Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Практикум
.pdf
y
x
B
A
M
A
M
B
M
x
x
x
x
B
N
B
A
y
x
N
k
точки
С
и
CD
уравнение высоты
c) Длину высоты
точки
до прямой
С
d) Найдем координаты точки
1
5
:
CD
.
1
0 xy
3
, откуда
5
определим по формуле (1.4) как расстояние от
CD
1
5
190135
:
DC
22
15
34
26
xy
3
, или
5
2634
26
– середины стороны
11
xxxу yy
лам
Имеем
AC M AC
22
x
M
Найдем уравнение медианы
,.
1
34
2
1
2
1
,
y
M
01
2
используя уравнение прямой по
,BM
1
, т.е.
2
M
двум точкам и подставляя в него координаты точек
x
5
6
y
11
56
22
yx
,
9
2
05495511 y
5
6
11
2
, откуда
11 9
,
22
11 9 1 0,
56,
xy
y
или
11 55 9 54,
035
–
2617
.
13
по форму-
C
1
1
;
.
2
2
и
y
01911 y
–
:
уравнение медианы
e) Найдем уравнение прямой
M
.
С
, параллельной стороне
. Из
условия параллельности прямых следует, что угловой коэффициент искомой прямой
kk
ABCN
ловому коэффициенту, подставляя в него координаты точки
350 xy
, откуда
мой
C
.
5
. Используем уравнение прямой по точке и уг-
k
и
515,yx
или
С
0155
– уравнение пря-
CN
5
Построим рисунок в системе координат (рис. 1.6).
3
-5
-4
6
1
0
:
Рис. 1.6
11
B
A
x
A
x
x
pyx
x
l
x
x
l
l
x
l
x
x
А
С
A
А
A
B
A
1.1.1. Практическое занятие
1. Даны вершины треугольника
ставьте уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам.
2. Даны вершины треугольника
те уравнение прямой, проходящей через вершину
ане
секающих на оси
точку пересечения его высот.
раллелограмма
параллельны?
треугольника.
M
3. Найдите уравнения прямых, проходящих через точку
отрезок, втрое больший, чем на оси
Oy
4. Даны вершины треугольника
3; 3C
прямые
и
2; 1A
BCD
5. Точки
6. Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями
025 y
7. При каком значении
8. При каком значении
4; 2B
,
. Найдите уравнения сторон этого параллелограмма.
y
и
0523
.
p
прямые
1; 2A
2; 0A
1; 0A
– последовательные вершины па-
,
,
,
y
1; 3B
и
5; 3B
и
и параллельной меди-
O
4; 1B
и
и
033
0743
и
3; 7C
.
2; 2C
3; 2 .C
. Составь-
1; 3A
. Найдите
y
013 y
Со-
и от-
0742
пер-
пендикулярны?
9. При каком значении
проходящей через точки
10. Найдите расстояние между параллельными прямыми, заданными
уравнениями
1.1.2. Самостоятельная работа
Вариант 1
Даны вершины треугольника
уравнения:
стороны
a)
высоты, опущенной из вершины
b)
медианы, проведённой из вершины C .
c)
Постройте рисунок в системе координат.
Вариант 2
Даны вершины треугольника
BC
;
прямая
1; 2A
0243 y
и
и
1; 4B
y
y
?
.
0143
)3;2(
;
на сторону
)1;2(
;
052
)1;4(В
параллельна прямой,
;
BC
)5;4(В
;
)4;6(
. Составьте
;
)2;3(С
. Составьте
уравнения:
стороны
a)
высоты, опущенной из вершины
b)
C
;
на сторону
12
C
;
A
xyz
x
DzCyBx
A
A
A
DzC
x
A
DzCxA
A
DyBx
A
A
CyBx
A
A
D
D
x
A
D
x
A
DxA
A
A
C
z
x
медианы, проведённой из вершины
c)
Постройте рисунок в системе координат.
1.2. Плоскость в пространстве
В декартовой прямоугольной системе координат
стве любая плоскость может быть задана уравнением первой степени относительно
где
равны нулю одновременно; и обратно, каждое уравнение вида (1.5) опре-
деляет плоскость.
,,,
Уравнение (1.5) называется
, y и z:
BC D
– некоторые действительные числа, причем A, B и C не
общим уравнением плоскости. Вектор
.
O
0
,
в простран-
(1.5)
;;nABС
вектором плоскости
Рассмотрим
1) Если
перпендикулярен плоскости (1.5) и называется нормальным
.
частные случаи общего уравнения плоскости:
(
0
,
0В
С
,
0
D
), то получаем
0
yB
0
.
O
Это уравнение плоскости, параллельной оси
Если
Это уравнение плоскости, параллельной оси
Если
Это уравнение плоскости, параллельной оси
2) Если
Этому уравнению удовлетворяют координаты точки
тельно, плоскость проходит через начало координат.
3) Если
z
.
Эта плоскость параллельна плоскости
0B ( 0
(
0C
(
0D
B
, 0
С , 0
,
0
0
0
(
0
B
,
B
С
D ), то получаем
,
D
,
0
,
0
D
), то получаем
0
), то получаем
0
С
), то получаем
0
.
yO
.
zO
.
yO
.
C
Если
Эта плоскость параллельна плоскости
Если
C
CB
(
0
(
0
,
0B
D
,
0
D
), то получаем
0
), то получаем
0
zO
.
yB
0; 0; 0O
zC
0
, т.е.
0
, т.е.
z
, следова-
0
y
x
0
0
0
, т.е.
D
B
D
.
.
.
.
.
Эта плоскость параллельна плоскости
4) Если
уравнение плоскости
yO
(
0 DB
.
C
0
13
Oyz
.
), то получаем
0
z
, т.е.
. Это
0
A
x
A
x
A
x
M
0
M
M
M
M
M
s
M
M
s
s
x
Если
нение плоскости
DC
0
(
0
zO
.
), то получаем
0B
yB
, т.е.
0y
. Это урав-
Если
нение плоскости
Различные виды уравнений плоскости приведены в табл. 1.3.
Название урав-
нения плоскости
1. Уравнение
плоскости по
точке и нормальному вектору
2. Уравнение
плоскости по
трем точкам
3. Уравнение
плоскости по
двум точкам и
параллельному
вектору
4. Уравнение
плоскости по
точке и двум
параллельным
векторам
5. Уравнение
плоскости в отрезках
DCB
(
0
yzO
.
Что должно быть известно
из условия задачи
Точка
надлежащая плоскости, и
нормальный вектор
;;nABC
Точки
;;
xyz
2222
принадлежащие плоскости
и не лежащие на одной прямой
Точки
;;
xyz
2222
жащие плоскости, и вектор
;;
mn p
плоскости и не параллельный вектору
Точка
надлежащая плоскости, и
векторы
;;
mn p
2222
ные плоскости и не параллельные друг другу
Точки
и
плоскости с осями координат
, Oy и Oz соответственно
Ox
3
1
0;0;Mc
), то получаем
0
;;
xyz
0000
и
;;
xyz
1111
, принадле-
, параллельный
M
12
;;
xyz
1111
mn p
1111
, параллель-
;0;0Ma
пересечения
, при-
;;
xyz
1111
;;
xyz
3333
и
, при-
;;
,
и
0; ; 0Mb
2
,
,
0
, т.е.
Вид уравнения
плоскости
Ax x By y Cz z
xx yy zz
xxyyzz
21 2 121
xxyyzz
31 3131
xx yy zz
xxyyzz
21 2 121
xx yy zz
000
111
111
mn p
mn p
11 1
mn p
22 2
111
yz
abc
. Это урав-
0
Таблица 1.3
1
0
0
0
14
A
A
A
x
A
A
x
x
A
x
x
A
Пример 1.3. Даны координаты точек:
4; 1; 5 .C
a)
b)
c)
d)
e)
:2 3 5 10,xyz
1
Решение.
a) Используем уравнение плоскости по трем точкам, подставляя в
него координаты точек
Написать уравнение плоскости:
проходящей через точки
проходящей через ось
проходящей через точки
проходящей через точку
;0632:π zy
проходящей через точку
4(3)2
ху z
14 5(3) 72 0,
441(3) 52
zx
2
, B и С:
4; 3; 2A
, B и ;С
zO
и точку ;С
и B параллельно оси
параллельно плоскости
перпендикулярно двум плоскостям:
024:
.
234
zух
983
348
1; 5; 7B
,
;Oz
0
.
и
Раскрывая определитель третьего порядка по правилу треугольни-
ков, получим
откуда
точки
b) Найдем уравнение плоскости, проходящей через ось
Так как искомая плоскость проходит через ось
точки, лежащие на оси
0; 0; 0O
подставляя в него координаты точек
zyx
zy
, B и .С
и
0;0;1D
xyzyzx
0252381460
;
0101528160
– уравнение плоскости, проходящей через
zO
. Возьмем любые две из них, например,
. Используем уравнение плоскости по трем точкам,
, D и :С
O
zух
000
0
010000
050104
,
zy
zO
zO
, то она содержит все
zух
0
100
514
,
043639264372212424
,
0104522438124060
и точку С.
,
откуда
через ось
c) Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки
раллельно оси
y
zO
и точку С.
04
, или
zO
. Так как искомая плоскость параллельна оси
y
04
– уравнение плоскости, проходящей
15
и B па-
zO
, то она
A
x
x
A
x
x
A
A
x
x
A
А
А
параллельна и вектору
0; 0;1k
– единичному направляющему вектору
оси
вектору, подставляя в него координаты точек
откуда
проходящей через точки
zO
.
Используем уравнение плоскости по двум точкам и параллельному
, B и вектора
zух
d) Так как искомая плоскость параллельна плоскости
03348 yx
, или
и B параллельно оси
A
2)3(4
0
27)3(541
,
100
432
хуz
38 90,
001
y
02338
– уравнение плоскости,
zO
.
k
:
:2360
Используем уравнение плоскости по точке и нормальному вектору, подставляя в него координаты точки
откуда
yz
, то у них общий нормальный вектор
zy
1; 2 ; 3 .n
и вектора
zyx
01632
– уравнение плоскости, проходящей через точку
0)2(3)3(2)4(1
,
:
n
zy
063624
,
параллельно плоскости .
e) Так как искомая плоскость перпендикулярна к двум плоскостям
01532:
1
zyx
и
zx
2
024:
, то нормальные векторы этих
плоскостей
ем уравнение плоскости по точке и двум параллельным векторам, подстав-
ляя в него координаты точки
1
2; 3; 5n
yzyx
и
zух
06339134812 zy
плоскости, проходящей через точку
стям –
стояние от точки до плоскости.
ми уравнениями:
и
1
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Рас-
.
2
:
111 1
1
1; 0 ; 4n
2
и векторов
2)3(4
532
401
, откуда
0
,
Пусть плоскости
будут ей параллельны. Использу-
n
0382335412
,
перпендикулярно к двум плоско-
0Ax By Cz D
n
и
1
,
:
2
234
zух
532
401
zy
и
1
:
2
222 2
0
,
0331312
– уравнение
заданы общи-
2
zyx
023313412
0Ax By Cz D
(; ; )n
1111
ВС
и
(; ; )n
2222
ВС
– нормальные векторы этих плоскостей
,
;
16
А
А
А
А
DzCyBx
A
соответственно. Из определения скалярного произведения векторов получаем
соs
nn
21
nn
21
2
1
2
1
2
1
CCBBAA
212121
2
2
2
2
,
2
CBACBA
2
(1.6)
где – один из смежных двугранных углов между плоскостями. Поэтому
nn
arccos
21
.
nn
21
ми
2
Рассмотрим
1) плоскости
2) плоскости
3) плоскости
Расстояние
частные случаи взаимного расположения плоскостей:
ВСD
111 1
и
параллельны
2
1
и
1
и
1
d
0:
совпадают
2
перпендикулярны
2
от точки
вычисляется по формуле
d
ВСD
222 2
ВСD
111 1
ВСD
222 2
;; zyxM
до плоскости
0000
DzCyBxA
000
222
CBA
.
;
;
0
CCBBAA
212121
(1.7)
Пример 1.4. Найти угол между плоскостями, заданными уравнения-
0122:
1
zyx
zx
,
2
0243:
.
Решение.
Запишем нормальные векторы этих плоскостей:
3; 0; 4n
. Для вычисления косинуса угла между плоскостями восполь-
1; 2 ; 2n
1
.
,
зуемся формулой (1.6):
nn
соs
откуда
arccos 109 28 .
21
nn
21
1
3
22
2
Пример 1.5. Вычислить расстояние между параллельными плоско-
стями, заданными уравнениями
018632:
2
zyx
.
17
4)2(0231
83
222
403221
1
259
zyx
012632:
1
,
3
и
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Решение.
Расстояние между параллельными плоскостями равно длине перпендикуляра, проведенного из произвольной точки одной плоскости к другой
плоскости.
Найдем координаты какой-нибудь точки, принадлежащей плоско-
сти
. Для этого положим в уравнении этой плоскости, например,
1
0y
и выразим z:
z
0
, откуда
01260302
. Получили точку
2
z
,
0; 0; 2M
0
Теперь воспользуемся формулой (1.7) для вычисления расстояния от
точки
равно
точку
M
Таким образом, расстояние между параллельными плоскостями
1.2.1. Практическое занятие
1. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через ось
2. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точки
1; 2 ; 1A
3. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку
в плоскости
до плоскости
0
d
76
.
1; 2 ; 3M
и
3; 0; 2B
.
1
:
2
2
.
параллельно оси
18260302
22
632
yO
1812
3694
.
6
6
49
.
7
O
и
2; 1; 1M
4. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку
1; 7 ; 5M
5. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точки
2; 3; 1A
6. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку
1; 1; 1M
7. Вычислите расстояние между параллельными плоскостями, задан-
ными уравнениями
8. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку
1; 1; 1M
и перпендикулярна к плоскостям
02 zy
.
и отсекает на осях координат равные положительные отрезки.
и
параллельно плоскости
и линию пересечения плоскостей
1; 5 ; 3B
025 zy
.
перпендикулярно к плоскости
0542
zy
18
zy
02534
и
zy
zy
.
zy
05534
.
zy
0132
01533
0134
и
и
.
x
x
x
x
x
x
l
9. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку
2; 3; 5M
10. Из точки
вание – точка
1.2.2. Самостоятельная работа
Вариант 1
1. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точки
0; 1; 3A
2. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку
0; 0; 0O
Вариант 2
1. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через ось
и перпендикулярна к линии пересечения плоскостей
и
и перпендикулярна к плоскостям
2; 4; 5B
0422 zy
и
2; 1; 3A
1; 2 ; 4B
073 zy
.
. Найдите уравнение плоскости.
параллельно оси
zy
опущен на плоскость перпендикуляр, его осно-
05222
.
O
.
zy
0352
и
yO
и
точку
1; 2 ; 0A
плоскостей. Рассмотрим систему двух уравнений:
эффициенты при переменных x, y, z не пропорциональны, то эти плоскости
пересекаются по некоторой прямой l. Координаты точки удовлетворяют
системе (1.8) тогда и только тогда, когда эта точка лежит на прямой l. Поэтому уравнения (1.8) являются уравнениями прямой
щими уравнениями
параметрическим.
2; 1; 3M
2. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точки
1.3. Прямая в пространстве
Прямую линию в пространстве можно задать как пересечение двух
Каждое из уравнений определяет в пространстве плоскость. Если ко-
Другие виды уравнений прямой в пространстве приведены в табл. 1.4.
Рассмотрим переход от общих уравнений прямой к каноническим и
и
.
1; 1; 2B
перпендикулярно к плоскости
прямой в пространстве.
zy
DzСуВхА
DzСуВхА
,0
1111
2222
.0
и называются об-
0422
.
(1.8)
19
M
M
x
x
M
s
x
M
x
t
l
l
s
s
Таблица 1.4
Название уравнения
прямой в пространстве
1. Уравнение прямой
по двум точкам
2. Канонические
уравнения прямой (по
точке и направляющему вектору)
3. Параметрические
уравнения прямой (по
точке и направляющему вектору)
Что должно быть извест-
но из условия задачи
;;
Точки
;;
xyz
2222
на прямой
Точка
жащая на прямой, и вектор
лельный прямой
Точка
жащая на прямой, и вектор
лельный прямой
l
xyz
1111
, лежащие
;;
xyz
0000
;;
mn p
xyz
0000
, парал-
;; ,
, парал-
pnms ;;
нениями (1.8), т.е. является линией пересечения плоскостей
, которые имеют нормальные
2
и
, ле-
ле-
Пусть прямая l задана урав-
Вид уравнения прямой
в пространстве
xyyzz
xyyzz
21 2 1 21
xyyzz
111
000
mn p
где
xmt
0
yy nt
0
zz pt
0
– параметр
R
,
,
,
и
1
Рис.1.7
стема уравнений (1.8) имеет бесконечное множество решений). Поскольку
имеем
прямой
найдем, вычислив векторное произведение:
11
, следовательно,
,n
22
,n
,nln l
12
– направляющий вектор l. Координаты вектора
nns
векторы
2222
параметрические уравнения прямой
нений (1.8) найдем одно решение
, то вектор
;;nABС
Запишем канонические и
. Для этого из системы урав-
;; zyx
000
kji
CBA
11121
CBA
222
1111
– координаты точки
;; zyxM
, лежащей на l (си-
0000
.
;;nABС
(рис. 1.7).
nns
параллелен
21
и
(1.9)
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]