аналогично решаем задачи б) и в).
б) N = i = {1; 0; 0}, α: x = 0.
в) N = j = {0; 1; 0}, α: y + 1= 0.
Ответ: а) z – 2 = 0; б) x = 0; в) y + 1 = 0.
14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
A(0; 1; 1) и B(2; 1; –1) перпендикулярно плоскости : а) Oxy; б) Oxz.
Указание. Нормальным вектором плоскости Oxy является вектор
k = {0; 0; 1} – единичный вектор оси Oz. Составим уравнение плоскости, проходящей через две точки A(0; 1; 1) и B(2; 1; –1) и перпендикулярной плоскости, имеющей нормальный вектор N = {0; 0; 1},
используя один из способов решения задачи 5 пункта 2.5. α: y – 1 = 0.
Аналогично для задачи б): N = j = {0; 1; 0}. α: x + z – 1= 0.
Ответ: а) y – 1 = 0; б) x + z – 1= 0.
15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
A(–1; 0; 2) и B(2; 3; –1) параллельно оси Oz.
Указание. На оси Oz можно взять единичный вектор k = {0; 0; 1}.
Решение задачи аналогично решению задачи 2 пункт 2.5.
Ответ: x – y + 1 = 0.
16. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и
точку A(2; –1; 6).
Указание. Плоскость α проходит через ось Ox, следовательно, и
через точку O(0; 0; 0). На оси Ox можно взять единичный вектор
i = {1; 0; 0}. Уравнение искомой плоскости составляем по двум точкам A(2; –1; 6) и O(0; 0; 0) и вектору i, параллельному плоскости
(см. решение задачи 2 пункт 2.5).
Ответ: 6y + z = 0.
72
17. При каком значении А плоскость Ax + 2y – 7z – 1 = 0 будет
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
AA
321
12
6342
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
CBACBA
CCBBAA
.
14
21
212
213
212
3
84
3
146
3
941114
31)2(112
cos
14
21
arccos,
14
21
cos
.
1
3
2
2
1
1 zyx
перпендикулярна плоскости 2x – y + 2z = 0?
Указание. Из общих уравнений плоскостей α
и α
: 2x – y + 2z = 0 находим векторы нормалей N1 = {A; 2; –7}
2
: Ax + 2y – 7z – 1 = 0
1
и N2 = {2; –1; 2}. Используя условие перпендикулярности двух
плоскостей A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 (2.2.6), получаем
A∙2 + 2∙(–1) + (–7)∙2 = 0 A = 8.
Ответ: A = 8.
18. При каком значении А плоскости 2x +3y – 6z – 23 = 0 и
4x + Ay – 12z + 7 = 0 будут параллельны?
Указание. α1: 2x +3y – 6z – 23 = 0 N1 = {2; 3; –6}, α2: 4x + Ay –
– 12z + 7 = 0 N2 = {4; A; –12}. Из условия параллельности плоско-
стей α
|| α2 следует
1
. Поэтому
A = 6.
Ответ: A = 6.
19. Найти угол между двумя плоскостями: 2x + y + z + 7 = 0 и
x – 2y + 3z = 0.
Указание. α1: 2x + y + z + 7 = 0, N1 = {2; 1; 1}; α2: x – 2y + 3z = 0,
N2 = {1; –2; 3}
(2.2.4)
Ответ:
.
20. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через
точку A(1; 2; –3) параллельно вектору ā = {1; –2; 1}.
Указание. См. решение примера пункта 2.3.1.
Ответ:
21. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей
через точку A( –2; 3; 1) параллельно вектору ā = {3; –1; 2}.
Указание. См. решение примера 1 пункта 2.3.2.
73
Ответ:
12
3
23
tz
ty
tx
;
2
2
20
1 zyx
.
22
2
1
tz
ty
x
.
1
2
0423
042
y
x
yx
yx
kji
kji
NNs 8144
523
321
21
47
1
2
2
8
0
14
)1(
4
2
:
zyxzyx
L
.
47
1
2
2
t
zyx
22. Составить канонические и параметрические уравнения
прямой, проходящей через точки A(1; 0; –2) и B(1; 2; –4) .
Указание. См. решение примера 1 пункта 2.3.3.
.
Ответ: а)
б)
23. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей x – 2y + 3z – 4 = 0 и
3x + 2y – 5z – 4 = 0.
Указание. Cм. пример 1 пункт 2.3.4. Пусть z =0, тогда координаты
x и y точки M0 находим, решая систему:
Следовательно, точка M0, лежащая на искомой прямой, имеет ко-
ординаты M0(2; –1; 0). Для нахождения направляющего вектора искомой прямой из общих уравнений плоскостей α
и α
: 3x + 2y – 5z – 4 = 0 находим нормальные векторы N1 = {1;–2; 3}
2
: x – 2y + 3z – 4 = 0
1
и N2 = {3; 2; –5}.
s = {4; 14; 8}.
Канонические уравнения прямой находим по точке M0(2; –1; 0) и
направляющему вектору s = {4; 14; 8}.
Параметрические уравнения прямой можно найти по формуле (2.3.2)
или из канонических уравнений:
Имеем:
74
.417
22
:
4
71
22
4
7
1
2
2
tz
ty
tx
l
tz
ty
tx
t
z
t
y
t
x
47
1
2
2 zyx
tz
ty
tx
4
17
22
012
02
z y x
z yx
l:
.
2
4
3
3
1
2 zyx
3
5
3
2
51
2
37
2
15
2
2
2
21
21
21
z
y
x
z
y
)(
x
zz
z
yy
y
xx
x
.
4
1
1
4
5
2 zyx
рис. 36
рис. 37
Ответ:
;
24. Через точку M0(2; –3; –4) провести прямую, параллельную
прямой
Указание. Канонические уравнения
искомой прямой l1 найдем по точке
M0 и направляющему вектору s. Так
как l1 || l то за направляющий вектор
s1 прямой l1 можно взять направляю-
щий вектор s прямой l. Далее см.
решение задачи 23 пункт 2.5 или
пример 1 пункт 2.3.4.
Ответ:
25. Найти уравнение медианы треугольника ABC, проведенной из
вершины B, если A(–5; 7; 1), B(2; 4; –1), C(–1; 3; 5).
Указание. Координаты точки M найдем из условия AM = MC (так
как BM – медиана треугольника ABC).
.
M(–3; 5; 3)
Составим канонические уравнения
прямой BM по двум точкам B(2; 4; –1) и
M(–3; 5; 3) (см. пример 1 пункт 2.3.3)
Ответ:
75
26. Написать канонические и параметрические уравнения прямой,
0
2
0
2
1
1 zyx
.22
1
z
y
tx
7
4
3
2
5
3 zyx
tz
ty
tx24
3
2
1
2
3
3 zyx
рис. 38
проходящей через точку M0(–1; –2; 2) параллельно оси Ox.
Указание. Вектор i = {1; 0; 0} – единичный вектор оси Ox параллелен искомой прямой. Следовательно, его можно принять за направляющий вектор прямой s = i = {1; 0; 0}. Составим уравнения
прямой по точке M0(–1; –2; 2) и вектору s = {1; 0; 0} (см. пример
пункт 2.3.1. и пример 1 пункт 2.3.2).
Ответ:
;
27. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через
точку M0(3; –2; 4) перпендикулярно плоскости 5x + 3y – 7z +1 = 0.
Указание. Из общего уравнения плоскости α: 5x + 3y – 7z + 1 = 0 найдем нормальный вектор N = {5; 3; –7}. По условию искомая прямая l α, следовательно, вектор N || l, т.е. вектор N является
направляющим вектором прямой
l: N = s = {5; 3; –7}. Составляем
канонические уравнения прямой по точке M0 (3; –2; 4) и
направляющему вектору s = {5; 3; –7} (см. пример пункт 2.3.1).
Ответ:
28. Составить параметрические уравнения перпендикуляра,
опущенного из начала координат на плоскость 4x – y + 2z – 3 = 0.
Указание. Составим уравнение искомого перпендикуляра, т.е.
прямой, перпендикулярной плоскости α: 4x – y + 2z – 3 = 0 и проходящей через точку O(0; 0; 0) (см. решение задачи 27 пункт 2.5 и
примера 1 пункт 2.3.2).
.
29. Найти точку пересечения прямой l:
кости α: x – 2y + z – 15 = 0.
Ответ:
и плос-
76
Указание. Чтобы найти точку M
0152
3
2
1
2
3
3
z y x
zyx
;232
33
:
tz
ty
tx
l
23
2
33
01523)2(233
0152
23
2
33
:
tz
ty
tx
ttt
zyx
tz
ty
tx
M
38
10
33
2123
212
3123
12
z
y
x
z
y
x
t
;132
4
:
tz
ty
tx
MP
рис. 39
рис. 40
пересечения прямой l и плоскости α
надо решить систему уравнений:
.
Для решения системы канонические
уравнения прямой преобразуем в параметрические уравнения (см.
пример 1 пункт 2.3.2).
M(33; –10; –38).
30. Найти проекцию точки M(4; –3; 1) на плоскость x + 2y –z –3=0.
Найдем точку Р – точку пересечения прямой МР и плоскости α
(см. решение задачи 29 пункт 2.5).
Ответ: M(33; –10; –38).
Указание. Проекцией точки М на
плоскость будет точка P – точка пересечения перпендикуляра, опущенного из
точки М на плоскость α, и плоскости α.
Составим параметрические уравнения
перпендикуляра МР (см. решение
задачи 28 пункт 2.5).
77
032
1
32
4
:
zyx
tz
ty
tx
P(5; –1; 0).
.
2
1
13
2 zyx
2
1
13
2 zyx
.2;
2
1
;
2
1
0323
2
1
13
2
: B
z y x
zyx
B
2
1
1
1
1
1
.
21
1
3
3 zyx
рис. 41
Ответ: P(5; –1; 0).
31. Найти проекцию точки А(1;2;1) на прямую
Указание. Проекцией точки А на прямую
l:
является точка В пересе-
чения прямой l и плоскости α, проходящей
через точку А перпендикулярно прямой l. Из
канонических уравнений прямой l найдем
направляющий вектор s = {3; –1; 2}. Плоскость α перпендикулярна прямой l, следова-
тельно, s α. Таким образом, вектор s
можно взять за нормальный вектор плоскости α: N = s = {3; –1; 2}.
Составим уравнение плоскости α по точке А(1; 2; 1) и нормальному
вектору N = {3; –1; 2} (см. пример 1 пункт 2.2.2):
α: 3(x – 1) – 1(y – 2) + 2(z – 1) = 0
α: 3x –y + 2z – 3 = 0.
Найдем точку В пересечения прямой и плоскости α (см. задачу 29
пункт 2.5):
1
Ответ: B(–
1
/
; –
/
; 2).
2
2
32. Через точку M(3; –1; 0) провести прямую, параллельную двум
плоскостям α
: x – y + z – 3 = 0 и α2: x + y + 2z – 3 = 0.
1
Указание. Плоскости α1 и α2 не параллельны, т.к. не выполняется
условие (2.2.5):
Искомая прямая l, параллельна плоскостям α1 и α2, следовательно,
параллельна линии пересечения этих плоскостей (см. решение задач
24 и 23 пункт 2.5). Ответ:
. Поэтому плоскости α
и α2 пересекаютя.
1
78
33. Составить уравнение плоскости, проходящей через две
5
1
3
27zyx
.
1
2
1
3
5
5 zyx
kji
kji
ssN
15
37
15
57
11
53
115
537
21
kji 8328
5
1
3
27zyx
5
1
3
27zyx
MM
1
MM
1
;0
115
537
120
:
zyx
рис. 42
рис. 43
прямые
и
Указание. 1 способ. Составим
уравнение искомой плоскости α
по точке M1, лежащей на прямой l1, и нормальному вектору
N. Вектор N будет равен век-
торному произведению направляющих векторов прямых l1 и
l2. Направляющие векторы s1
и s2 найдем из канонических уравнений прямых l1 и l2 (формула
2.3.1): s1 = {7; 3; 5} и s2 = {5; 1; –1}.
Координаты точки M1 найдем из канонических уравнений прямой
l1:
M1(0; 2; –1). Составляем уравнение плоскости
α по точке M1(0; 2; –1) и вектору нормали N = {–8; 32; –8} (см.
пример 1 пункт 2.2.2) α: x – 4y +z + 9 = 0.
2 способ. Из канонических ура-
внений прямых l1 и l2 находим направляющие векторы s1 ={7; 3; 5}
и s2 ={5; 1; –1}. Точку M1(0; 2;–1)
находим из уравнений прямой l1:
извольную точку плоскости M(x; y; z). Векторы
компланарны, следовательно, (
, s
, s2) = 0. Из этого условия
1
получаем уравнение плоскости:
. Возьмем про-
, s
и s2 –
1
Ответ: x – 4y +z + 9 = 0.
79
34. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
1
1
2
1
1
1 zyx
.
1
11
2
10
1
12
1
1
2
1
1
1 zyx
.1sMMN
o
01
MM
kji
kji
N 35
121
211
рис. 44
M0(2; 0; 1) и прямую
.
Указание. Убедимся прежде всего,
что точка M0 на данной прямой не
лежит:
Точку M1
и направляющий вектор находим из
канонических уравнений прямой
: M1(1; –1; –1) и
s = {1; 2; –1}. Нормальный вектор искомой плоскости равен
Координаты нормального вектора найдем, зная
координаты вектора s ={1; 2; –1} и
= {1; 1; 2}:
.
По точке M0(2; 0;1) и нормальному вектору N = {–5; 3; 1} состав-
ляем уравнение искомой плоскости:
–5(x – 2) + 3(y – 0) + 1(z – 1) = 0.
Ответ: 5x – 3y – z – 9 = 0.
80
3.1. Задачи к главе 1
4;
3
14
O
10
1. Отрезок MN разделен точками A и B на три равные части. Опреде-
лить координаты точек деления, если M(–2; 3) и N(4; 6).
Ответ: A(0; 4), B(2; 5).
2. Найти точку пересечения медиан треугольника (центр тяжести),
если A(2; 2), B(4; 6), C(8; 4).
Ответ:
3. Дана точка N(–3; 2). Найти координаты точек, симметричных
точке N относительно оси Ox, Oy, начала координат.
Ответ: A(–3; –2), B(3; 2), C(3; –2).
4. На оси абсцисс найти точку B, расстояние от которой до точки
A(3;–3) равно 5.
Ответ: B1(7; 0), B2(–1; 0).
5. Даны вершины треугольника A(–3; –2), B(0; 2), C(6; –3). Найти
расстояние от точки O – точки пересечения медиан треугольника, до вершины B.
Ответ:
6. Даны две смежные вершины параллелограмма A(–3; –1), B(1; 5) и
точка пересечения его диагоналей M(2; 2). Найти координаты
двух других вершин.
Ответ: C(7; 5), D(3; –1).
7. Лежат ли на окружности x2 + y2 = 25 точки A(–3; 4), B(3; 1)?
Пересекается ли эта окружность с прямой x = 5?
Ответ: а) лежит; б) не лежит; в) в одной точке C(0; 5).
8. Лежат ли точки A(2; 4), B(–3; 3) на прямой 3x – 2y + 2 = 0?
.
.
Ответ: а) лежит; б) не лежит.
9. Определить, при каком значении “b” прямая
(b2 + b)x + (b – 3)y – 2b – 4 = 0
а) проходит через начало координат; б) параллельна оси Ox;
в) параллельна оси Oy.
Ответ: а) b = –2; б) b = 0 и b = –1; в) b = 3.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]