Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Практикум. Учебное пособие
.pdf
41
прямых АМ и АН найдем угловые коэффициенты k1 = –4 и k2 = –1.
5
3
tg
)1)(4(1
41
tg
11
23
11
23
11
23
11
23
3
9
5
3
5
9
4
1
3
4
3
1
tg HBC
рис. 57
рис. 58
Угол между прямыми АМ и АН найдем по формуле (1.4.2)
3
или = arctg
/
.
5
Ответ: tg =
3
/
или = arctg
5
3
/
.
5
26. В треугольнике АВС известны координаты вершин А(–2; –2),
B(1; 2) и C(3; –3). Найти угол ВАС и составить уравнение средней
линии треугольника, лежащей против вершины В.
Указание: Составим уравнения сторон
АВ и АС (см. пример 3 пункт 1.3.5)
AB: 4x – 3y + 2 = 0 и AC: x + 5y + 12 = 0.
Найдем угол ВАС – угол между прямыми
АВ и АС (см. пример 2 пункт 1.4.2).
tg =
или = arctg
где угол
равен углу ВАС. Составим уравнение средней линии MN. Так как
точка М – середина отрезка АВ, а точка N – середина отрезка АС, то
координаты точек М и N найдем по (1.2.2): M(–
1
/
, 0) и N(
2
1
5
/
, –
/
).
2
2
Составим уравнение средней линии MN по двум точкам (см. пример
1 пункт 1.3.5). MN: 10x + 4y +5 = 0.
Ответ: tg =
или = arctg
и MN: 10x + 4y + 5 = 0.
27. В треугольнике АВС известны координаты вершин A(1; –3),
B(0; –1) и C(3; 3). Составить уравнение
высоты и определить острый угол между
высотой BH и стороной ВС.
Указание: Составим уравнение
kAC = 3, kBH = –
стороны ВС (см. пример 4 пункт 1.3.5).
BC: 4x – 3y – 3 = 0, k1 =
1
/
уравнение стороны AС: 3x – y – 6 = 0,
. Составим уравнение высоты BH (см. задачу 8
3
4
/
. Составим
3
пункт 1.7) BH: x + 3y + 3 = 0.
Найдем угол HBC (см. пример 1 пункт 1.4.2).
; tg HBC = 3 или HBC = arctg3.
42
Ответ: BH: x + 3y + 3 = 0, HBC = arctg3.
;
92
31
tg
.2
||||DM
BD
;
2
;
2
3131
yy
y
xx
x
MM
рис. 59
рис. 60
28. В треугольнике АВС известны координаты вершин А(4; 8),
B(–3; 4) и C(–4; –1). Найти угол между сторонами АВ и АC.
Составить уравнение средней линии, параллельной ВС.
Ответ:
MN: 10x – 2y + 7 = 0.
29. Даны вершины треугольника A(–2; 1), B(3; –4) и точка Н(5; –1)
– точка пересечения высот. Составить
уравнения его сторон.
Указание: Составим уравнение прямой
АВ как уравнение прямой, проходящей
через две точки A(–2;1) и B(3; –4) (см.
пример 3 пункт 1.3.5). AB: x + y + 1 = 0.
Уравнение стороны ВС составим как
уравнение прямой, проходящей через
точку B(3; –4) и перпендикулярной прямой АН (см. задачу 4 пункт
1.7). Уравнение прямой АН составим, зная координаты двух точек
А(–2; 1) и Н(5; –1) (см. пример 1 пункт 1.3.5), AH: 2x + 7y – 3 = 0;
тогда BC: 7x – 2y – 29 = 0. Аналогично находится уравнение прямой
AC: 2x + 3y + 1 = 0.
Ответ: AB: x + y + 1 = 0; BC: 7x – 2y – 29 = 0; AC: 2x + 3y + 1 = 0.
30. Найти координаты центра
тяжести треугольника АВС, длину
и уравнение медианы ВМ, если
А(5; 6), B(–3; –1) и C(–3; –2).
Указание: Известно, что центр
тяжести такой пластины находится в точке пересечения медиан D
треугольника АВС. Для определения точки D учтем то, что она делит
любую медиану, например ВМ, в отношении λ = 2, так как
λ =
то координаты точки M(xM, y
отрезок АС пополам,
Если координаты вершин A(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3),
) находим из условия, что она делит
M
(1.2.2), а затем
получим координаты точки D.
43
3
;
321
2
1
321321
2
yyy
y
xxx
xxxx
x
D
MMB
D
;
3
)2()1(6
;
3
)3()3(5
DD
yx
2;1;
2
)2(6
;
2
)3(5
MMMM
yxyx
.5))1(2())3(1()()(||
222
12
2
12
yyxxBM
рис. 61
Согласно полученным формулам находим координаты центра
тяжести – точки D.
xD = –
1
/
, yD = 1; т.е. D(–
3
1
/
; 1).
3
Составим уравнение медианы ВМ, зная координаты точки
В(–3; –1), а координаты точки М определим по формулам (1.2.2)
M(1; 2).
BM: 3x – 4y + 5 = 0 (пример 1 пункт 1.3.5). Длину медианы най-
дем, используя формулу расстояния между двумя точками В(–3; –1)
и M(1; 2).
Ответ: D(–
1
/
; 1), BM: 3x – 4y + 5 = 0. | BM | = 5.
3
31. Определить расстояние от точки М до прямой 3x – 4y + 6 = 0,
если М(1; 2).
Указание: Расстояние вычисляем как в примере из пункта 1.3.7.
Ответ: d =
1
/
.
5
32. Даны стороны треугольника АВ: x + 3y – 7 =0, BC: 4x – y –2 =0,
AC: 6x + 8y –35 =0. Найти длину высоты, проведенной из вершины В.
Указание: Определяем координаты точки В как точки пересечения двух прямых (пример пункт 1.4.1) Длина высоты ВН находится
как расстояние от точки В до прямой АС (см. пример из пункта
1.3.7).
Ответ: |BH| = 1,3.
44
33. Определить расстояние между двумя прямыми 3x + 4y + 8 = 0
8,1
10
18
86
|2)2(806|
22
d
рис. 62
и 6x + 8y – 2 = 0.
Указание: Эти прямые параллельны,
так как k1 = –
3
/
4
, k2 = –
6
3
/
= –
/
8
(угловые
4
коэффициенты вычисляем по формуле
1.3.5). Получаем k1 = k2 l1 || l2 (1.4.3).
Найдем расстояние от любой точки
М, лежащей на прямой l1, до прямой l2 – это и будет расстояние
между двумя прямыми. На прямой l1 выберем точку М с
абсциссой x = 0, тогда из уравнения l1 найдем y = –2.
Следовательно, точка М(0; –2). Расстояние от М(0; –2) до прямой
l2: 6x + 8y – 2 = 0 будет равно d = 1,8, так как
.
Ответ: d = 1,8.
45
Глава 2. Аналитическая геометрия в пространстве
MM
0
рис. 1
рис. 2
2.1. Основные понятия
Рассмотрим в трехмерном эвклидовом пространстве
3
прямо-
угольную декартову систему координат Oxyz.
Уравнением поверхности называется такое уравнение
F(x, y, z) = 0, которому удовлетворяют координаты каждой точки,
лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не
лежащих на поверхности.
Например, сфера – это геометриче-
ское место точек, равноудаленных от
некоторой точки, называемой центром
сферы. Так все точки, удовлетворяющие уравнению x2 + y2 + z2 = R2, лежат
на сфере радиуса R с центром в точке
О(0; 0; 0) (рис.1). Координаты любой
точки, не лежащей на данной сфере, не
удовлетворяют этому уравнению.
Линию в пространстве можно
рассматривать как линию пересечения
двух поверхностей. Так на рисунке 1 пересечением сферы с плоскостью Oxy является окружность радиуса R с центром в точке О.
Простейшей поверхностью является плоскость, простейшей
линией в пространстве является прямая.
2.2. Плоскость в пространстве
2.2.1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору
В системе координат Oxyz рассмотрим плоскость α (рис. 2). Ее
положение определяется заданием вектора N ≠ 0, перпендикулярного плоскости α, и фиксированной точки M0(x0; y0; z0), лежащей в этой
плоскости. Вектор N = {A; B; C}, перпендикулярный плоскости α,
называется нормальным вектором (вектором-нормалью).
Рассмотрим произвольную
точку M(x; y; z) плоскости α.
Вектор
, лежащий в плос-
кости α, будет перпендикулярен
46
вектору-нормали N. Используя условие ортогональности векторов
,0
0
MMN
MM
0
рис. 3
рис. 4
рис. 5
рис. 6
получим уравнение: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0,
где N = {A; B; C},
= {x – x0; y – y0; z – z0}. Уравнение
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 (2.2.1)
называется уравнением плоскости по точке и нормальному вектору.
Если в уравнении (2.2.1) раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, то получим уравнение Ax + By + Cz + (– A x0 – By0 – Cz0) = 0
или Ax + By + Cz + D = 0, где D = – A x0 – By0 – Cz0.
2.2.2. Общее уравнение плоскости
Уравнение Ax + By + Cz + D = 0 (2.2.2)
называется общим уравнением плоскости, здесь N = {A; B; C} –
нормальный вектор.
Рассмотрим частные случаи этого уравнения.
1) Пусть D = 0. Уравнение имеет вид: Ax + By + Cz = 0. Такая
плоскость проходит через начало координат. Ее нормальный вектор
N = {A; B; C}
2) С = 0: Ax + By + D = 0 Нормальный вектор
этой плоскости N = {A; B; 0} перпендикулярен
оси Oz плоскость параллельна оси Oz (рис. 3)
3) B = 0: Ax + Cz + D = 0 N = {A; 0; C} Oy,
плоскость параллельна оси Oy (рис. 4)
4) A = 0: By + Cz + D = 0 N = {0; B; C} Ox,
плоскость параллельна оси Ox (рис. 5)
5) C = D = 0: Ax + By = 0 N = {A; B; 0} Oz,
плоскость проходит через ось Oz (рис. 6)
47
6) B = D = 0: Ax + Cz = 0 N = {A; 0; C} Oy,
рис. 7
рис. 8
рис. 9
рис. 10
рис. 11
плоскость проходит через ось Oy (рис. 7)
7) A = D = 0: By + Cz = 0 N = {0; B; C} Ox,
плоскость проходит через ось Ox (рис. 8)
8) A = B = 0: Cz + D = 0 N = {0; 0; C} || Oz,
плоскость параллельна плоскости Oxy (рис. 9)
8) B = C = 0: Ax + D = 0 N = {A; 0; 0} || Ox,
плоскость параллельна плоскости Oyz (рис. 10)
8) A = C = 0: By + D = 0 N = {0; B; 0} || Oy,
плоскость параллельна плоскости Oxz (рис. 11)
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку M0(1; 2; –1) перпендикулярно вектору N = {2; –1; 3}. Найти
точки пересечения этой плоскости с осями координат.
Решение. По формуле (2.2.1) имеем 2(x – 1) –1∙(y – 2) + 3(z + 1) =0,
2x – y + 3z + 3 = 0.
Для того, чтобы найти пересечение этой плоскости с осью Ox,
подставим в полученное уравнение y = 0, z = 0. Получим 2x + 3 = 0;
x = –1,5.
Точка пересечения искомой плоскости с осью Ox имеет
координаты: M1(–1,5; 0; 0).
Найдем пересечение плоскости с осью Oy. Для этого возьмем
x = 0, z = 0. Имеем – y + 3 = 0 y = 3. Итак, M2(0; 3; 0).
48
Для нахождения точки пересечения с осью Oz возьмем x = 0, y = 0.
BC
.BC
BC
BC
рис. 12
Тогда 3z + 3 = 0 z = – 1. Итак, M3(0; 0; –1).
Ответ: 2x – y + 3z + 3 = 0, M1(–1,5; 0; 0), M2(0; 3; 0), M3(0; 0; –1).
Пример 2. Исследовать плоскости, заданные уравнениями:
a) 3x – y + 2z = 0, б) 2x + z – 1 = 0, в) –y + 5 = 0, г) x = 0.
Решение. а) Данная плоскость проходит через начало координат
(D = 0) и имеет нормальный вектор N = {3; –1; 2}.
б) В уравнении 2x + z – 1 = 0 коэффициент B = 0. Следовательно,
N = {2; 0; 1}. Плоскость параллельна оси Oy.
в) В уравнении –y + 5 = 0 коэффициенты A = 0, C = 0. Значит,
N = {0; –1; 0}. Плоскость параллельна плоскости Oxz.
г) Уравнение x = 0 задает плоскость Oyz, так как при B = 0, C = 0
плоскость параллельна плоскости Oyz, а из условия D = 0 следует,
что плоскость проходит через начало координат.
Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку A(2; 3; 1) и перпендикулярной вектору
C(–2; 2; 0).
Решение. Найдем вектор
, где B(1; 0; –1),
= {–2 – 1; 2 – 0; 0 –(–1)} = {–3; 2; 1}.
Вектор
проходящей через точку A(2; 3; 1) По формуле (2.2.1) имеем:
–3(x – 2) + 2(y – 3) + 1∙(z – 1) = 0; –3x + 2y + z + 6 – 6 – 1 = 0;
–3x + 2y + z – 1 = 0; 3x – 2y – z + 1 = 0.
Ответ: 3x – 2y – z + 1 = 0.
2.2.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
является нормальным вектором искомой плоскости,
Три точки, не лежащие на одной
прямой, определяют единственную плоскость (см. рис. 12)
Пусть три точки M1(x1; y1; z1),
M2(x2; y2; z2) и M3(x3; y3; z3) не
лежат на одной прямой. Чтобы
составить уравнение плоскости,
нужно знать одну точку плоско-
49
сти и нормальный вектор. Точки, лежащие на плоскости, известны:
.
3
1
2
1
MMMMN
2
1
MM
3
1
MM
,,
3
1
2
11
MMиMMMM
.0),,(
3
1
2
11
MMMMMM
MM
1
2
1
MM
3
1
MM
0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
.0
212
111
321
;0
312313
322112
321 zyxzyx
рис. 13
M1, M2, M3. Можно взять любую. Для нахождения нормального
вектора воспользуемся определением векторного произведения
векторов. Пусть
Тогда вектор N перпендику-
лярен векторам
и
, следовательно, N α. Зная
координаты точки M1 и нормального вектора N, найдем уравнение
плоскости, применяя формулу (2.2.1).
Другим способом уравнение плоскости, проходящей через три
заданные точки, можно получить, используя условие компланарно-
сти трех векторов. Действительно,
векторы
где M(x; y; z) – произвольная точ-
ка искомой плоскости, компланарны (см.рис.13). Следовательно, их
смешанное произведение равно 0.
= {x – x1; y – y1; z – z1},
= {x2 – x1; y2 – y1; z2 – z1},
= {x3 – x1; y3 – y1; z3 – z1}.
Применив формулу вычисления смешанного произведения в
координатной форме, получим уравнение:
(2.2.3)
Оно называется уравнением плоскости по трем точкам.
Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точки M1(1; 2; 3), M2(2; 1; 2), M3(3; 3; 1).
Решение. По формуле (2.2.3) имеем
Раскрыв определитель, получим:
50
(x – 1)∙(–1)∙(–2) + (y – 2)∙(–1)∙2 + (z – 3)∙1∙1 – 2∙(–1)(z – 3) –
||||
cos
2
1
21
NN
NN
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
CBACBA
CCBBAA
2
2
;
2
1
4
2
211211
221)1(11
cos
рис. 14
– 1∙(y – 2)∙(–2) – 1∙(–1)∙(x – 1) = 0
2(x – 1) –2(y – 2) + z – 3 + 2(z – 3) + 2(y – 2) + x – 1 = 0
3x + 3z – 12 = 0 x + z – 4 = 0.
Полученная плоскость параллельна оси Oy. Ее нормальный
вектор N = {1; 0; 1}.
Ответ: x + z – 4 = 0.
2.2.4. Угол между двумя плоскостями
Две плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла,
равных попарно (см. рис. 14) Один из двугранных углов равен углу
между нормальными векторами этих плоскостей.
Пусть даны плоскости:
α
: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и
1
α
: A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
2
Их нормальные векторы имеют коорди-
наты:
N1 = {A1; B1; C1}; N2 = {A2; B2; C2}.
Из векторной алгебры известно, что
или
Пример. Найти угол между плоскостями: x – y +
x + y +
z – 3 = 0
z + 2 = 0 и
Решение: Найдем координаты нормальных векторов:
N1 = {1; –1; 2}. N2 = {1; 1; 2}. По формуле (2.2.4) имеем:
= 60º.
(2.2.4)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]