Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Ч.1. Практикум
.pdf
51
Пример решения задания 3.
Даны вершины пирамиды ABCD A(–5;–3;–2), B(3;0;–6),
C(1;–4;–3), D(0;0;0).
1) Доказать, что точки А, В, С, D не лежат в одной плоско-
сти.
Воспользуемся тем, что вектор не компланарны тогда и
только тогда, когда их смешанное произведение равно
нулю. Запишем координаты векторов AB, AC и AD:
(8;3; 4)AB =−
,
(6; 1; 1)AC = − −
и
(5;3;2)AD =
. Тогда
8 3 4
6 1 1 135 0.
5 3 2
AB AC AD
−
= − − = −
Значит, данные векторы не компланарны, поэтому
точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости, что и
требовалось доказать.
93.
А(5;–1;–6)
В(4;2;8)
С(4;–4;1)
D(3;2;–3)
94.
А(2;–2;8)
В(2;–6;3)
С(6;–4;4)
D(1;–7;8)
95.
А(–3;–3;–2)
В(2;–1;–4)
С(0;–1;1)
D(–2;–7;4)
96.
А(5;4;–4)
В(3;4;–3)
С(–3;–6;0)
D(–3;–2;–1)
97.
А(1;2;4)
В(1;–5;–2)
С(1;–1;3)
D(0;–4;5)
98.
А(3;3;1)
В(–2;1;6)
С(3;1;–3)
D(1;0;–6)
99.
A(–3;–2;–6)
B(0;0;0)
C(0;–6;3)
D(–2;–1;–6)
100.
A(3;1;–5)
B(–5;–5;1)
C(2;–1;–2)
D(4;2;–5)
52
2) Найдем объём пирамиды ABCD. Воспользуемся тем, что
этот объём в шесть раз меньше, чем объём параллелепи-
педа, построенного на векторах и
. А объём та-
кого параллелепипеда равен модулю смешанного произведения этих векторов. В п. 1) мы нашли смешанное произведение векторов
= – 135.
Значит, объём параллелепипеда равен 135 : 6 = 22,5.
3) Найдём площадь грани АВС пирамиды
ABCD. Для этого воспользуемся векторным произведе-
нием векторов
–7 – 16– 26
,
это площадь параллело-
грамма (по определению векторного произведения).
Тогда площадь треугольника АВС равна
4) Cоставим уравнения плоскостей, содержащих грани пи-
рамиды АВСD (см. задача 5 стр. 37).
53
7x + 16y + 26z + 135 = 0 – уравнение плоскости АВС.
2x – 4y + z = 0 – уравнение плоскости АВD.
x – 17y + 23z = 0 – уравнение плоскости АСD
8x – y + 4z = 0 – уравнение плоскости ВСD.
5) Cоставим уравнение прямой, содержащей ребро СD. Для
этого воспользуемся аналогичным выводом формулы
(6), но в пространстве. Тогда канонические уравнения
прямой, проходящей через точки (x1;y1;z1) и (x2;y2;z2),
имеют вид:
В данном случае (x1;y1;z1) и (x2;y2;z2) – это точки
С(1;–4;–3) и D(0;0;0). Получаем уравнения:
54
55
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванова А.П. Решение задач линейной алгебры в
MathCad. – М.: МГУПС (МИИТ), 2017.
2. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от Арифме-
тики до Эконометрики: учеб.-справ. пособие для бакалавров / под ред. Н.Ш.Кремера. – 3-е изд., перераб. и
доп. – М.: Изд-во Юрайт, 2012.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей матема-
тике: полный курс. 12-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2014.
56
Учебно-методическое издание
Иванова Александра Петровна
Родина Елена Викторовна
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
ЧАСТЬ 1
Практикум
для студентов института ИПСС
Изд. № 7-20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]