Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Практикум. Учебное пособие
.pdf
31
1.7. Упражнения к главе 1
BC
5
2
5
1 yx
B
A
k
)3(
2
1
x
.BC
B
A
k
1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(–1; 2)
параллельно прямой ВС, если В(3; –1) и С(–2; 4).
Указание: Уравнение прямой АК можно составить по точке А и
направляющему вектору s (см. пример 3 пункт 1.3.4).
Направляющим вектором прямой ВС будет вектор
= {–5; 5}.
Поэтому уравнение AK:
или AK: x + y – 1 = 0.
Ответ: x + y – 1 = 0.
2. Через точку А(–3; –1) провести прямую, параллельную прямой
x + 2y = 0.
Указание: Из общего уравнения прямой l1: x + 2y = 0 находим
угловой коэффициент k1= –
1
/
(
2
(1.3.5)). Искомая прямая l2||l1,
следовательно, (из условия параллельности двух прямых k1 = k2
(1.4.3)) имеем k2 = –
точке А(–3; –1) и угловому коэффициенту k2 = –
1
/
. Cоставим уравнение искомой прямой l2 по
2
1
/
(см. пример 2,
2
пункт 1.3.2)
l2: y + 1 = –
x + 2y + 5 = 0.
Ответ: x + 2y + 5 = 0.
3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1; –1)
перпендикулярно прямой ВС, если В(2; 3) и С(–1; 4).
Указание: Искомая прямая перпендикулярна прямой ВС, следо-
вательно, она перпендикулярна вектору
Далее см. пример 3
пункт 1.3.3.
Ответ: 3x – y – 4 = 0.
4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку D(1; –5)
и перпендикулярной прямой 2x + 3y – 1 = 0.
Указание: Из общего уравнения прямой l1: 2x + 3y –1 = 0 находим
угловой коэффициент k1 = –
2
/
(
3
(1.3.5)).
32
Прямая l2 l1 k1∙k2 = –1 (1.4.4) или
1
2
1
k
k
рис. 45
(если k1 ≠ 0), то
есть k2 =
Составим уравнение искомой прямой l2, проходящей через точку
D(1; –5) и имеющей угловой коэффициент k2 =
3
/
.
2
3
/
. l2: y + 5 =
2
3
/
(x – 1).
2
(см. пример 2 пункт 1.3.2).
Ответ: 3x – 2y – 13 = 0.
5. Даны вершины треугольника А(–1; 3), B(3; –2), C(5; 3).
Составить уравнения сторон треугольника.
Указание: См. пример 3 пункт 1.3.5.
Ответ: AB: 5x + 4y – 7 = 0, BC: 5x – 2y – 19 = 0, AC: y – 3 = 0.
6. Даны вершины треугольника А(–3; 1), B(–3; –5), C(5; 3).
Составить уравнение медианы, проведенной из вершины С.
Указание: См. пример 4 пункт 1.3.5.
Ответ: CM: 5x – 8y – 1 = 0.
7. Даны вершины треугольника A(1; –1), B(–2; 1) и C(3; 5).
Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на
медиану BE.
Указание: Составим уравнение
медианы ВЕ (см. пример 4 пункт
1.3.5) BE: x – 4y + 6 = 0. Уравнение
перпендикуляра, опущенного из
вершины А(1; –1) на медиану ВЕ
составим как уравнение прямой,
проходящей через точку А перпендикулярно прямой ВЕ (см. задачу 4
пункт 1.7). AK: 4x + y – 3 = 0.
Ответ: 4x + y – 3 = 0.
8. Даны вершины треугольника А(2; –1), B(3; 2), C(–2; –3). Составить уравнение высоты, проведенной из вершины С на сторону АВ.
Указание: Составим уравнение прямой АВ по двум точкам А(2;–1)
и B(3; 2) (см. пример 1 пункт 1.3.5). AB: 3x – y – 7 = 0. Составим
уравнение высоты СН как прямой, проходящей через точку C(–2; –3)
и перпендикулярной прямой АВ (см. задачу 4 пункт 1.7).
33
CH: x + 3y + 11 = 0.
B
A
k
рис. 46
рис. 47
Ответ: x + 3y + 11 = 0.
9. Даны вершины треугольника A(1; 2), B(–1; 3), C(–2; 1). Соста-
вить уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно
противоположной стороне ВС.
Указание: Составим уравнение прямой ВС
по двум точкам B(–1; 3) и C(–2; 1) (формула
1.3.7). Получим: 2x – y + 5 = 0. Прямая АК
параллельна противоположной стороне ВС,
т.е. АК||ВС k1 = k2 (1.4.3). Угловой коэф-
фициент прямой ВС равен k2 = 2 (
(1.3.5)). Тогда угловой коэффициент прямой
АК равен k1 = 2. Составим уравнение
искомой прямой по точке А и угловому коэффициенту k1 (см. пример
2 пункт 1.3.2). Получим AK: y – 2 = 2(x – 1) AK: 2x – y = 0.
Ответ: 2x – y = 0.
10. Даны середины сторон треугольника M(1; 2), N(5; –1) и
P(–4; 3). Составить уравнения его сторон.
Указание: MN – средняя линия треуго-
льника АВС. Из курса геометрии известно,
что MN параллельна стороне АС. Уравнение прямой АС находим как уравнение
прямой, проходящей через точку P(–4; 3)
и параллельной прямой MN. См. указание
к задаче 1 пункт 1.7.
AC: 3x + 4y = 0.
Аналогично составляем уравнения сторон AB и BC:
AB: 4x + 9y – 22 = 0; BC: x + 5y = 0.
Ответ: AB: 4x + 9y – 22 = 0; BC: x + 5y = 0; AC: 3x + 4y = 0.
11. Проверить, лежат ли на одной прямой три данные точки
а) A(–2; 0), B(6; 4), C(4; 3);
б) M(1; –3), N(2; 4), P(3; –1).
34
Указание: Составим уравнение прямой по любым двум данным
0
0
222
111
CyBxA
CyBxA
01252
0123
:
yx
yx
M
;
y
y
x
x
1252
123
yx
yx
;19;19)2(253
52
23
рис. 48
рис. 49
точкам. Уравнение прямой, проходящей через точки A(–2; 0) и
B(6; 4), будет иметь вид: AB: x – 2y + 2 = 0 (см. пример 1 пункт 1.3.5).
Проверим, что точка С(4; 3) лежит на прямой АВ, т.е. что при подстановке координат
точки С в уравнение x – 2y + 2 = 0 должно
получиться тождество: 4 – 2∙3 + 2 = 0 или
0 = 0.
Таким образом, точка С лежит на прямой
АВ, т.е. три данные точки А, В, С лежат на
одной прямой.
Ответ: а) лежат; б) не лежат.
12. Показать, что прямые 3x – 2y + 1 = 0 и 2x + 5y – 12 = 0
пересекаются; найти координаты точки пересечения прямых.
Указание: Прямые пересекаются, если система
М:
имеет единственное решение, это решение будет
являться координатами точки пересечения прямых.
.
Систему можно решить, как в примере пункт 1.4.1, или используя
формулы Крамера.
M:
.
Найдем определители , x y .
Если ≠ 0, то система
имеет единственное решение, т.е. прямые пересекаются.
35
19)2(125)1(
512
21
x
;
.38)1(2123
122
13
y
2
1
:
19
38
19
19
y
x
M
y
x
3
1
323
52
0323
052
:
y
x
yx
yx
yx
yx
M
);1(
5
3
3:;
5
3
3
5
443
xylkk
0823
095
:
yx
yx
M
M:
М(1; 2).
Ответ: Прямые пересекаются в точке М(1; 2).
13. Через точку пересечения прямых 2x – y – 5 = 0 и 3x + 2y + 3 = 0
провести прямую, перпендикулярную прямой 5x + 3y – 1 = 0.
Указание: Точку пересечения двух прямых l1 и l2 найдем, решив
систему (см. пример пункт 1.4.1 или задачу 12 пункт 1.7).
М(1; –3).
Составим уравнение искомой прямой l4, проходящей через точку
М(1; –3) и перпендикулярной прямой l3: 5x + 3y – 1 = 0 (см. решение
задачи 4 пункт 1.7).
l4: 3x – 5y – 18 = 0.
Ответ: 3x – 5y – 18 = 0.
14. Через точку пересечения прямых 5x + y – 9 = 0 и 3x – 2y – 8 = 0
провести прямую, параллельную прямой 2x – 3y + 7 = 0.
Указание: По условию l1: 5x + y – 9 = 0 и l2: 3x – 2y – 8 = 0. Точку
М – точку пересечения прямых – l1 и l2 найдем, решая систему урав-
нений
(см. пример из пункта 1.4.1 или задачу 12
из пункта 1.7) М(2; –1).
Составим уравнение прямой l4, проходящей через точку М(2; –1)
и параллельной прямой l3: 2x – 3y + 7 = 0 (см. решение задачи 2
пункт 1.7) l4: 2x – 3y – 7 = 0.
Ответ: 2x – 3y – 7 = 0.
36
15. Через точку пересечения прямых 5x + 2y + 1 = 0 и x – y + 3 = 0
2
1
:
03
0125
:
y
x
M
yx
yx
M
n
yy
m
xx
00
1
2
0
)1( yx
рис. 50
провести прямую, параллельную оси Oy.
Указание: Точку пересечения прямых l1: 5x + 2y + 1 = 0 и
l2: x – y + 3 = 0 найдем, решив систему (см. пример пункт 1.4.1 или
задачу 12 пункт 1.7)
М(–1; 2).
Составим уравнение прямой l3, проходящей через точку и
параллельной оси Oy. Направляющим вектором оси Oy является
вектор j = {0; 1} и направляющим вектором искомой прямой l3
будет вектор s = {0; 1}, т.к. прямая l3 || Oy.
Составим уравнение прямой l3, используя формулу (1.3.6):
– уравнение прямой по точке и направляющему
вектору.
l3:
1(x+1) = 0(y – 2) l3: x+1 = 0.
Уравнение прямой l3: можно найти и по-другому (см. пример 3
пункт 1.3.1).
Ответ: x + 1 = 0.
16. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
С(3; 4) на прямую, проходящую через две точки А(2; –1) и B(0; 1).
Указание: Чтобы составить уравнение перпендикуляра, опущен-
ного из точки С на прямую АВ, надо составить уравнение прямой,
проходящей через точку С(3; 4) и перпендикулярной прямой АВ (см.
задачу 3 пункт 1.7).
Ответ: x – y + 1 = 0.
37
17. Найти проекцию точки N(1; –1) на прямую x + 2y – 3 = 0.
5
3
5
9
32
32
032
032
:
y
x
yx
yx
yx
yx
M
5
3
;
5
9
M
.
5
3
;
5
9
M
.
5
3
;
5
9
M
рис. 51
рис. 52
Указание: Проекцией точки N на прямую l:
x + 2y – 3 = 0 будет точка М – точка пересечения
прямой l и прямой, проходящей через данную
точку N и перпендикулярной к прямой l. Составим уравнение прямой MN l (см. задачу 4
пункт 1.7) l: x + 2y – 3 = 0 k1 = –
1
/
.
2
Так как MN l , то k1∙k1 = –1 k2 = 2;
MN: y – y0 = k(x – x0), где N(1; –1) и k2 = 2;
MN: y – (–1) = 2(x – 1) MN: 2x – y – 3 = 0.
Найдем точку М как точку пересечения прямых l и MN, решив
систему уравнений.
(см. пример пункт 1.4.1 или задачу 12 пункт 1.7).
Проекцией точки N(1; –1) на прямую x + 2y – 3 = 0 является точка
Ответ:
18. Найти проекцию точки А(–1; 3) на прямую ВС, если В(2; 2) и
С(–1; –1).
Указание: Составим уравнение прямой ВС по двум точкам В(2; 2)
и C(–1; –1) (см. пример 1 пункт 1.3.5). BC: x – y = 0.
Найдем проекцию точки A(–1; 3) на прямую ВС (см. задачу 17
пункт 1.7).
Ответ: D(1; 1).
19. Найти точку симметричную точке М(3; –3) относительно
прямой x – y – 12 = 0.
Указание: Составим уравнение прямой MN,
проходящей через точку M(3; –3) и перпендикулярной прямой l: x – y – 12 = 0 (см. решение
задачи 4 пункт 1.7) MN: x + y = 0.
38
Найдем точку пересечения прямой MN и прямой l (см. пример
6
6
012
0
:
y
x
yx
yx
O
2
2
:
21
0
21
0
yy
y
xx
x
O
9
9
312
312
2
3
6
2
3
6
:
2
2
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
N
B
A
k
.
2
9
92
3
3
2
.
2
9
92
3
3
2
||||
2
1
2
1
21
21
y
y
x
x
nnll
рис. 53
пункт 1.4. 1)
O(6; –6).
Точка О – середина отрезка MN и ее координаты находятся по
формулам (1.2.2)
.
Пусть M(x1, y1) и N(x2, y2), по условию x1 = 3, y1 = –3; x0 = 6,
y0 = –6; выполним подстановку и найдем координаты точки N.
N(9; –9).
Ответ: N(9; –9).
20. При каком λ прямые 2x +3y – 5 = 0 и 3x + λy – 2 = 0 будут
параллельны (решить двумя способами)?
Указание: Найдем угловые коэффициенты прямых l1: 2x +3y –5 =0
и l2: 3x + λy – 2 = 0. k1 = –
Так как l1 || l2, то k1 = k2 (1.4.3).
2
/
, k2 = –
3
3
/
(
λ
см. (1.3.5)).
Задачу можно решить и другим способом.
Найдем координаты нормальных векторов
прямых l1 и l2: n1 = {2; 3} и n2 = {3; λ}. Прямые
l1 и l2 параллельны, следовательно, их векторы
нормали коллинеарны, а координаты этих
векторов пропорциональны.
39
Ответ:
.
2
9
B
A
k
.
3
5
1)(
5
3
21
12
1
tg
kk
kk
;
B
A
AA21
2
45tg
0
AA21
2
1
рис. 54
21. При каком значении α прямые 3x – 5y +3 = 0 и αx + y + 3 = 0
будут перпендикулярны (решить двумя способами)?
Указание: Прямые l1: 3x – 5y +3 = 0 и l2: αx + y + 3 = 0
перпендикулярны, l1 l2 k1∙k2 = –1 (1.4.4).
Угловые коэффициенты: k1 =
3
/
и k2 = –
5
α
/
(
1
(1.3.5))
подставим в формулу (1.4.4) и найдем α:
Задачу можно решить и другим способом.
Найдем координаты нормальных векторов прямых l1 и l2: n1 = {3; –5} и n2 = {α; 1} (1.3.4). Так
как l1 l2, то и n1 n2 ( n1, n2) = 0 (скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю). Найдем скалярное
произведение нормальных векторов в координатной форме и приравняем его к нулю.
3∙α + (–5)∙1 = 0 α =
Ответ: α =
5
5
/
.
3
/
.
3
22. Найти угол между двумя прямыми x – 2y – 3 = 0 и x – y + 5 = 0.
Указание: см. пример 1 пункт 1.4.2.
Ответ: tgα =
1
/
или α = arctg
3
1
/
.
3
23. При каком А угол между прямыми Ax – y +3 = 0 и 2x + y – 1 = 0
будет равен 45º?
Указание: l1: Ax – y + 3 = 0; l2: 2x + y – 1 = 0. Угол между двумя
прямыми l1 и l2 находится по формуле
(1.4.2)
Угловые коэффициенты прямых l1 и l2 будут равны k1 = A и
k2 = –2 ( k = –
формулу и найдем А:
(1.3.5)), а = 45º. Выполним подстановку в
.
40
Раскрывая модуль, получим два уравнения. Решение обоих урав-
1
212A
A
;1
212A
A
B
A
2
2
0
51
5
45tg
k
k
1
51
5
2
2
k
k
1
51
5
2
2
k
k
1
51
5
2
2
k
k
)1(
3
2
2 xy
);1(
2
3
2 xy
рис. 55
рис. 56
нений является решением задачи.
или
–2 – A = 1 – 2A или –2 – A = –1 + 2A; A = 3 или A = –
Ответ: A = 3 или A = –
1
/
.
3
1
/
.
3
24. Дана прямая 5x + y – 4 = 0. Через точку M0(1; –2) провести
прямую, наклоненную к данной прямой под углом 45º.
Указание: Из общего уравнения прямой
l1: 5x + y – 4 = 0 найдем угловой коэффициент k1 = –5 (k = –
(1.3.5)). Угловой коэффи-
циент искомой прямой k2 найдем из условия,
что угол между прямыми l1 и l2 – равен 45º.
(1.4.2)
или
;
;
k2 + 5 = 1 – 5k2 или k2 + 5 = –1 + 5k2 ;
k2 = –
2
/
или k2 =
3
3
/
.
2
Составим уравнение искомой прямой по точке M0(1; –2) и углово-
му коэффициенту k2 = –
2
/
(или k2 =
3
3
/
), используя формулу (1.3.2)
2
y – y0 = k(x – x0)
l2:
или l2:
l2: 2x + 3y + 4 = 0 или l2: 3x – 2y – 7 = 0.
Ответ: 2x + 3y + 4 = 0 или 3x – 2y – 7 = 0.
25. Определить угол между высотой и медианой треугольника
АВС, проведенными из вершины А, если
А(1; –1), B(–2; 1), C(2; 5).
Указание: Составим уравнение
медианы АМ (см. пример 4 пункт 1.3.5).
AM: 4x + y – 3 = 0. Составим уравнение
высоты AH (см. решение задачи 8 пункт
1.7). AH: x + y = 0. Из общих уравнений
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]