Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Практикум
.pdf
s
z
s
s
t
Зная координаты точки
M
и вектора
0
ские и параметрические уравнения прямой
Пример 1.6. Прямая задана общими уравнениями:
2310,
ху z
54 70.
хуz
Записать ее канонические и параметрические уравнения.
Решение.
Найдем координаты какой-нибудь точки, лежащей на данной прямой.
Для этого положим в системе, например,
ух
ух
Получили точку
,012
.0745
хy
1; 3; 0M
0
Найдем направляющий вектор данной прямой. Имеем
5; 4; 1n
2
, тогда вычислим координаты вектора
kji
nns
21
312
145
,12
xх
, лежащую на данной прямой.
31
14
, можем записать канониче-
используя табл. 1.4.
,l
0
и найдем значения x и y:
хy
.071245
х
,12
.033
1
по формуле (1.9):
32
12
15
45
x
y
2; 1; 3n
,1
.3
,
.31713
kjikji
Таким образом, направляющий вектор
Подставим координаты точки
раметрические уравнения:
zyx
1
13
где
– параметр.
R
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние от точки до прямой.
уравнениями:
xx
m
1
1
:
l
1
yy
1
n
1
и вектора
M
0
3
;
317
Пусть прямые
zz
1
p
1
:
l
,
2
s
3;17;13
.
в канонические и па-
,131
tx
,173
ty
l
1
m
и
xx
2
tz
2
,3
l
заданы каноническими
2
yy
2
n
2
zz
2
.
p
2
21
s
M
M
s
s
Направляющие векторы этих прямых, соответственно, будут иметь
вид
;; pnms
1111
;; ;
и
mn p
2222
точки
;; zyxM
и
1111
;; zyxM
2222
принадлежат прямым.
Углом между прямыми в пространстве называется угол между
прямыми, проведенными параллельно данным через какую-нибудь точку
пространства. Один из смежных углов, очевидно, будет равен углу
s
ду направлявшими векторами
2
1
1
s
и
, который вычисляется по формуле
2
ppnnmm
212121
2
2
1
2
1
2
2
2
.соs
2
pnmpnm
2
меж-
(1.10)
Рассмотрим частные случаи взаимного расположения прямых:
1) прямые
l
и
1
параллельны вектору
l
2) прямые
и
1
раллельны вектору
l
3) прямые
4) прямые
12 12
5) прямые
1
0ss MM
l
1
и
l
;
и
1
Расстояние
:
l
xx
m
yy
n
направлении вектора
l
параллельны
2
M
);
12
l
совпадают
2
);
M
12
l
перпендикулярны
2
l
и
l
2
d
пересекаются
2
скрещиваются
от точки
zz
000
, проходящей через точку
p
;;
mn p
, вычисляется по формуле
ss
(причем векторы
21
ss
(причем векторы
21
s
1
ss
21
0
ss
21
они не параллельны и
12 12
;; zyxM
1111
.
0ss MM
до прямой
d
s
и
1
и
;
MM
s
2
s
па-
2
;; zyxM
0000
01
не
в
s
.
Пример 1.7. Выяснить взаимное расположение прямых:
2
l
:
1
1
Решение.
Направляющие векторы этих прямых соответственно будут выгля-
деть так:
1
принадлежат прямым.
Векторы
циональны:
не совпадают.
1; 2; 3s
1
и
2
s
2
3
s
1
5
2
3
2
zyx
4
5
l
,
3
:
2
4
23
zyx
3
.
5
и
3; 2; 5s
2
, точки
не параллельны, так как их координаты не пропор-
. Следовательно, прямые
22
2; 4; 5M
1
l
l
и
1
и
не параллельны и
2
4; 0; 3M
2
DzCyBx
A
l
l
l
s
p
s
l
Выясним, пересекаются ли прямые. Для этого вычислим смешанное
произведение векторов:
321
321
Так как
MMss
2121
MMss
2121
, то прямые
0
523
534024
.
4812203660364
l
1
и
l
скрещиваются. Вы-
2
523
246
числим, под каким углом они скрещиваются, используя формулу (1.10):
соs
532231
1543
16
2
22222
523321
3814
1332
8
133
8
откуда
arccos
546
.
133
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Пусть заданы плоскость π и прямая l:
0:
,
l
xx
m
yy
n
zz
000
.:
p
,
Имеем систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными
. Возможны три случая:
zyx,,
1) если система имеет единственное решение, то прямая
и плос-
кость имеют одну общую точку, т.е. пересекаются;
2) если система несовместна, то прямая
и плоскость не имеют
общих точек, т.е. прямая параллельна плоскости;
3) если система имеет бесконечное множество решений, то любая
точка прямой принадлежит плоскости, т.е. прямая
лежит в плоскости .
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой
и ее ортогональной проекцией на плоскость. Величина угла между прямой
и плоскостью вычисляется по формуле
pCnBmA
.sin
222222
pnmCBA
(1.11)
Условие параллельности l и совпадает с условием перпендику-
лярности векторов
mn p
и
;;nABС
, т.е.
;;
CnBmAn
.0
Условие перпендикулярности
и будет выглядеть так:
23
x
l
tztyt
x
zyx
t
ttt
t
t
t
l
x
P
Пример 1.8. Выяснить взаимное расположение прямой и плоскости
и в случае их пересечения найти координаты точки пересечения и угол,
под которым прямая пересекает плоскость:
A
m
B
C
.
p
n
zyx
l
:
Решение.
Перейдем от канонических уравнений прямой
плоскости . Получим уравнение относительно неизвестного параметра
откуда
Поскольку система уравнений имеет единственное решение, то прямая пересекает плоскость. Найдем координаты точки пересечения, подставив полученное значение
.
1
7
5
Получили точку
Найдем угол, под которым прямая пересекает плоскость.
Имеем
5; 1; 4s
4
1
4
54,4,75
и подставим значения
ttt
в параметрические уравнения прямой:
zyx
2; 3; 1M
,
3; 1; 2n
5
,
0510842115
,
.
. Вычислим синус угла между пря-
1514,341,2715
.
zy
к параметрическим:
055424753
,
0523:
.
в уравнение
,,
02222
,
:
мой и плоскостью по формуле (1.11):
sin
откуда
2
arcsinθ
1.3.1. Практическое занятие
1. Прямая задана общими уравнениями:
Напишите её канонические и параметрические уравнения.
2. Найдите точку пересечения прямой
11
37
l
:
4
2
865
.
zyx
21
2
,
2
421153
2222
415213
и плоскости P:
22
4214
zy
11
zyx
zyx
.
01022:
,
37
,07332
.0462
24
x
x
x
l
x
P
l
P
3. Докажите, что прямая
4. Найдите уравнение плоскости, проходящей через две пересекаю-
щиеся прямые:
5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку
2; 3; 1M
и прямую
6. Найдите угол между прямой
zyx
2
3
5
лежит в плоскости
2
.
0732 zy
1
zyx
:
l
1
2
3
xt
5
3,
2
и
1
5
:
l
2
4
1
5
3
5
2
zyx
.
1
yt
25,
zt
31.
.
0323:
zy
zyx
:
l
1
1
и плоскостью
32
7. Покажите, что прямые
пендикулярны.
8. Составьте канонические уравнения прямой, проходящей через точку
2
3;5;1 М
перпендикулярно к прямым
2
1
zyx
3
1.3.2. Самостоятельная работа
1
Вариант 1
1. Прямая задана общими уравнениями:
Напишите её канонические и параметрические уравнения.
2. Найдите точку пересечения прямой
:
l
zyx
zyx
,0153
и
03832
11zyx
пер-
32
и
32,5,13
tztyt
.
zyx
zyx
,04
.0132
и плоскости P:
3
1
4
5
4
zyx
,
zy
.
04747:
2
Вариант 2
1. Прямая задана общими уравнениями:
zyx
zyx
,03
Напишите её канонические и параметрические уравнения.
2. Найдите точку пересечения прямой
и плоскости
:
25
.0422
x
P
x
D
R
x
yy
x
B
R
:
l
1
zyx
2
1
1
4
,
zy
.
092:
3
2. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
2.1. Кривые второго порядка
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат
Кривой второго порядка называется множество точек
O
yxM ;
.
y
, лежащих на плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению второй степени
,,
EF
– любые действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А,
22
,0
FEyDxCyBxyAx
где коэффициенты А, В, С,
В, С отлично от нуля.
Рассмотрим четыре вида кривых второго порядка: окружность, эл-
липс, гиперболу и параболу.
Окружностью называется множество точек плоскости, расстояние
от которых до фиксированной точки
y
M
называется центром окружности, а число
0
ее радиусом (рис. 2.1).
M
точке
()( ) .
;Mxy
00 0
постоянно и равно R. Точка
Уравнение окружности с центром в
; yxM
и радиусом R имеет вид
000
222
x
00
R
M
–
Если центр окружности совпадает с
0
x
началом координат, то имеем
22 2
xyR
–
0
Рис. 2.1
каноническое уравнение окружности.
Эллипсом называется множество точек
плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек
этой плоскости, называемых
фокусами, есть величина постоянная, боль-
шая, чем расстояние между фокусами.
2
у
1
. С осью
2
b
, а с осью
эллипс
O
– в точках
yO
– его
b
Каноническое уравнение эллипса:
пересекается в точках
0;Bb
1
,
0;
b
2
.
Эти точки называются
2
х
2
а
;0Aa
1
,
2
;0Aa
вершинами эллипса, а числа a и
полуосями.
26
x
x
x
Если
Обозначим величину
на оси
и имеют координаты
O
Отношение
10 ). Эксцентриситет характеризует форму эллипса. С уменьшением
, то полуось a называется большой, а полуось b – малой.
ba
22
. Фокусы эллипса в данном случае лежат
bac
;0Fc
,
1
называется эксцентриситетом (для эллипса
ac /
;0Fc
2
(рис. 2.2).
форма эллипса становится ближе к форме окружности. В предельном случае при
есть
222
ayx
.
и получается окружность, уравнение которой
ab 0
2
у
1
при
2
b
cF;0
. В этом случае
также задает эллипс,
ab
22
,
abc
bc /
.
Заметим, что уравнение
только теперь
жены на оси
2
х
2
а
– большая полуось, a – малая полуось, а фокусы располо-
b
:
yO
cF ;0
1
,
2
Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из
которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек
этой плоскости, называемых
фокусами, есть величина постоянная, мень-
шая, чем расстояние между фокусами. Каноническое уравнение гиперболы
2
будет иметь такой вид:
х
2
а
гипербола пересекается в точках
A
A
ресекается. Точки
называется
действительной полуосью, а число b – мнимой полуосью.
,
1
2
Обозначим величину
и имеют координаты
O
2
у
1
. В этом случае имеем
2
b
0;1aA
,
0;2aA
, а с осью
, с осью
ba
– не пе-
yO
O
называются вершинами гиперболы, число a
22
. Фокусы гиперболы лежат на оси
bac
0;1cF
,
0;2cF
(рис. 2.3).
Отношение
). Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. При
1
называется эксцентриситетом (для гиперболы
ac /
( 2 )
ab
27
p
p
x
x
x
F
имеем равнобочную гиперболу, уравнение которой выглядит таким образом:
222
ayx
. Прямые
у
b
x
у
и
a
Заметим, что уравнение
торой будут те же асимптоты
полуось, а a – мнимая полуось, фокусы
x
a
у
b
x
называются асимптотами гиперболы.
a
2
2
2
y
1
также задает гиперболу, у ко-
2
b
b
x
у
и
a
b
x
, но b – действительная
a
cF ;0
1
,
2
cF;0
лежат на оси
. В этом случае
yO
.
bc /
Параболой называется множество точек плоскости, для каждой из
которых расстояние до данной точки этой плоскости, называемой
, равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой.
сом
Каноническое уравнение параболы
2
хру 2
. Пусть F – фокус, l –
фоку-
директриса параболы. Расстояние от фокуса до директрисы называется
раметром
имеет координаты
параболы и обозначается через p (
у l
0
0;2pF
, а директриса задается уравнением
х
). Фокус этой параболы
0
у l
F
0
х
па-
.
2/
Рис. 2.4
Парабола симметрична относительно оси
координат и лежит правее оси
(рис. 2.4); уравнение
yO
, проходит через начало
O
задает параболу, которая будет расположена слева от оси
Уравнения
тельно оси
Замечание. Уравнения
2
yO
, лежащие выше либо ниже оси
ypx 2
описывают параболы, симметричные относи-
.
O
х x у y
22
00
22
а b
,
1
Рис. 2.5
2
(рис. 2.5).
yO
2
0
xpy 2
2 xхрyу
также
0
определяют эллипс, гиперболу и параболу, которые параллельно смещены
28
x
x
M
x
p
x
А
относительно системы координат
таким образом, что центр эллипса и
y
O
гиперболы, а также вершина параболы находятся в точке
Пример 2.1. Составить уравнение линии, каждая точка которой рав-
ноудалена от точки
2;3A
и от прямой
.
03
Решение.
Возьмем произвольную точку
мой линии. Расстояние
между точками A и M равно
d
;Mxy
, которая принадлежит иско-
~
Расстояние
муле (1.4):
~
x
d
d
от точки
yx
22
01
до прямой
03
301
3
.
~
По условию
Возведем обе части уравнения
22
323,xyx
2
xyy
dd
, следовательно,
2
04124
. Получили уравне-
22
; yxM
.
000
22
.
23 yxd
находим по фор-
22
xyx
.
323
xyx
в квадрат:
323
222
964496
xxyyxx
,
ние кривой второго порядка. Выделим
полный квадрат по переменной
2
2
,
0122
xy
.
0622
xy
2
212yx
y
Теперь видно, что искомая линия –
парабола с параметром
вершину в точке
0
0; 2M
, имеющая
6
. Парабола
:
,
уl
M
d
2
симметрична относительно прямой
, ветви направлены вправо
2y
-3
0
3
х
(рис. 2.6).
3; 2A
Отметим, что точка
ется фокусом, а прямая
трисой параболы.
Ответ: парабола
Пример 2.2. Привести уравнение кривой второго порядка к канони-
явля-
– дирек-
03
2
.
Рис. 2.6
xy 122
ческому виду. Определить тип кривой, найти ее эксцентриситет и построить график
22
.0109543294
yxyx
29
x
Решение.
Сгруппируем слагаемые, содержащие
В обоих случаях вынесем за скобку множитель при старшей степени:
, и слагаемые, содержащие y.
22
4 32 9 54 109 0xxyy
Используя формулу
каждой скобке до полного квадрата:
-7 0
y
-4
2
3
4
-1
Рис. 2.7
1
;
0,75.
22
y
5
3
1
2 babbaa
36 и получим
торого лежит в точке
шая полуось
(рис. 2.7). Тогда
x
22
48961090xx y y
,
22
,
010981643944
yx
Разделим последнее уравнение на
Это уравнение эллипса, центр ко-
94 5
Ответ: эллипс
2
, дополняем выражение в
222222
4
yx
9
, малая полуось
3
a
, а эксцентриситет равен
.75,035/ ac
4
0
cab
0109393329444424
yyxx
,
22
22
3
M
.
363944
yx
1
.
3;4
, боль-
22
x
9
.
2
b
2
4
2.1.1. Практическое занятие
1. Запишите уравнение окружности, проходящей через фокусы эл-
22
2054
yx
липса
2. Составьте уравнение и постройте линию, каждая точка которой
отстоит от точки
3. Составьте уравнение и постройте линию, каждая точка которой
равноудалена от точки
4. Составьте уравнение и постройте линию, отношение расстояний
от каждой точки которой до двух фиксированных точек
41
равно
.
и имеющей центр в точке
6;0A
вдвое дальше, чем от начала координат.
4;1A
и от прямой
30
у
6;0A
.
.
04
6;2A
и
4;0B
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]