Аналитическая геометрия. Практикум





x

M











5. Приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому

виду и постройте ее:

a)

b)

c)

2

22

2.1.2. Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Составьте уравнение и постройте линию, каждая точка которой

равноудалена от точки

2. Приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому

виду и постройте ее:

016484

 yxyx

0243122

 yxx

.



3;5A

и от прямой

22

044161223

 yxyx

;

.

05

037163294

 yxyx

.

Вариант 2

1. Составьте уравнение и постройте линию, расстояние каждой точки

которой от точки



3;0A

втрое меньше расстояния от точки



10;0B

.

2. Приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому

виду и постройте ее:

22

01276454169

 yxyx

.

2.2. Кривые, заданные уравнениями в полярной системе координат

Положение некоторой точки M на плоскости в прямоугольной де-

y

картовой системе координат



yxM ;

. Эту точку можно задать и другим способом, используя систему ко-

O

определяется числами x и y, т.е.

ординат, называемую полярной.

Полярная система координат задается точкой люсом, и выходящей из этой точки полупрямой ной осью (рис. 2.8). Положение любой точки

ся двумя числами: расстоянием от этой точки до полюса – длиной радиусвектора точки



вектором

(отсчет углов ведется против часовой стрелки). Числа  и 

OM



OM

и углом  между полярной осью и радиус-

OP

на плоскости определяет-

, называемой по-

O

, называемой поляр-

называют полярными координатами точки M и пишут:

этом

называют полярным радиусом, а  – полярным углом.



Будем считать полярный радиус неотрицательным ( ный угол брать в пределах

(либо

20

). Тогда каждой

31



0

. При

;M

), а поляр-





x



x



M







точке плоскости (кроме полюса

пара чисел

Установим связь между декартовыми и полярными координатами одной и той же точки. Пусть заданы декартова система координат

полярная с полюсом в начале координат и полярной осью, совпадающей с положительным направлением оси

Из треугольника OMN видно, что зависимость между полярными координатами



O

. Для полюса

;

M

Рис. 2.8



точки M и ее прямоугольными координатами

;

P

) соответствует вполне определенная

O

, а полярный угол  не определен.

0

O

(рис. 2.9).

O

y

M

y

O

x

N

Рис. 2.9

x



yx;

и

y

выра-

жается формулами

и обратно:

Замечание. При нахождении угла

верти находится точка

Уравнение вида системе координат.

Пример 2.3. Дана точка

Решение.

Воспользуемся формулами (2.1) для нахождения полярного радиуса и полярного угла:

.

 f

  



 

 

 



определяет некоторую линию в полярной

sin ,

y



22

tg .



1; 3M 

,

y

x

следует учитывать, в какой чет-

. Найти ее полярные координаты.

cos ,

x



(2.1)



32

2

3

1



       



 

 



2

131342,



tg 3.

 

Так как

,

0x

, то точка

0y

M

y

находится в третьей четверти (рис. 2.10),

поэтому

ты точки следующие:

        

Таким образом, полярные координа-

arctg 3

M



2;

 

Пример 2.4. Построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением

Решение.

Для построения кривой в полярной системе координат составим таблицу значений функции

дом

лагаться во всех четвертях. Учитывая четность функции, достаточно построить график при

, то достаточно исследовать функцию при

2

1cos  

при

0cos1 

.







 ,0

, а затем симметрично отобразить его на промежу-



33

2





3

. Поскольку функция периодическая с перио-

 2,0

, можно утверждать, что график будет распо-

2

.

-1

0

x

M

Рис. 2.10



 2,0

. Так как

ток

табл. 2.1, а по данным этой таблицы построим график (рис. 2.11).

,2



Изменения значения аргумента функции

Построенная кривая называется кардиоидой.

. Значения аргумента функции  будем изменять с шагом 20º.

с шагом 20º представим в



Рис. 2.11

33













x





x





x



















0º



2 1,940 1,766 1,5 1,174 0,826 0,5 0,234 0,060 0

2.2.1. Практическое занятие

20º

40º

60º 80º 100º 120º 140º

Таблица 2.1

160º

180º







;5A

2

2;32A

yxy



,









B

,

2

; c)

 



22 22

1. Найдите прямоугольные координаты точек



 





а)

уравнение в полярных координатах и постройте кривую в полярной системе координат: a)





;3C

,



6



2. Найдите полярные координаты точек

2;2C

,

3. Постройте кривую, заданную в полярных координатах:



1

cos2

4. Дано уравнение кривой в декартовых координатах. Напишите это

2.2.2. Самостоятельная работа

;1D

.







0;5D

.



; b)

22 3

yx

 sin13

2

10

; c)

; b)

.

2cos2

22 3

2

yy

6



5



;4B



4





4;0

.

,

Вариант 1

1. Найдите полярные координаты точек

2. Постройте кривую, заданную в полярных координатах:



sin12

Вариант 2

1. Найдите полярные координаты точек

2. Постройте кривую, заданную в полярных координатах:

2sin3

.

2;2 A

2;6A



,

3;0B

.



0;7B

.

34



–

3. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

3.1. Индивидуальное домашнее задание 1

1. Даны четыре точки:



лярно к прямой

;; zyxA

. Требуется найти:

4444

уравнение прямой

a)

уравнение плоскости

b)

уравнение прямой

c)

уравнение прямой

d)

уравнение плоскости, проходящей через точку

e)

AA

угол между прямыми

f)

угол между прямой

g)

h)

расстояние от точки



;; zyxA

,

1111

AA

;

21

AAA

;

321

MA

, перпендикулярной к плоскости

4

NA

, параллельной прямой

4

;

21

AA

и

41

AA

и плоскостью

41

A

до плоскости

4

AA

;

21

AAA



;; zyxA

,

2222

A

AAA

;

321

.

321



AA

;

21

перпендику-

4

;; zyxA

,

3333

AAA

;

321

Номер

варианта



;; zyxA

1111



;; zyxA

2222



;; zyxA

3333



1 (3; 1; 4) (–1; 6; 1) (–1; 1; 6) (0; 4; 1) 2 (–2; 4; 1) (–1; 1; 0) (3; –3; 2) (0; –1; 2) 3 (2; –1; 7) (5; 3; 4) (3; –3; 8) (–1; –3; 5) 4 (2; 1; 6) (1; 4; 9) (2; –3; 7) (4; 5; 4) 5 (8; –3; 2) (5; –4; 5) (3; 2; –2) (4; 1; 3) 6 (6;–3; 1) (2; 0; 4) (3; 1;–2) (4; 1; 2) 7 (7;–3; 4) (6; 1; 4) (3;–1;–2) (3; 2; 2) 8 (0; 5; 1) (2; 4;–4) (–3; 1;–2) (4; –1; –2) 9 (10; 4; –5) (8; 2;–4) (6; 3;–2) (4; 1; –5) 10 (5; 6;

1) (2; 3;–1) (3; 1;–2) (–2; 1; 2) 11 (3; 1; 2) (–1; 0; 1) (–1; 1; 3) (0; –1; 2) 12 (–2; –4; 3) (–1; 1; 5) (4; –3; 2) (3; –1; 7) 13 (–2; 4; 1) (–1; 1; 0) (3; –3; 2) (0; –1; 2) 14 (3; 1; –1) (0; 4; 5) (3; –1; 2) (4; 3; –2) 15 (3; 2; 1) (4; 0; –3) (2; –3; 5) (6; –2; 2) 16 (1; –2; 7) (4; 2; 10) (2; 3; 6) (4; –1; 7) 17 (–2; 3; 4) (–5; 1; 1) (3; 0; 2) (1; 2; –1) 18 (–2; 5; 4) (–3; 2; –1) (0; –2; 6) (1; –1; 7) 19 (7; 2; –3) (2; 4; –5) (3; 1; –2) (2; 1; 3) 20 (8; –3; 4) (5; –6; 4) (3; 1; 2) (4; 1; –3)

;; zyxA

4444

35

C

A

B







x



x









A

C

D

x







2. Даны вершины треугольника

стороны высоты, проведенной из вершины

из вершины

Номер

вари-

анта

1 (–3; –3) (5; –7) (7; 7) 11 (3; 2) (–2; 5) (6; –2) 2 (4; 4) (–8; –6) (3; 8) 12 (–2; 6) (3; –1) (1; 4) 3 (–4; –3) (–7; 3) (1; 4) 13 (2; 5) (3; 3) (–1; 4) 4 (4; –2) (6; –4) (–2; 2) 14 (2; –3) (1; 0) (–2; –4) 5 (2; 3) (–3; 6) (6; 1) 15 (5; 3) (1; 4) (–2; –3) 6 (1; 2) (–3; 1) (3; –5) 16 (–1; –2) (0; –3) (2; 1) 7 (1; –6) (–1; 4) (3; 5) 17 (1; 5) (–3; 0) (–6; 1) 8 (–2; 7) (3; 1) (6; –3) 18 (–3; –5) (2; –2) (1; 0) 9 (–2; 2) (–4; 6) (6; 4) 19 (1; 1) (4; 6) (–5; –1) 10 (–1; 3) (2; 2) (6; –3) 20 (3; 2) (4; –1) (6; 0)

динат на прямую, заданную уравнением

CB

; 2) уравнение высоты, проведенной из вершины A; 3) длину

.



; yxA

3.

Решить задачу:

a)

Найти основание перпендикуляра, проведенного из начала коор-



11

; yxB

22

; yxC

B

. Требуется найти: 1) уравнение

; 4) уравнение медианы, проведённой

Номер



33

вари-

анта

y



; yxA

11

017

. Сделать чертеж.



; yxB

22



; yxC

33



Точка

b)

угольника, катетов этого треугольника. Сделать чертеж.

c)

Найти уравнения прямых, отстоящих на расстояние 2 от начала

координат и образующих угол

Найти уравнения прямых, проходящих через точку

d)

секающих на оси чертеж.

Даны вершины

e)



(

D

ны. Найти координаты вершины

f)

составляющей с осью осью

Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения медиан этого треугольника. Сделать чертеж.

O

g)

). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикуляр-

B

Найти уравнение прямой, проходящей через точку

прямая

Даны вершины треугольника

2;3 C

– вершина прямого угла равнобедренного тре-

0125  y

– уравнение его гипотенузы. Найти уравнения

B

O

. Сделать чертеж.



1;5

,



A

1;2

,

30 с осью

O

отрезок, вдвое больший, чем на оси



A

O

угол, вдвое меньший угла, который составляет с

2;2

,

этой трапеции. Сделать чертеж.

0533  yx

. Сделать чертеж.



1;1A

и от-

yO

. Сделать



3;2C

трапеции ABCD





5;4B

,

6;2A



и

.2;3C

36

x



x



x









A

x











А

x







x

h)

Прямые

моугольника, прямая нения двух других сторон прямоугольника. Сделать чертеж.

i)

Даны вершины треугольника

Найти уравнения средних линий этого треугольника. Сделать чертеж.

j)

Даны вершины треугольника

расстояние от вершины лать чертеж.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку

k)

составляющей с осью осью

ставить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам. Сделать чертеж.

Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения высот этого треугольника. Сделать чертеж.

O

прямая

Даны вершины треугольника

l)

Даны вершины треугольника

m)

n)

Найти проекцию точки

O

022  y

и

– одна из его диагоналей. Найти урав-



до медианы, проведенной из вершины C. Сде-

угол, вдвое больший угла, который составляет с

022

01333  yx

. Сделать чертеж.

y

A



5;4M

062

являются сторонами пря-



A

на прямую, проходящую через

1;1

,



1;2A

B

,



1;1

B

,



1;2A

,

0;2



2;4B





,



2;4

и



5;4 B



,

.3;0C

Найти



1;3C



,

2;1 A

и

. Со-

.3;3C

точки

Найти уравнение высоты, опущенной из вершины денную из вершины

координат и образующих угол

ординат. Вычислить угол между этими прямыми. Сделать чертеж.

лать чертеж.

углом

составляющей с осью осью



Даны вершины треугольника

o)

p)

Найти уравнения прямых, отстоящих на расстояние 3 от начала

Из точек

q)

Найти проекцию точки

r)

Найти уравнения прямых, проходящих через точку

s)

Найти уравнение прямой, проходящей через точку

t)

O

2;3 A

45 к прямой

прямая



и

1;6 B

. Сделать чертеж.



2;1A

и

 y

O

угол, втрое больший угла, который составляет с

. Сделать чертеж.

с осью

60



1;3B

проведены прямые через начало ко-

032

. Сделать чертеж.

017  y

. Сделать чертеж.

O



1;1M

на прямую



4;0A

,

на медиану, прове-

C

. Сделать чертеж.



3;2 B

,

2



1

yx







5,1

2

2;1A

. Сде-

под

3;3 A

и

.5;4C

37

























x



x











Решение типового варианта

Даны четыре точки:

1.

2; 0; 7A



4

a) b) c) d) e)

кулярно к прямой

f) g) h)

. Требуется найти:

уравнения прямой

уравнение плоскости

уравнения прямой

уравнение плоскости

AA

;

21

угол между прямыми

угол между прямой расстояние от точки

AA

MA

4

NA

4

A

Решение.

Уравнения прямой

a)

дящей через две заданные точки



1



12



4







41



1; 4; 1A

1

;

21

AAA

;

321

,



2;1;1A

2

,

1; 2; 2A



3

, перпендикулярной к плоскости , параллельной прямой , проходящей через точку

AA

и

41

AA

и плоскостью

41

до плоскости

4

AA

находим как уравнения прямой, прохо-

21

A

и

1

zyx

A

AA

;

21

AAA

:

2

1

4

;

11



1

5

AA

;

21

A

перпенди-

4

AAA

;

321

.

321

1

.

0

,

AAA

;

321

Тогда направляющий вектор этой прямой b) Уравнение плоскости

AAA

проходящей через три заданные точки

 zух

1)4(1

0

11)4(112





12)4(211

;

 yz

Тогда нормальный вектор этой плоскости c) Из условия перпендикулярности прямой

AAA

следует, что в качестве направляющего вектора прямой

321

можно взять нормальный вектор канонические уравнения прямой

2



5

0





1



MA

4

zyx

7

;

6

1; 5;0s 

находим как уравнение плоскости,

321

A

,

1

2

и

A

:

3

zyx

.



141

051

0



;

160

0)4()1(6)1(5

;

5; 1;6n 

zy

5; 1;6n 

плоскости



01565 

.



MA

и плоскости

4

AAA

321

4

. Тогда

запишутся в следующем виде:

2



15



7

zyx

.

6

MA

38













x





x







s

















d) Из условия параллельности прямых

качестве направляющего вектора прямой



щий вектор

NA

мой

запишутся в таком виде:

4

 zyx

2

1

прямой



0



5



1;5;0s 



AA

. Тогда канонические уравнения пря-

21

7

;

0

e) Из условия перпендикулярности прямой

дует, что в качестве нормального вектора плоскости направляющий вектор кости

 запишем как уравнение плоскости по точке



1; 5; 0s 



прямой

NA

и

4

NA

можно взять направляю-

4

zyx

2

51

AA

. Тогда уравнение плос-

21

7

0

AA

и плоскости  сле-

21

A

вектору:

 zy



f) Направляющий вектор прямой

В качестве направляющего вектора прямой





114

AA

находим как угол между направляющими векторами

21

21;0 4;71 1;4;6sAA





0)7(0)0(5)2(1

;

AA

известен как

21

y

AA

можно взять вектор

41

. Угол  между прямыми

зуя формулу (1.10):

AA

следует, что в

21

.

 можно взять

и нормальному

4

025 

.



1; 5;0s 



AA



s

и

, исполь-

1

.

и

41

cos

ss



1





ss

1



604511



222222

641051





По таблицам значений тригонометрических функций или с помощью

калькулятора определяем

arccos0,566 55 30'.  

g) Угол  между прямой

AA

и плоскостью

41

по формуле (1.11), используя нормальный вектор



AAA

и направляющий вектор

321

sinθ



1; 4 ; 6s 

1

прямой



664)1(15





6416)1(5

По таблицам значений тригонометрических функций или с помощью

калькулятора определяем

h) Расстояние от точки



A

до плоскости

4

2140645,0arcsinθ

зовавшись формулой (1.7):

21

.

566,0



5326



AAA

определяем

321

5; 1; 6n 

AA

41



222222

.645,0

плоскости



:

.

AAA

находим, восполь-

321

39











x





x



A

C

A

B





B



x



x





x

C



H

A

C

A

x

H

A

H

A

C





d

Ответ: a)

2

 zyx

c)

g)







2140



2. Даны вершины треугольника

Координаты вершин треугольника таковы:

2;1 C



15



; h)

a)

уравнение стороны

b)

уравнение высоты, проведенной из вершины

c)

длину высоты, проведенной из вершины

d)

уравнение медианы, проведённой из вершины

.

62

2

 zyx

1

7

6

6237

2



1





5

; d)

.

15760125





2

615



4



1

; b)

154210

37



36125



62

zy

6237

.

62

01565

;

0

 zyx

2



51

B

7

; e)

y

025 

; f)

;

0355



0

BC

. Требуется найти:

;

.

A



5;6



,

4;2B

,

Решение. a) Используем уравнение прямой по двум точкам, подставляя в него

yx

2

координаты точек

B

ны

ляется по формуле

прямой по точке и угловому коэффициенту, подставляя в него координаты

.

b) Угловой коэффициент прямой

перпендикулярна к стороне

и С:

4126  y

, откуда

k

AH

 yx



21



y

1



k

BC

1

точки

k

и

0246  y

– уравнение высоты

c) Длину высоты

до прямой

AH



6

B

:

5  xy

определим по формуле (1.4) как расстояние от

4

,

42

086

, или

B

, то ее угловой коэффициент опреде-

, т.е.

1

6

.

2





1

y

CB

равен

k

AH





6

, откуда

4



,

6



86

– уравнение сторо-

BС

6

. Так как высота

k



yx

1

. Используем уравнение

6

1

4

 xy

, или

6

426

,

AH





2



16



40

85166

2

49



37

3749

.

37