Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Практикум
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»
Н. В. Минеева
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Утверждено в качестве практикума
Ученым советом Федерального государственного бюджетного
образовательного учреждения высшего образования
«Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»
Комсомольск-на-Амуре
2017
УДК 514(07)
ББК 22.151.54я7
М616
Рецензенты:
Кафедра информационной безопасности, информационных систем
и физики ФГБОУ ВО «Амурский гуманитарно-педагогический
государственный университет», и.о. зав. кафедрой
кандидат физико-математических наук А. Н. Анисимов;
Г. Н. Сумина, кандидат педагогических наук, доцент кафедры
математики ФГБОУ ВО «Амурский гуманитарно-педагогический
государственный университет»
Минеева,
Н. В.
М616 Аналитическая геометрия : практикум / Н. В. Минеева. –
Комсомольск-на-Амуре : ФГБОУ ВО «КнАГТУ», 2017. – 51 с.
ISBN 978-5-7765-1211-7
В данном практикуме излагаются традиционные разделы курса аналитической
геометрии: прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве, кривые на плоскости. Большое внимание уделяется разбору примеров и задач, иллюстрирующих основной теоретический материал.
Каждый раздел содержит наборы задач для практических занятий
и самостоятельных работ. Также в практикуме приведены варианты индивидуальных
домашних заданий, типовые варианты контрольной работы и теста.
Практикум предназначен для подготовки бакалавров по направлениям: 15.03.03 –
«Прикладная механика», 01.03.02 – «Прикладная математика и информатика», 09.03.01 –
«Информатика и вычислительная техника», 02.03.03 – «Математическое обеспечение и
администрирование информационных систем», 09.03.02 – «Информационные системы
и технологии», 09.03.04 – «Программная инженерия» очной формы обучения.
УДК 514(07)
ББК 22.151.54я7
ISBN 978-5-7765-1211-7 © ФГБОУ ВО «КнАГТУ», 2017
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ .................................................................................................. 4
ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................... 4
1. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ ............................................................................ 4
1.1. Прямая на плоскости................................................................................ 4
1.1.1. Практическое занятие ................................................................ 12
1.1.2. Самостоятельная работа .......................................................... 12
1.2. Плоскость в пространстве ..................................................................... 13
1.2.1. Практическое занятие ................................................................ 18
1.2.2. Самостоятельная работа .......................................................... 19
1.3. Прямая в пространстве .......................................................................... 19
1.3.1. Практическое занятие ................................................................ 24
1.3.2. Самостоятельная работа .......................................................... 25
2. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ ........................................................................ 26
2.1. Кривые второго порядка ........................................................................ 26
2.1.1. Практическое занятие ................................................................ 30
2.1.2. Самостоятельная работа .......................................................... 31
2.2. Кривые, заданные уравнениями в полярной системе
координат ................................................................................................ 31
2.2.1. Практическое занятие ................................................................ 34
2.2.2. Самостоятельная работа .......................................................... 34
3. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ .................................... 35
3.1. Индивидуальное домашнее задание 1 .................................................. 35
Решение типового варианта ................................................................ 38
3.2. Индивидуальное домашнее задание 2 .................................................. 42
Решение типового варианта ................................................................ 45
4. ТИПОВОЙ ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ................................. 48
5. ВАРИАНТ ТЕСТА С ОТВЕТАМИ ............................................................. 48
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................. 49
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................................. 50
3
x
x
A
ПРЕДИСЛОВИЕ
Практикум «Аналитическая геометрия» написан в соответствии с
требованиями федерального государственного образовательного стандарта
высшего профессионального образования.
Данный практикум является частью учебно-методического комплекса по дидактической единице «Аналитическая геометрия». Он служит дополнением к базовым учебникам и учебным пособиям, указанным в списке
основной учебной литературы рабочей программы. Практикум предназначен для проведения практических аудиторных занятий, контрольных и самостоятельных работ, тестирования и выдачи индивидуальных домашних
заданий.
Описание основных методов решения сопровождается необходимыми теоретическими сведениями, подробным решением задач, что в значительной степени облегчает подготовку к контрольной или самостоятельной
работе, тестированию. Подробное решение типового варианта окажет помощь при решении
и оформлении индивидуального домашнего задания.
ВВЕДЕНИЕ
В этом практикуме приведены краткие теоретические сведения из
курса аналитической геометрии: прямая на плоскости, плоскость и прямая
в пространстве, кривые на плоскости в прямоугольной и полярной системах координат.
Изложение теоретического материала иллюстрируется подробно решенными задачами, аналогичными тем, которые предлагаются в наборах
задач для аудиторных (практических) занятий и в индивидуальных
домашних заданиях. Предлагаются варианты самостоятельных работ по всем разделам, а также типовой вариант контрольной работы и образец теста.
Целью настоящего практикума является оказание помощи студенту в
приобретении навыков решения типовых задач по дидактической единице
«Аналитическая геометрия».
1. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
1.1. Прямая на плоскости
В декартовой прямоугольной системе
координат
yO
на плоскости
любая прямая может быть задана уравнением первой степени относительно
и y:
xByC
0
,
(1.1)
4
B
A
s
A
x
A
A
y
A
yBx
A
A
x
A
x
y
A
B
x
C
где
нулю одновременно; и обратно, каждое уравнение вида (1.1) определяет
прямую.
,,
– некоторые действительные числа, причем A и B не равны
Уравнение (1.1) называется общим уравнением прямой. Вектор
;nAB
перпендикулярен к прямой (1.1) и называется нормальным век-
;
тором прямой. Вектор
направляющим вектором прямой (рис. 1.1).
Рассмотрим частные случаи общего уравнения прямой:
1) Если
уравнение приводится к виду
Это есть уравнение прямой, параллель-
O
ной оси
2) Если
уравнение будет выглядеть так:
.
B ( 0
(
0
0
BA
,
0В
С
, 0
С ), то
параллелен прямой (1.1) и называется
), то
0
C
C
B
.
.
y
x
Это есть уравнение прямой, параллель-
O
ной оси
3) Если
получаем
нию удовлетворяют координаты точки
0; 0O
4) Если
5) Если
Если
и представить в следующем виде:
.
(
0
C
0
. Этому уравне-
, следовательно, прямая проходит через начало координат.
(
0 С
(
0 СB
0B , то уравнение (1.1) можно разрешить относительно
,
0
B
), то получаем
0B
), то получаем
0
), то
0
Уравнение (1.2) называется уравнением прямой с угловым коэф-
C
фициентом
(здесь
k
kb
,
).
B
Угол
, отсчитываемый от положительного направления оси
Рис. 1.1
0
y
. Это уравнение оси
. Это уравнение оси
0
tg .ykxb k
O
O
O
(1.2)
до
.
.
y
прямой против хода часовой стрелки, называется углом наклона прямой.
Число
(рис. 1.2).
Рассмотрим частные случаи уравнения прямой с угловым коэффициентом:
есть ордината точки пересечения прямой с осью
b
5
yO
xky
y
x
y
x
x
x
x
y
x
s
x
Рис. 1.2
ствует и уравнение (1.2) теряет смысл. В этом случае уравнение прямой
a
будет иметь вид
O
. Это есть уравнение прямой, параллельной оси
ем
. Это уравнение самой оси
0
Другие виды уравнений прямой на плоскости приведены в табл. 1.1.
, где a – абсцисса точки пересечения прямой с осью
ние примет вид
прямой, проходящей через начало координат
уравнение будет иметь вид
есть уравнение прямой, параллельной
оси
уравнение самой оси
O
1) Если
0; 0O
2) Если
O
. При
Если
.
b
.
b
(
0
, то
0
получаем
0
O
, то
2
yO
. При
), то уравне-
0k
. Это уравнение
tg0 0k
b
. Это
0
. Это
.
tg
k
не суще-
2
получа-
0a
и
Название уравнения
прямой на плоскости
1 2 3
1. Уравнение прямой
по точке и нормальному вектору
2. Уравнение прямой
по точке и угловому
коэффициенту
3. Уравнение прямой
по двум точкам
4. Каноническое
уравнение прямой
(по точке и направляющему вектору)
5. Параметрические
уравнения прямой
(по точке и направляющему вектору)
Что должно быть из-
вестно из условия задачи
;Mxy
;Mxy
;Mxy
;Mxy
;Mxy
, лежа-
BAn ;
, лежа-
k
и
, лежа-
, лежа-
Точка
щая на прямой, и нор-
мальный вектор
Точка
щая на прямой, и угловой
коэффициент прямой
Точки
222
прямой
Точка
щая на прямой, и вектор
прямой
Точка
щая на прямой, и вектор
000
000
111
, лежащие на
;Mxy
000
, параллельный
nms ;
000
, параллельный
;
mn
прямой
Таблица 1.1
Вид уравнения прямой
на плоскости
00
yy kxx
xx yy
xx yy
где
tR
00
21 21
mn
yy nt
11
xyy
00
xmt
0
0
– параметр
,
,
0Ax x By y
6
B
A
A
B
A
x
y
x
x
x
y
1 2 3
6. Уравнение прямой
в отрезках
Пример 1.1. Даны две точки:
Точки
0;Mb
2
прямой с осями коорди-
Ox
нат
ственно
1
пересечения
и
Oy
и
;0Ma
соответ-
и
1; 5A
Продолжение табл. 1.1
y
x
a
. Записать следую-
2;1B
1
b
щие виды уравнений прямой
a) каноническое уравнение;
b) общее уравнение;
c) уравнение с угловым коэффициентом;
d) параметрические уравнения;
e) уравнение в отрезках.
координаты точек
чаем
315
мой:
Построить рисунок в системе координат.
Решение.
a) Используем уравнение прямой по двум точкам, подставляя в него
и B:
каноническое уравнение прямой
b) Преобразуем каноническое уравнение:
44
c) Выразим из общего уравнения переменную
443150
,
01134 y
.
:
1
yx
12
y
5
. В результате упрощения полу-
51
yx
:
1
3
. Получаем общее уравнение пря-
5
.
4
:y
1x4
1143
5y3
, тогда
,
11
4
xy
– уравнение с угловым коэффициентом.
3
d) Используем каноническое уравнение, приравнивая его левую и
правую части к параметру
Тогда искомые
3
1
x
t
параметрические уравнения будут выглядеть так:
3
:
y
4
,
t
7
,
t
,13tytx
.54
5
,31tytx
.45
x
B
A
x
B
М
e) Преобразуем общее уравнение прямой:
1134
y
, получим
4
11
3
.
1
yx
11
Заменив в последнем равенстве умножение на дробь делением на об-
уравнение в
1
.
A
ратную дробь, получаем
отрезках
:
yx
311411
5
Построим рисунок в системе
-1
1
0
1
М
2
2
координат. Из уравнения в отрезках
следует, что прямая
оси
M
O
и
11
;0
2
3
yO
в точках
соответственно (рис. 1.3).
пересекает
11
M
1
4
0;
и
Взаимное расположение двух
Рис. 1.3
прямых на плоскости. Расстояние
от точки до прямой.
Пусть на плоскости даны две прямые:
l
1
и
l
:0;lAxByC
:
11 1 1
2
:0.lAxByC
22 2 2
Чтобы определить их взаимное расположение, доста-
точно решить систему уравнений:
Если эта система имеет единственное решение
l
пересекаются в точке
и
2
Если система уравнений (1.3) не имеет решений, то прямые
пересекаются, следовательно,
Ax By C
11 1
Ах Ву С
22 2
; yxM
l
l
||
1
000
.
2
.
0,
0.
; yx
, то прямые
00
(1.3)
l
1
l
l
и
2
не
1
Если система уравнений (1.3) имеет бесконечное множество реше-
l
l
и
ний, то
Используя нормальные векторы
1
совпадают.
2
n
n
,
1
прямых
2
l
l
и
1
, можно найти
2
угол между прямыми, так как угол между нормальными векторами равен
l
одному из углов
между прямыми
l
и
1
(рис. 1.4).
2
Из определения скалярного произведения векторов получаем
cosα
nn
12
nn
12
, поэтому
α arccos
nn
12
nn
12
.
8
yBx
A
Если прямые
тами
:lykxb
111
формуле
Пусть на плоскости заданы прямая
tgα
kk
21
1
kk
l
l
и
1
,
222
12
заданы уравнениями с угловыми коэффициен-
2
:lykxb
, откуда
α arctg
, то угол между ними определяется по
kk
21
1
kk
12
.
0:
l
C
и точка
; yxM
. Расстояние d от точки
000
; yxM
до прямой l (рис. 1.5) вы-
000
ражается формулой
CyBxA
Рис. 1.4
d
00
BA
.
22
М
0
(1.4)
Рис. 1.5
Условия взаимного расположения двух прямых, заданных общими
уравнениями либо уравнениями с угловыми коэффициентами, приведены в
табл. 1.2.
Таблица 1.2
Способ задания
прямых
Прямые
и
l
1
заданы
l
2
общими уравнениями
на плоскости
1 2 3
Вид уравнений
прямых
:0lAxByC
11 1 1
:0lAxByC
22 2 2
где
,
n
n
1
векторы:
– нормальные
2
1111
,
;nABl
;nABl
2222
9
Прямые
и
l
1
заданы
l
2
уравнениями с угло-
выми коэффициентами
:lykxb
111
:lykxb
222
где
коэффициенты
,
,
k
– угловые
k
1
2
,
,
A
A
A
A
A
B
A
B
B
A
A
B
y
x
y
x
x
x
B
A
B
A
B
A
Продолжение табл. 1.2
1 2 3
Угол α между прямыми
Условия перпендикулярности прямых
Условия параллельности прямых
Условия совпадения
прямых
Пример 1.2. Даны вершины треугольника
3; 0C
. Требуется найти:
nn
cosα
AA BB
22 22
11 22
12
nn
12
12 12
BAB
nn nn
12 12
AA BB
12 12
n
n
||
2
1
BC
111
BC
222
0
B
11
B
22
tgα
1
21
kk
12
kk
10kk
0
kk
12
k
или
12
4; 1A
2
kk
12
,
,
,
1
k
1
bb
12
5; 6B
и
a)
роне
уравнение стороны
уравнение высоты, проведенной из вершины
b)
длину высоты, проведенной из вершины
c)
уравнение медианы, проведённой из вершины
d)
уравнение прямой, проведенной из вершины
e)
.
;
;
С
;
С
;
параллельно сто-
С
Построить рисунок в системе координат.
Решение.
a) Используем уравнение прямой по двум точкам, подставляя в него
координаты точек
54 1,xy
y
или
195
– уравнение стороны
b) Угловой коэффициент прямой
перпендикулярна стороне
CD
ется по формуле
k
CD
и
1
k
AB
1205
,
, т.е.
4x
yx
:
4
45
01205
1
,
16
, откуда
1
5190,
y
.
равен
k
AB
5
. Так как высота
, то ее угловой коэффициент определя-
1
k
CD
1
. Используем уравнение
5
5
1y
5
прямой по точке и угловому коэффициенту, подставляя в него координаты
,
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]