Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Ч.1. Практикум
.pdf
11
б) сонаправленные векторы;
в) противоположно направленные векторы;
г) нулевые векторы.
Задание Д4. Назовите на рисунке Д4
а) коллинеарные векторы,
б) сонаправленные векторы,
в) противоположно направленные векторы,
г) нулевой вектор.
Задание Д5. Запишите словами математические записи
||ab
,
AB CD⊥
,
cd
,
NM EF
, 0, e.
Задание Д6. Запишите словами, какие векторы изображены
на рисунке Д5:
а)
AB
и
CD
, б)
BL
и
BC
,
в)
LM
и
DA
, г)
ND
и
KN
.
Суммой двух векторов a и b называется вектор
ab+
,
который идёт из начала вектора a в конец вектора b при
условии, что вектор b приложен к концу вектора a (правило
треугольника) (рис. 6).
Рис. 6
12
Очевидно, что вектор
ab+
в этом случае представ-
ляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах
a
и b (рис. 7) (правило параллелограмма).
Рис. 7
Аналогично определяется сумма нескольких векто-
ров: если векторы
a OA=, b AB=
,…,
l KL=
образуют ло-
маную
...OAB KL
, то суммой этих векторов является вектор
OL
, замыкающий эту ломаную (рис. 8) (правило многоуголь-
ника).
Рис. 8
13
В частности, если ломаная замыкается, т.е.
OL
, то
сумма её звеньев равна нулевому вектору 0.
Разностью двух векторов a и b называется вектор
ab−
, являющийся суммой векторов a и
()b−
.
Отметим, что вектор
ab−
направлен к концу вектора
a
, если a и b приведены к общему началу (рис. 9).
Рис. 9
Операции умножения вектора на число и сложения
векторов удовлетворяют следующим свойствам:
1. Сложение векторов коммутативно (перестановочно), т.е.
для любых векторов
a
и
b
выполнено
a b b a+ = +
;
2. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых векто-
ров
a
, b
и
c
выполнено
( ) ( )ab с a b с+ + = + +
;
3. Прибавление нулевого вектора к любому вектору a не
меняет последнего:
00a a a+ = + =
;
4. Для любого вектора a вектор
( 1)a−
является противопо-
ложным,
( ) 0aa+ − =
;
5. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е. для лю-
бых действительных чисел и и любого вектора a
выполнено
( ) ( )aa
=
;
14
6. Умножение вектора на единицу не меняет этого вектора:
1 aa=
;
7. Умножение вектора на число дистрибутивно по отноше-
нию к сложению чисел, т.е. для любых действительных
чисел и и любого вектора a выполнено
()a a a
+ = +
;
8. Умножение вектора на число дистрибутивно по отноше-
нию к сложению векторов, т.е. для любых двух векторов
a
и
b
и любого действительного числа выполнено
()a b a b
+ = +
.
Применяя линейные операции, можно составлять
суммы векторов, умноженных на числа:
1 1 2 2
...
nn
a a a
+ + +
. (2)
Выражения такого вида называются линейными ком-
бинациями векторов. Числа
12
, ,...,
n
, входящие в линей-
ную комбинацию (2), называются её коэффициентами.
Перечисленные восемь свойств линейных операций
позволяют преобразовывать выражения, составленные из
линейных комбинаций, по обычным правилам алгебры:
можно раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые
и т.п.
Линейные комбинации векторов обладают следующими свойствами:
− если векторы
1
a
,
2
a
,…,
n
a
коллинеарны, то любая их
линейная комбинация (2) им коллинеарна;
15
− если векторы
1
a
,
2
a
,…,
n
a
компланарны, то любая их
линейная комбинация (2) им компланарна.
Пример. Построить вектор
32ba−
.
Решение. Для того, чтобы построить вектор
32ba−
по-
строим вектора 3b и
2a−
и сложим их по правилу паралле-
лограмма (см. рис. 10).
Рис. 10
3. Базис
Базисом на плоскости называются два неколлинеар-
ных вектора на этой плоскости, взятых в определённом порядке.
Базисом в пространстве называются три некомпла-
нарных вектора, взятых в определённом порядке.
Если вектор представлен как линейная комбинация
некоторых векторов, говорят, что он разложен по этим векторам.
16
Если векторы
1
e
,
2
e
,
3
e
– базис в пространстве и вектор
a
представлен в виде линейной комбинации
1 1 2 2 3 3
a e e e
= + +
, то числа
1
,
2
,
3
называются ко-
ординатами
2
вектора a в этом базисе. Будем обозначать ко-
ординаты вектора
1 2 3
( , , )a
=
.
Утверждение. Каждый вектор, параллельный какойлибо плоскости, может быть разложен по базису на этой
плоскости. Каждый вектор может быть разложен по базису
в пространстве. Координаты вектора при этом определяются однозначно.
Утверждение. Равные векторы имеют равные координаты. При умножении вектора на число все его координаты
умножаются на это число. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты.
Т.е. если
( ; ; )
a a a
a x y z=
и
( ; ; )
b b b
b x y z=
, то
( ; ; )
a b a b a b
a b x x y y z z =
,
( ; ; )
a a a
a x y z
=
. (3)
Пусть a и b коллинеарны. Тогда равенство (1) эк-
вивалентно равенствам
2
Координаты вектора можно определить иначе: это коорди-
наты его конца, если начало совпадает с началом координат.
Если заданы координаты начала
( , , )
A A A
A x y z
и конца
( , , )
B B B
B x y z
вектора AB, то его координаты определяются
так:
( , , )
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
.
17
ba
xx
=
,
ba
yy
=
,
ba
zz
=
или
b b b
a a a
x y z
x y z
==
, (4)
т.е. векторы a и b коллинеарны в том и только в том случае, когда их соответствующие координаты пропорциональны.
Следует заметить, что если одно или два из чисел в
знаменателях соотношения (3) окажутся равными нулю, то
такая запись становится символической, поскольку она не
утверждает деления на нуль, а свидетельствует лишь о пропорциональности координат коллинеарных векторов.
Если вектор имеет координаты
( ; ; )
a a a
a x y z=
, то его
длина равна
2 2 2
| | ( ) ( ) ( )
a a a
a x y z= + +
.
Задание 1.
Постройте на плоскости вектор n, являющийся ли-
нейной комбинацией заданных векторов (см. рис. 11),
найдите его координаты. Пример решения этого задания
разобран на стр. 17.
Замечание. Все векторы имеют целые координаты,
которые следует определять по рис. 11.
Условие коллинеарности
18
Рис. 11
№
Вектор n
№
Вектор n
1
2 2 4
1
2
n a b c= + −
2
3 4 3
22n b c d= − +
3
3 1 4
1
2
n a b d= − +
4
3 4 4
2n a b d= − +
5
4 3 3
1
2
2
n a b d= + −
6
1 1 4
2n b c d= − +
7
4 4 4
1
2
n a b d= + +
8
3 2 3
2n a b d= − + −
9
1 2 3
22n b c d= − +
10
1 2 1
1
2
n a b d= + +
11
2 3 2
1
3
n b c d= − + +
12
2 4 3
2n b c d= − +
19
13
2 1 2
12
23
n a c d= + +
14
2 3 2
2n a b d= + −
15
4 3 3
3
2
n a b d= + −
16
1 4 1
22n b c d= + −
17
2 4 1
3
2
2
n b c d= − +
18
1 1 3
2n a c d= + −
19
3 4 4
1
2
n a b d= − −
20
1 2 3
23n a b d= − +
21
1 3 4
22n b c d= − +
22
2 3 4
1
2
n a b c= + −
23
4 4 2
3
2
n a b d= − +
24
1 4 2
22n b c d= − + −
25
2 1 1
11
22
n a b d= − +
26
1 4 1
3 2 2n b c d= + −
27
3 3 4
22n a c d= − −
28
3 1 2
11
2
23
n a b d= + −
29
4 2 3
2
2
3
n b c d= + +
30
3 3 3
32n a c d= − +
31
4 1 2
11
23
n a b d= − +
32
1 1 3
2 2 3n a b d= + −
33
4 4 3
23n b c d= − − +
34
3 4 3
1
2
2
n a b c= − +
35
4 3 3
1
2
2
n a b c= − +
36
3 4 3
22n b c d= − +
37
3 1 2
2 3 2n b c d= + +
38
4 1 1
3
2
2
n a b c= + −
39
4 4 4
3
2
2
n a b c= + −
40
3 1 3
22n a c d= + −
20
41
4 4 1
1
2
2
n a b c= + −
42
1 4 4
22n a b d= − −
43
3 2 4
32n a c d= + −
44
2 4 3
1
2
n a c d= − +
45
3 2 1
1
22
2
n a b d= + +
46
4 4 3
3n a b d= + −
47
1 4 4
2n b c d= − +
48
3 2 1
1
2
2
n a c d= + −
49
2 2 1
11
22
n a b d= − +
50
2 2 3
3n b c d= − +
51
1 3 3
22n b c d= − −
52
3 2 1
1
2
n a c d= − +
53
3 3 1
1
2
2
n b c d= − +
54
3 3 4
32n a b d= − +
55
1 3 4
23n b c d= − +
56
3 2 1
1
2
2
n b c d= − + −
57
4 4 1
22n b c d= + +
58
3 2 1
1
2
2
n a b d= − + +
59
1 1 2
22n a b d= − +
60
2 3 3
3
22
2
n a b c= + −
61
2 2 4
1
32
2
n a b c= + −
62
3 1 2
22n b c d= − −
63
1 4 4
2n b a c= + +
64
4 1 4
1
2
n a b c= + +
65
3 2 4
2n a b d= + +
66
3 1 3
1
2
n a a d= + −
67
2 4 2
2n a c d= − +
68
1 4 2
1
3
n a b d= + +
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]