Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов. Учебное пособие
.pdf
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
Xx
x
f
X
f
x
f
NX
x
f
x
Глава 3. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Функция одного аргумента
Пусть X и Y – множества вещественных чисел.
каждому значению
ное значение Yy
функция f. Символически это записывается так: )(
. При этом x называется аргументом или независимой
Y
:
ставится в соответствие одно определен-
, то говорят, что на множестве X определена
y или
переменной, X – областью определения функции f; Yy или
называется значением функции f при аргументе x или
Y
)(
в точке x, Y – множеством значений.
Часто областью определения функции является промежуток
числовой оси между точками a и b. В качестве значений a и b могут
быть
открытый промежуток (интервал)
. Это может быть замкнутый промежуток (отрезок)
, полузамкнутые или полу-
),( ba
],[ ba
открытые промежутки ),[ ba или ],( ba .
Если областью определения функции является множество всех
натуральных чисел, т. е.
, то такая функция
},,,2,1{
n
называется последовательностью. Она записывается обычно так:
n
, где n = 1, 2,…, или
)(nfy
.
y
1}{nn
Функция одного аргумента наиболее часто задается одним из
следующих трех способов: аналитическим, табличным и графическим.
1. Аналитическое задание и представление функции. Под аналитическими операциями или действиями будем понимать арифметические действия, возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование и некоторые другие.
Будем говорить, что функция
y
задана или представ-
)(
лена явным аналитическим способом, если дана формула, указы-
вающая, какие аналитические операции надо произвести над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции.
Часто функцию задают неявным аналитическим способом,
т. е. с помощью уравнения
F
, связывающего произволь-
y
0),(
,
61
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
x
f
x
f
xfx
x
f
x
f
t
x
f
t
R
x
R
R
ное значение аргумента с соответствующим значением функции с
помощью аналитических операций.
2. Табличное задание функции. В этом случае функция пред-
ставлена таблицей, содержащей конечное множество значений аргумента и соответствующих значений функции.
y
x
1
x
2
x
n
)(
y
1
y
2
y
n
3. Графическое задание функции. Будем говорить, что функ-
y задана графически, если представлена кривая, назы-
ция )(
ваемая графиком функции, координатами точек которой являются
пары соответствующих значений аргумента и функции, т. е.
(рис. 3.1).
))(,(
y
y
y
y
y
O x
О
Рис. 3.1
)(
x
x
4. Параметрическое задание функции. Говорят, что функция
y задана в параметрической форме, если она задается урав-
)(
нениями
62
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
ta
x
f
t
R
x
R
R
,)(tytx
,)(
где t – вспомогательная переменная (параметр) и b
Пример 1. Пусть функция
y
задана в параметрической
)(
.
форме уравнениями
,cos
tRx
.0и0,sin
tRtRy
Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим, в результате
получим неявное представление рассматриваемой функции
222
Ryx
.
Решая последнее уравнение относительно y и учитывая, что
y при
0sin
, найдем явное задание этой функции
t0
.22xRy
Построим график этой функции (верхняя полуокружность ок-
ружности радиуса R, рис. 3.2).
y
22
xRy
O
Рис. 3.2
63
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
X
f
X
x
x
f
x
f
X
X
y
–
– – –
X
x
–
–
X
X
x
gf
Xx
Z
gf
Определение 2 (обратной функции).
Пусть
ет одно определенное значение
. Если каждому значению Yy
Y
:
самым определена функция )(
к функции
y
. Для обратной функции
)(
такое, что
1
yfx , обратная по отношению
1
f
соответству-
, то тем
y
)(
множество Y явля-
ется областью определения, а множество X – множеством значений.
1
Пара функций f и
Пример 2. 1. Рассмотрим функцию
ления ),(
ее обратную функцию, для этого решим уравнение
тельно переменной x, в результате получим
f называются взаимно обратными.
3
xy , ее область опреде-
, а множество значений ),(
Y . Найдем
3
3
xy относи-
yx . Если записать
обратную функцию в «привычных» обозначениях, т. е. ее аргумент
обозначить через x, а ее значение – через y, то получим функцию
3
xy с областью определения ),(
ний
.
),( Y
y
4
xy
3
= x
и множеством значе-
Построим графи-
ки функций
3
yx и
3
xy в од-
3
xy ,
ной и той же декарто-
2
- 4 - 2 2 4
- 2
3
вой системе координат
xOy (рис. 3.3). Тогда
xy
графики функций
3
xy и
x
дут, а графики функций
3
и
xy
метричны относитель-
3
yx совпа-
3
сим-
xy
но биссектрисы первого и третьего коорди-
- 4
3
yx
Рис. 3.3
натных углов.
64
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
X
x
–1–
X
X
x
g
f
Xx
Z
g
f
2. Функция
xy
и множеством значений
ждому значению
и
2
(рис. 3.4).
yx
Yy
1
- 2 - 1 1 2
2
2
с областью определения
не имеет обратной, так как ка-
Y
);0[
соответствуют два значения yx
4
y
2
xy
3
y
2
1
yx
yx
O
Рис. 3.4
2
),(
1
2
Однако функция
и множеством значений );0[
которой
и
);0[
xy с областью определения );0[
Y имеет обратную xy , для
Y
.
);0[
Определение 3 (сложной функции или функции от функции).
Пусть функция
на на множестве
z
X, причем все ее зна-
чения содержатся в множестве
Пусть, далее, на множестве
на функция
y
.
)(
z
определе-
)(
Z.
Z зада-
Тогда каждому значению
соответствует одно определенное
z
значение
, которому в свою оче-
редь соответствует одно определенное
значение
y (рис. 3.5). Такая функция
65
z
g
f
x
F
Рис. 3.5
y
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
xgf
x
xxg
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
x
n
x
xxx
n
x
xx
x
y
x
y
Fy называется сложной функцией или функцией от
функции
.
Функция
))(()(
f называется внешней функцией, а функция g –
внутренней.
Операция получения функции от функции называется
позицией
функций g и f .
Можно нарисовать следующую диаграмму (см. рис. 3.5).
супер-
Пример 3. Рассмотрим сложную функцию
2
. Она устроена следующим образом.
)(sin x
2
Ее внешняя функция
)( zzfy есть степенная (квадратич-
2
sin)( xxFy
ная) функция, а внутренняя – тригонометрическая функция синус
z si
)(
:
22
xxxx
.sin)(sinsin
Определение 4 (монотонных и строго монотонных функций).
Пусть функция
1.
Функция )(
на отрезке
щей)
xx , справедливо неравенство
21
y
y
],[
ba
, если для любых ],[,
определена на отрезке
)(
.
],[
ba
называется возрастающей (неубываю-
baxx
.))()(((
таких, что
21
)()(
xfxf
21
xfxf
21
Функция
2.
на отрезке
щей)
xx , справедливо неравенство
21
y
ba
называется убывающей (невозрастаю-
)(
, если для любых ],[,
],[
)()(
xfxf .))()(((
21
21
xfxf
baxx
таких, что
21
Функция
3.
y
называется монотонной на отрезке
)(
],[ ba , если она неубывающая или невозрастающая на нем. Функция
y
называется строго монотонной на отрезке
)(
, если она
],[ ba
убывающая или возрастающая на нем.
66
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
x
x
n
x
x
x
x
n
x
x
x
x
y
x
y
§ 2. Элементарные функции
Определение 1. Основными элементарными функциями
ваются следующие функции.
Степенная функция
1.
Показательная функция
2.
3.
Логарифмическая функция xy
0
4.
Тригонометрические функции
.
.
a
xy , где a – вещественное число.
x
, где
ay
log
, где 0a , 1a ,
a
,
y si
y cos
y ctg .
5.
Обратные тригонометрические функции
y arccos ,
y arctg
,
y arcctg
.
Приведем графики этих функций.
a
xy , на рис. 3.6 приведены графики степенной функции
1
a , 2
a и 3
a .
при
1.
a , 1
3
3
2
xy
xy
4
назы-
,
0a
,
y tg ,
y arcsi
,
1a
,
2
- 4 - 2 2 4
–2–4
3
xy
3
xy
- 2
- 4
–2
–4
O
Рис. 3.6
67
3
xy
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
x
y
x
x
x
xyx
y
x
x
n
x
x
x
x
y
x
x
y
x
y
2.
ay
x
, где
,
0a
,
1a
. На рис. 3.7 приведе-
ны графики показательной функции для значений
и
.
1 ea
7
xey
6
5
4
3
2
1
x
ey
1
ea
1
O
- 2 - 1 1 2
–1 –2
Рис. 3.7
3.
, где
xy
log
a
,
0a
,
1a
0
.
Геометрическое определение
числа e и натурального логарифма
Среди логарифмических функций с основаниями
ся одна, у которой касательная к графику функции
в точке
наклонена к оси абсцисс под углом
1
(рис. 3.8). Осно-
имеет-
1a
log
xy
a
4
вание этой функции обозначают буквой
новании называется
Число
e является иррациональным числом и изображается
натуральным и обозначается символам
e. Логарифм при таком ос-
ln .
бесконечной десятичной непериодической дробью.
68
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
y
x
y
x
x
n
x
x
x
y
x
x
y
x
y
На рис. 3.8 приведены графики логарифмической функции для
1
значений 1
ea и
.
1
ea
y
O
1
Касательная
45
Рис. 3.8
4. Графики тригонометрических функций
y tg , xy ctg
представлены на рис. 3.9–3.12.
y
1
O
2
1
1
ln
xy
log
1
e
y si
,
y cos ,
sin
2
Рис. 3.9
1
2
O
1
Рис. 3.10
cos
2
69
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
x
x
x
x
n
x
xx
x
y
x
yxy
x
y
y
O
y tg
2
Рис. 3.11
2
y
y ctg
O
2
2
3
2
2
Рис. 3.12
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]