Аналитическая геометрия. Практикум

M

A

B





x



x

B

x





x



A

C

M

C











M

x

A

x



AC

A

d) Найдем координаты точки

мулам

Имеем

Найдем уравнение медианы точкам и подставляя в него координаты точек

2



5

2



2

откуда

Ответ: a)

3. Даны вершины треугольника

точку пересечения стороны середины стороны

1



2

x

M

yx

4





3

2

,

4



680;

,

xxx 

CAM

1



2



9

2

y

B



yx





02695  y

, или

. Сделать чертеж.

1



2

5

16

4

5

2

,



2

M

5

,

2

b)

с перпендикуляром, восстановленным из

C

– середины стороны

.

yyy 

CAM

y

, используя уравнение прямой по двум

 

y

6240;

y

1

M

2

02695



– по фор-

C

3

,



3749

2



7;2B

, т.е.

; d)

,



25

и M:

9

2

– уравнение медианы

2;1A

c)



4

 yx

37

,

M



2;5C

5





;



2





y

M

 y

. Найти

3



.



2



369105

,

.

02695

.

Решение. Найдем координаты точки

1



2

9

7



;

M

т.е.

ра стороны

подставляя в него координаты точки



2



Используем уравнение прямой по точке и нормальному вектору,

,

xxx 

CBM



. В качестве нормального вектора серединного перпендикуля-

 

CB

можно взять вектор



3 

 yx

 

откуда

. Прямая

BC

(рис. 3.1), следовательно, пересечения стороны

параллельна оси

C

35120 23

xy x

 

  

1



2

7







2



01253  y

yy



5

– уравнение серединного перпендикуляра стороны

с серединным перпендикуляром стороны

C

22

. Имеем

yyy 

CBM

9

 



2y







2



– уравнение стороны



– середины стороны

1

x

M



и вектора n:

0

,

3  yx

O

и пересекает ось



52



2

52;27 3;5nBC

   

21

5

2



 2;

, т.е.

D

 

по формулам

B

7

,

2

45

2

. Найдем точку D

2

3

1

y

M

 



2

.

,

0

yO

при

BC

.

27



y

:



9

,

2

41











x











у

7

4,5

2

-2/3

2



 2;

Ответ:

3.2. Индивидуальное домашнее задание 2

1. Решить задачу:

a)

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой

равноудалена от точки

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой

b)

отстоит от точки

Составить уравнение и построить линию, отношение расстояний

c)

от каждой точки которой до двух фиксированных точек

D

 



.



3





2;3A

и от прямой



0;3A

вдвое дальше, чем от начала координат.

0

1

Рис. 3.1

2

3,5

у

5

02

.



5;1A

и



3;0B

31

равно

равноудалена от точки

отстоит от точки

от каждой точки которой до двух фиксированных точек равно

равноудалена от точки

отстоит от точки

.

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой

d)



4;5A

и от прямой

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой

e)

0; 4A 



Составить уравнение и построить линию, отношение расстояний

f)

21

.

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой

g)

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой

h)

5; 0A 



втрое дальше, чем от начала координат.

3; 3A 



втрое дальше, чем от начала координат.

и от прямой

42

.

05

03

.



7;3A

и



2;0B







x





x















x











x











x



x





i)

Составить уравнение и построить линию, отношение расстояний

от каждой точки которой до двух фиксированных точек

32

равно

равноудалена от точки

отстоит от точки

равноудалена от точки

каждой точки которой до двух фиксированных точек равна 8.

одинаково удалена от точки

точки которой от точки

0; 10B



.

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой

j)

1; 4A 



Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой

k)

4; 0A



Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой

l)

втрое дальше, чем от начала координат.



Составить уравнение и построить линию, сумма расстояний от

m)

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой

n)

Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой

o)

.

и от прямой

4; 5A 

и от прямой

7; 3A

0; 3A

и от прямой 07

вдвое меньше расстояния от точки



.

01

.

04

6; 2A



4; 0A



.

и



3; 0B

8; 0B

Составить уравнение и построить линию, расстояния от каждой

p)

точки которой до точки

Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой

q)

находится вдвое дальше от точки

Составить уравнение и построить линию, расстояния от каждой

r)

точки которой до точки

Составить уравнение и построить линию, расстояние от каждой

s)

точки которой до точки

.

06 

t)

Составить уравнение и построить линию, расстояния от каждой

точки которой до начала координат и до точки

2. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду.

Определить тип кривой, найти ее эксцентриситет и построить график:

a)

b)

c)

d)

e)

22

7; 0A





и до прямой

7; 2A

и до прямой

1; 2A



 yxyx

2; 6A

вдвое меньше расстояния до прямой

 yxyx

03683649

;

 yxyx

, чем от точки

03615036259

;

036164501625

 yxyx

;

023619618499

 yxyx

;

0892450425

;

относятся как 3:4.

032

2;3 B

относятся как 1:3.

053

9; 0A



.

43



































f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

22

 yxyx

041008254

 yxyx

;

026118288936

 yxyx

;

063361294

 yxyx

;

0116832

 yxyx

;

0152164

 yxyx

;

02161232

 yxyx

;

04108254

 yxyx

;

0446436169

 yxyx

;

01726436169

 yxyx

;

064363294

 yxyx

;

07161849

 yxyx

;

04981849

 yxyx

;

0116164

 yxyx

;

0204150425

 yxyx

;

021864

.

3. Построить кривую, заданную уравнением в полярной системе

координат:

 3cos4

a)

c)



e)

g)

i)

k)

m)

o)

q)

; b)

3

; d)



2cos2

 4sin3

; f)



2

cos1



 4cos5



; h)



; j)

 2cos2

 2cos15

; l)

 2sin2

; n)

; p)

5

; r)



2sin2



cos14

6cos2

2



sin2

4



sin1

1



cos1

;

2cos2

;



2sin13

;

2sin2

;



;





2sin14

;



s)



 2cos16

; t)

6sin4

.

44









~

x

А

Решение типового варианта

1.

Составить уравнение и построить линию, расстояния от каждой

точки которой до начала координат и до точки

Решение.

Возьмем произвольную точку

мой линии. Расстояние

между точками A и M равно

d

;Mxy

 

Расстояние

По условию Возведем обе части уравнения в квадрат:

Получили уравнение кривой второго порядка. Выделим полный

квадрат по переменной

2

9



2

 



 yx



2



комая линия – окружность с цен-

~

d

от точки M до начала координат:



dd 3



, следовательно,

22

81

2

0



22



2

18

4

2

;

949 yxyx 

 xyx



2



:







;

 

9

2

 yx

2

22

00

01447288

;

9

2

 

2





4; 0A

, которая принадлежит иско-

222

404 yxyxd  .

22

9



 yxx



2



2

3









2





2

22

.

yxyxd 

2



 xyx



9

 













2





43 yxyx 

9144729 yxxyx 

0189

.

22

 



.

2222

;

2

018



. Теперь видно, что ис-

;

9



тром в точке

3

(рис. 3.2).

R

2

M

;0

0

 

радиуса

2

Ответ: окружность

2

9

 





2

 yx



2



2



2

3





.





2





2. Привести уравнение кри-

вой второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой, найти ее эксцентриситет и по-

строить график:

22

45

y

О

M

0

3

4

4,5

6

x

Рис. 3.2

.0101541694

 yxyx

x





























Решение.

Сгруппируем слагаемые, содержащие

В обоих случаях вынесем за скобку множитель при старшей степени:

, и слагаемые, содержащие y.

22

Используя формулу

каждой скобке до полного квадрата:



22

 yyxx

2 babbaa 

0101549164

22

;

4 4 9 6 101 0xx yy

22

;

010181163924

 yx

.

2



, дополняем выражение в

y

5

3

222222

0101393329242224

 yyxx

;

22



.

363924

 yx

Разделим последнее уравнение на 36 и получим

Это уравнение гиперболы с центром в точке

тельная полуось

Тогда

Ответ: гипербола

3. Построить кривую, заданную в полярной системе координат урав-

нением

1

-5

, мнимая полуось

3

a

22

.2,1313/  ac



 3sin2

.

2

 yx

9

-2

Рис. 3.3



0

b

1349

 bac , а эксцентриситет равен

22

3



4

1

(рис. 3.3).

2

1



;

.2,1

x

 

2

 yx

0



9

2; 3M 

22

3



4

, действи-

1



.

46



Решение.

Для построения кривой в полярной системе координат составим таб-

лицу значений функции носильно неравенству





. Функция определена при

sin 3 0

, что рав-

где

достаточно взять значения

.

Zk 

Так как

полярный угол рассматривается в пределах



00

k

;

3

Поскольку функция периодическая с периодом

исследовать функцию при

отобразить в промежутки

чения аргумента функции

Представим функцию

2

232

kk









33

2;1;0k

:



2



1k



;

2

k

3









2



,



3



будем изменять с шагом 10o.





,0







, а затем построенную часть кривой



3





5

и

4

 

3



 3sin2

в виде табл. 3.1, а по данным этой



,

поворотом на угол



3



 



2

kk



,

3

4



5



3

2

, то достаточно

3



2

.

3

, то

 20

. Зна-

таблицы построим график (рис. 3.4).

Построенная кривая называется трехлепестковой розой.

Рис. 3.4

47





A

x





l





y

x

A

y

x





x





0º

0 1 1,7 2 1,7 1 0

4. ТИПОВОЙ ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1) Даны вершины треугольника

ставьте уравнения:

стороны

a)

высоты, опущенной из вершины

b)

медианы, проведённой из вершины

c) Постройте рисунок в системе координат.

2) Напишите уравнение плоскости, которая проходит через ось

точку

0; 2; 3M 



3) Прямая задана общими уравнениями:

Напишите её канонические и параметрические уравнения.

4) Найдите точку пересечения прямой

BC

.

10º

;

O

и

Таблица 3.1

20º 30º 40º 50º

3; 3 ; 5; 1 ; 6; 2ABC

на сторону

.

C

  

BC

zyx

 



60º

. Со-

;



,0432



zyx

.04523

и плоскости P:

:

l



2

 zyx

2





1



4

P

,

z

04253: 

.

3

5. ВАРИАНТ ТЕСТА С ОТВЕТАМИ

Вопрос 1. Вектор, параллельный прямой, называется…

a) сонаправленным; b) нормальным; c) направляющим.

Вопрос 2. Для определения угла между прямыми

0

 CyBxA

можно использовать формулу...

222

BBAA

a)

b)

c)

cos





2

1



2

1



2

1

2121

;

2

BA



1

BBAA



2

1



2

1

2121

2



2

BBAA

2121

2



2

;

2

BABA

2

.

2

BABA

2

0

 CyBxA

и

111

Вопрос 3. Уравнение прямой, проходящей через точки

(2 1), ( 3 1),

;- B - ;-

a)

имеет вид…

1

; b)

; c)

2

3

48

.





x









x

y



x





x



x



y

x









A



















zyx

a

Вопрос 4. Прямые

x

и

x





ваются её… a) касательными; b) асимптотами; c) директрисами.

Вопрос 5. Прямая резки, соответственно равные…

 y

2,4  ba

; b)

012

; b)

a)

Вопрос 6. Уравнение прямой вида

a) каноническим; b) общим; c) нормальным.

Вопрос 7. Уравнением прямой, перпендикулярной прямой

является…

a)

Вопрос 8. Нормальный вектор плоскости

 y

 ba

 y

6,3

a



для гиперболы



01224

отсекает от координатных осей от-

; c)

042

; c)

ba

xx

m

4,2

yy

n

y

x

a

.

p

0123

.

2

zz

2

y

b

000

называется…

2

1



назы-



z

0152 

имеет

32

,

координаты…

Впишите правильный ответ: ___________________________.

Вопрос 9. Даны точки

C . Тогда точка C имеет координаты...

3; 1

a)



Вопрос 10. Расстояние от точки

; b)



Впишите правильный ответ: ___________________________.

Номер задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ответ 3 2 1 3 2 1 2 (1; 2; 1) 4 39

Аналитическая геометрия является одним из важнейших разделов современной математики. Основные понятия и методы этой дисциплины находят широкое применение в различных областях знаний, в первую очередь в естественных и экономических науках.

12; 7



04551234

равно...

Ключи верных ответов

0; 1A

и

; c)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

12; 6

6; 3B



; d)

, где B – середина отрезка

12; 7

1; 4; 3A

.



до плоскости

49

Изложенные в данном практикуме методы и алгоритмы решения задач аналитической геометрии могут послужить введением к освоению многочисленных приложений, таких как линейное программирование, оптимальное управление, эконометрика, вычислительная математика.

Практикум отличается от других подобных изданий большим числом подробно решенных примеров, а также содержательным набором заданий для практических занятий, самостоятельных работ и

индивидуальных до-

машних заданий.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры : учеб. для вузов / Д. В. Беклемишев. – М. : Физматлит, 2003. – 304 с.

2. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. пособие для вузов. В 2 ч. Ч. 1 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М. : ОНИКС 21 век : Мир и

Образование, 2003. – 304 с.

3. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) : учеб. пособие для вузов / Л. А. Кузнецов. – СПб. : Лань, 2005. – 240 с.

4. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2007. – 288 с.

5. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике : учеб.

пособие.

В 3 ч. Ч. 1 / А. П. Рябушко [и др.]. – Минск : Академическая кни-

га, 2005. – 272 с.

6. Шипачев, В. С. Высшая математика : учеб. для вузов / В. С. Шипачев. – М. : Высш. шк., 2005. – 480 с.

50