Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов. Учебное пособие
.pdf
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
ния, стоящие в скобках, до полного квадрата, используя бином
Ньютона ,)(2
эффициентов в слагаемых, содержащих переменные
222
bababa сохраняя значения числовых ко-
x и y, в резуль-
тате получим
222222
032)222(3)332(
yyxx
или
222
yx
.4)2()3(
Сравнивая полученное уравнение с каноническим уравнением
окружности (2), находим центр окружности
2.
Найдем координаты фокуса параболы
это уравнение с каноническим уравнением параболы ,2
p
которой координаты фокуса
p
p , 12
42
3.
Найдем координаты левого фокуса гиперболы
и
1;0
F .
п
F
п
, последовательно получаем:
;0
2
.
)2;3(0M
. Сравнивая
yx 42
2
pyx для
22
yx
3664
2
2
y
Для гиперболы с каноническим уравнением
cF
кус имеет координаты )0;(
2
a
64
и
2
и
36
b
г1
находим левый фокус гиперболы
4.
Составим уравнение прямой
данные точки
1;0
F и )0;10(
п
F :
, где .22bac В нашей задаче
22
F
г1
l , проходящей через две за-
1
г1
x
2
b
a
. Таким образом,
103664
bac
.
)0;10(
1
2
левый фо-
xy
,
1
10
yy
г1
yy
г1п
xx
г1
xx
г1п
0
и
010
1
10
xy
.1
Найдем уравнение прямой
5.
)2;3(0M параллельно прямой .1
1
l , проходящей через точку
2
1
:
xyl Уравнение прямой 2l
10
будем искать в виде пучка прямых
.1
31
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
x
y
Так как прямая
фициенты равны:
l параллельна прямой 1l , то их угловые коэф-
2
1
kk . Таким образом, уравнение прямой 2l
12
10
или .)3(2
)(
xxkyy
020
xky
2
имеет вид
Ответ.
1
2 xy или .
)3(
10
17
1
:
2
10
xyl
10
.
10
1
17
xy
10
§ 5. Преобразование декартовых координат.
Параллельный перенос осей
Рассмотрим на плоскости декартову систему координат ,
в которой произвольная точка М имеет координаты (х,
у) (рис. 1.16).
y
y
y
1
M
y
1
),( yx
),(11yx
xx
1
yy
1
Oy
O
O
1
Рис. 1.16
x
1
x
x
1
x
Произведем параллельный перенос исходной системы коор-
динат хОу в точку с координатами
координат
yOx с началом координат ),(
111
, получим новую систему
),(
O . При таком преоб-
1
разовании предполагается, что меняется только начало координат,
а направление осей и масштаб остаются неизменными.
Тогда точка М, имеющая координаты (х, у) в старой системе
координат хОу, имеет другие координаты ),(
32
yx в новой системе
11
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
xOy
yOx . Из рисунка видно, что старые и новые координаты точки М
111
связаны следующим образом:
,
,
хх
1
уу
1
или
хх
1
1
(1)
.
уу
Эти формулы называются формулами преобразования координат при параллельном переносе осей.
§ 6. Уравнения эллипса и гиперболы со смещенными
центрами и параболы со смещенной вершиной
при параллельном переносе осей
Системы координат, которые мы использовали в § 4 для вывода канонических уравнений эллипса (4), гиперболы (7) и параболы (11), будем также называть каноническими.
1. Уравнение эллипса со смещенным центром
Рассмотрим на плоскости декартову систему координат
и произвольный эллипс с центром ),(
O и осями, параллельными
1
осям координат (рис. 1.17).
y
y
1
b
F
1
a
O
F
2
a
1
x
1
b
O
Рис. 1.17
x
На рисунке фокальная ось
FF параллельна оси Ox и эллипс
21
имеет полуоси a и b. Введем новую (каноническую) систему коор-
33
x
xx
динат
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
yOx с центром ),(1O , которая получена параллельным
111
переносом осей.
В новой системе
yOx получаем каноническое уравнение эл-
111
липса (см. § 4)
2
2
у
х
1
1
2
b
а
.1
2
Подставляя сюда формулы (1) § 5 преобразования координат
при параллельном переносе, получим искомое уравнение эллипса
со смещенным центром
),(
2
х
2
а
2
)()(
у
2
b
.1
2. Уравнение гиперболы со смещенным центром
Рассмотрим на плоскости декартову систему координат
и гиперболу с центром ),(
O и осями, параллельными осям ко-
1
Oy
ординат (рис. 1.18).
y
y
1
F
1
O
Рис. 1.18
b
a
O
1
b
F
2
a
x
1
x
На рисунке фокальная ось
параллельна оси Ох, и гипер-
FF
21
бола имеет вещественную a и мнимую b полуоси. Введем новую
(каноническую) систему координат
yOx с центром ),,(
111
O ко-
1
торая получена параллельным переносом осей.
В новой системе
yOx получаем каноническое уравнение ги-
111
перболы (см. § 4)
34
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
а
2
2
у
х
1
1
2
b
(1)
.1
2
Подставляя сюда формулы (1) § 5 преобразования координат
при параллельном переносе, получим искомое уравнение гиперболы со смещенным центром ),(
2
х
2
а
2
)()(
у
2
b
(2)
.1
3. Уравнение параболы со смещенной вершиной
Рассмотрим на плоскости декартову систему координат xOy
и параболу с вершиной в точке
O
1
метрии, параллельной оси абсцисс
, параметром р и осью сим-
),(
(рис. 1.19).
Ox
y
y
1
F
O
1
p
2
x
1
O
Рис. 1.19
x
На рисунке фокальная ось FO
параллельна оси
1
новую (каноническую) систему координат
),(
O , которая получена параллельным переносом осей.
1
В новой системе
yOx получаем каноническое уравнение па-
111
yOx с центром
O
111
. Введем
раболы (см. § 4)
2
1
pxy
1
.2
35
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
Подставляя сюда формулы (1) § 5 преобразования координат
при параллельном переносе, получим искомое уравнение параболы
со смещенной вершиной ),(
Задача. Привести уравнение 0391263
2
xpy
.)(2)(
22
yxyx к ка-
ноническому виду. Построить кривую, соответствующую этому
уравнению.
Решение
1. Вначале сгруппируем члены уравнения, содержащие пере-
менные x и y, получим 039)4(3)6(
22
yyxx . Затем до-
полним выражения, стоящие в скобках, до полного квадрата, используя бином Ньютона
222
, сохраняя значения
)(2 bababa
числовых коэффициентов в слагаемых, содержащих переменные x
и y, в результате получим
222222
03923)222(33)332(
yyxx
или
22
.36)2(3)3(
yx
Разделив обе части последнего уравнения на 36, получим
уравнение гиперболы со смещенным центром
2
)3(
ух
2
6
2
)2(
)32(
.1
2
Сравнивая его с уравнением (2), находим
чения вещественной и мнимой полуосей гиперболы
и
32b .
, 2
3
и зна-
a
6
Для построения гиперболы введем новую (каноническую) систему координат
yOx с центром )2;3(1O , которая получена па-
111
раллельным переносом осей (рис. 1.20). Старые и новые координаты одной и той же точки М связаны следующим образом (см. § 5):
36
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
1
1
В новой системе
перболы (см. § 4)
,3
xхх
или
,2
yуу
yOx получаем каноническое уравнение ги-
111
2
1
2
2
ух
1
2
)32(6
.1
,3
хх
1
уу
1
.2
y
1
y
4
2
x
x
1
-
–10
10
-
–5
O
5
O
–2
-
2
-
4
–4
–6
-
6
Рис. 1.20
3
1
5
Построение гиперболы в канонической системе координат
начинают с построения характеристического прямоугольни-
yOx
111
ка гиперболы, стороны которого лежат на прямых 6
и
,
321y
.
321y
x , 61x
1
Диагонали прямоугольника являются асимптотами гиперболы,
которые имеют следующие уравнения:
3
и
xy
11
3
3
.
xy
11
3
37
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
A
A
A
A
A
AB~
AB~
AAAAA
Глава 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Векторы
1. Направленные отрезки или геометрические векторы
Геометрическим вектором называется направленный отрезок
прямой. Такой направленный отрезок изображают символом
B
и обычно изображают как стрелку (рис. 2.1).
B
B
Конечная
точка
Первая из двух точек А
называется началом направленного отрезка, вторая В –
его концом. Расстояние между точками А и В называется
длиной или модулем направ-
A
Начальная
точка
Рис. 2.1
ленного отрезка
отрезка
чать через
B будем обозна-
B . Модуль
.
|| AB
Геометрический вектор называется нулевым вектором, если
его начало и конец совпадают. Нулевой вектор будем обозначать
символом
, его длина
O
, и он не имеет направления.
0|| O
Геометрические векторы также называют связанными векто-
рами.
Определение 1. Векторы называются коллинеарными, если они
лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Определение 2. Говорят, что два направленных отрезка
находятся в отношении « ~ » и пишут
и
CD
, если они
CD
B
коллинеарные, имеют одинаковую длину и одинаковое направление, хотя, возможно, разные начала.
Это отношение называют отношением эквивалентности. Ес-
ли
, то будем говорить, что эти два направленных отрезка
CD
эквивалентны [11].
38
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
A
A
A
A
На рис. 2.2 изображены
пять эквивалентных друг другу
векторов (они коллинеарные,
имеют одинаковые длины
и направления) и два пунктирных отрезка, один из которых
имеет иную длину, второй –
другое направление.
Рис. 2.2
2. Векторы или свободные векторы
B
Рассмотрим направленный отрезок
a множество всех направленных отрезков, эквивалентных
и обозначим символом
B . Это
множество называют классом эквивалентности, отвечающим на-
правленному отрезку
B .
Определение 3. Класс эквивалентности, т. е. определенное
множество направленных отрезков, называется вектором или сво-
бодным вектором.
В отличие от свободного вектора связанный вектор является
просто направленным отрезком.
Конечно, свободные векторы тоже можно изображать в виде
направленных отрезков или стрелок, помня, что выбор начала вектора не имеет значения.
Если
a – вектор, а AB – любой направленный отрезок, при-
надлежащий
[11].
a
Длина вектора
, то говорят, что
a
(ее обозначим символом
a
бого направленного отрезка, представляющего вектор
B представляет или определяет
) – это длина лю-
|| a
a .
§ 2. Линейные операции над векторами
Линейными операциями над векторами являются операции
сложения и умножения на вещественное число.
1. Сложение векторов
Определение 1. Сумма
ределена с помощью одного из двух эквивалентных правил:
векторов
ba
и b может быть оп-
a
39
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
C
A
C
A
xyz
z
1. Правило треугольника: совместим начало вектора
цом вектора
a ; тогда сумма ba представляет собой вектор, на-
правленный из начала вектора
в конец вектора
a
(рис. 2.3).
b
с кон-
b
Замечание.Правило треугольника распространяется на сумму
любого конечного числа векторов. Чтобы получить сумму векторов
aaa
, следует совместить начало 2a с концом 1a , начало
21
с концом
a
3
вектор суммы
называется правилом многоугольника.
n
,…, начало
a
2
21
с концом
a
n
из начала
aaa
n
a
в конец
a
1
и затем направить
1n
. Это правило
a
n
2. Правило параллелограмма: приведем векторы a и b к еди-
ному началу и построим на них как на сторонах параллелограмм; сумма
является диагональю параллелограмма, исхо-
ba
дящей из общего начала (рис. 2.4).
B
b
a
D
b
C
ba
ba
A
a
B
Рис. 2.3
Рис. 2.4
2. Умножение вектора на число (скаляр)
0
A
|
A
B
A
|
|
B
a
Рис. 2.5
|
a
B
Определение 2. Произведением вектора
вается вектор
вектору
же, как вектор
, и противоположно векто-
0
, если
ру
a
a на число λ назы-
a , коллинеарный
и направленный так
a
(рис. 2.5), если
a
. Если
0
a – нулевой вектор.
, то
0
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]