Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов. Учебное пособие
.pdf
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
y
xfy
x
f
x
f
x
X
x
x
f
x
f
x
f
)(
A
22
2
A
2
A
1
1
A
11
1
2
x
x
10
Рис. 3.21
0
x
20
Определение 5. Пусть функция
y
определена на мно-
)(
жестве вещественных чисел X.
Число А называется пределом функции
ленной точке (при
положительного числа
зависящее от
равенству
, что во всех точках
Nx
), если для любого сколь угодно малого
найдется такое положительное число N,
выполняется неравенство
и удовлетворяющих не-
в бесконечно уда-
)(
.)(
Axf
Если число А есть предел функции
ной точке, то пишут Axf
x
)(lim или .)( Axf
в бесконечно удален-
)(
x
Приведем геометрическую трактовку определения 5. Число А
будет пределом функции
в бесконечно удаленной точке, если
)(
можно осуществить следующие построения (рис. 3.22). Произвольно зададим положительное число
число N, что часть графика функции )(
и найдем такое положительное
y
, соответствующая
81
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
N
x
N
x
A
A
x
f
N
x
N
x
x
f
x
x
x
f
x
f
xfx
fx
gxgx
f
y
значениям
и
тальной полосы, ограниченной прямыми
, будет содержаться внутри горизон-
y и
y .
Комментируя рис. 3.22, можно сказать, что для всех точек x
оси Ox, «достаточно далеко» расположенных от начала координат,
соответствующие значения функции
как угодно мало отлича-
)(
ются от числа А.
)(xfy
A
)(xf
A
A
x
x
N
N
Рис. 3.22
Если в определении 5 неравенство
венство
них пределов
или
при
)(
пользуют обозначения
, то получим определения односторон-
x
Замечание. Для функции
в точке
, предел в смысле определения 1 не существует. При этом
x
0
или при
)(lim Axf
и
2
y
Nx заменить на нера-
, для которых ис-
)(lim Axf
(рис. 3.23).
x
, бесконечно большой
)(
1
вводятся понятие «функция стремится к бесконечности» и обозначения
)(xxxf или )(lim0xf
0
xx
.
В заключение приведем без доказательств основные свойства
предела функции в точке
1. Если функция )(
x .
0
имеет предел в точке
x , то он единст-
0
венный.
82
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
f
x
f
x
g
xgx
f
y
2. Если функция
имеет предел в точке
)(
но ограничена в этой точке.
3. Пусть две функции
торой окрестности точки
выполнено неравенство
y
и для всех точек x из этой окрестности
x
0
и
)(
y
. Тогда, если существуют два
)()(
«конечных» предела (в смысле определения 1)
Axf
)(lim
xx
0
и Bxg
)(lim
xx
0
, то .)(lim)(lim
, то она локаль-
x
0
определены в неко-
)(
xgxf
xxxx
00
x
)(lim1xfA
)(xfy
xO
2
x
Рис. 3.23
Это свойство обычно называется предельным переходом в не-
равенстве.
4. Пусть три функции )(
xfy
1
лены в некоторой окрестности точки
окрестности выполнена цепочка неравенств
Тогда, если существуют два «конечных» предела (в смысле опреде-
ления 1)
2
xx
0
31
xxxx
00
.
)(lim
Axf
, то существует третий предел
Axfxf
)(lim)(lim
Этот результат обычно называется свойством предела зажатой
функции.
xfA
)(lim
, )(2xfy
x и для всех точек x из этой
0
и
опреде-
)(3xfy
321
)()()(
xfxfxf
.
83
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
f
X
x
Mxf
X
x
x
x
f
x
f
x
g
xAx
f
xBx
g
x
x
xxBAxgx
f
x
x
xfx
g
xAx
f
xBx
g
x
x
xxxBxABAxgx
f
x
xxxBxAx
x
xBAxgxf
x
C
5. Пусть X – множество точек на числовой прямой. Точка
x
0
называется предельной точкой множества X, если любая окрестность точки
x содержит точку x, принадлежащую множеству X
0
(и, следовательно, бесконечно много точек множества X).
Если множество X содержит сколь угодно большие (по абсолютной величине) положительные (отрицательные) значения x,
)(
принадлежащие множеству X, то говорят, что
является
предельной точкой множества X.
Теорема. Пусть функция
возрастает (не убывает) на мно-
)(
жестве X, имеющем предельной точкой число a, большее всех значений
(оно может быть конечным или равным
). Если при
этом функция ограничена сверху, т. е. существует число М такое,
что выполняется неравенство
для всех ,
)(
a
то при
функция )(
имеет конечный предел.
Аналогично формулируется теорема для убывающей (невозрастающей) и ограниченной снизу функции.
§ 6. Основные теоремы о пределе функции
Теорема 1. Предел суммы нескольких функций, имеющих ко-
нечные пределы в точке
, существует и равен сумме пределов
x
0
слагаемых.
Доказательство. Ограничимся случаем двух функций, общий
случай рассматривается аналогично. Пусть
и
xx
0
В силу определения 2 § 5 функции
представление )()(
есть бесконечно малые функции в точке
. Докажем, что
)(lim
Bxg
xx
и )()(
0
и
)(
, где )(
. Тогда
x
0
.))()((lim
BAxgxf
допускают
)(
xx
0
)(lim
и )(
Axf
)).()(()()(
84
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
x
x
f
x
g
xAx
f
xBx
g
x
x
xxxBxABAxgx
f
x
xxxBxAx
x
xBAxgxf
x
C
Но функция
есть бесконечно малая в точке
)()(
в силу
x
0
первого свойства бесконечно малых (см. § 3). Отсюда в силу определения 2 § 5 следует, что BAxgxf
xx
0
))()((lim
или
xgxfxgxf
).(lim)(lim))()((lim
xxxxxx
000
Ч. и т. д.
Теорема 2. Предел произведения нескольких функций, имею-
щих конечные пределы в точке
x , существует и равен произведе-
0
нию пределов сомножителей.
Доказательство. Ограничимся случаем двух функций, общий
случай рассматривается аналогично. Пусть
)(lim
и Bxg
xx
0
В силу определения 2 § 5 функции )(
представление
есть бесконечно малые функции в точке
. Докажем, что .))()((lim
)()(
и
xx
0
и )(
, где
)()(
x . Тогда
0
xx
0
BAxgxf
допускают
)(lim
Axf
и
)(
)(
)).()()()(()()(
Обозначим выражение, стоящее в скобках, через )(
Тогда функция
.)()()()()(
конечно малая в точке
в силу первого свойства и следствий 1 и 2
x
0
, т. е.
есть бес-
)(
второго свойства бесконечно малых (см. § 3). Таким образом,
где
,)()()(
– бесконечно малая в точке
)(
x
0
Отсюда в силу определения 2 § 5 следует, что
xx
0
))()((lim
BAxgxf
или
.)(lim)(lim))()((lim
xgxfxgxf
xxxxxx
000
Ч. и т. д.
Следствие. Пусть существует конечный предел
Тогда постоянный множитель
можно выносить за знак конечно-
го предела:
xx
0
xxxxxxxx
0000
Axf
)(lim
.)(lim)(limlim)(lim
ACxfCxfCxfC
.
.
85
x
f
x
g
B
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
Axf
x
xBx
g
x
x
x
f
x
g
x
x
xx
gx
f
Теорема 3. Пусть функции
пределы Axf
xx
0
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
)(lim
и Bxg
и
)(
)(lim
xx
0
, причем 0
имеют конечные
)(
и )(
принимает значение нуль. Тогда предел частного функций
и
в точке
)(
x равен частному их пределов
0
xf
)(lim
xx
0
xx
0
xg
)(lim
lim
xf
)(
xx
xg
)(
0
A
.
B
Доказательство. Так как функции
ные пределы
xx
2 § 5 функции )(
и
)(
функции в точке
0
x
.
0
и )(
)(lim
Axf
, где
)()(
и
Рассмотрим частное функций
и
)(
, то в силу определения
Bxg
)(lim
xx
0
допускают представление
и
)(
есть бесконечно малые
)(
и
)(
имеют конеч-
)(
и преобразуем его
)(
следующим образом:
)(
xf
)(
xg
A
Введем новую функцию
жем, что
есть бесконечно малая функция в точке
)(
)(
xA
)(
xB
1
)( xAxB
x
A
B
1
)(
BxBB
1
)(
xA
xB
1
BxB
)(
A
)(
B
.)()(
xAxB
и пока-
)()(
.
x
0
Действительно, по свойствам бесконечно малых функций
(см. § 3), величина
1
есть бесконечно малая
)()(
xAxB
B
функция в точке
.
x
0
не
)(
)(
Покажем теперь, что величина
суть локально огра-
)(1xB
ниченная функция в точке
есть бесконечно малая функция в точке
(см. определение 3 § 3). Так как
x
0
, то, по определению 2 § 3,
x
0
86
)(
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
x
g
x
f
найдется такая -окрестность точки
)(Bx
неравенство
.
, в которой будет выполнено
x
0
2
Воспользуемся свойством абсолютной величины
, справедливым для любых вещественных чисел.
В результате получим, что для всех точек из
точки
baba
выполняется следующая цепочка неравенств:
x
0
)()(
BxBxB
BB
или .
22
-окрестности
1
)(
2
BxB
Из последнего неравенства следует, что функция
локально ограниченная функция в точке
(см. определение 3 § 3).
x
0
Следовательно, учитывая свойство 2 бесконечно малых (см. § 3),
получаем, что
Так как
есть бесконечно малая функция в точке
)(
)(
A
xf
)(
B
xg
)(
x
, то согласно определению 2 § 5 пре-
дела функции справедливо равенство
xf
)(lim
lim
)(
xx
xg
)(
0
xx
0
xx
0
xf
Замечание. Если предел знаменателя
, то возможны два случая.
xg
xx
0
1. Предел числителя
0)(lim
не равен нулю, т. е.
)(
Рассмотрим новую дробь, обратную исходной,
A
.
B
xg
)(lim
равен нулю, т. е.
)(
xg
, для нее вы-
)()(xf
полняются условия теоремы 3, и поэтому
xg
)(lim
xx
0
xx
0
.0
xf
)(lim
lim
xg
)(
xx
xf
)(
0
x
0
Ч. и т. д.
xx
0
суть
)(1xB
.
xf
.
0)(lim
87
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
f
x
g
x
f
x
g
xfy
x
f
x
f
x
x
f
x
Следовательно, дробь
xg
есть бесконечно малая функция
)()(xf
в точке
но большой (см. теорему § 4), получаем, что дробь
. Учитывая связь бесконечно малой функции с бесконеч-
x
0
xf
есть бес-
)()(xg
xf
конечно большая функция в точке
2. Пределы числителя
равны нулю, т. е.
и знаменателя
)(
xxxx
00
lim
, и
x
0
xgxf
0)(lim)(lim
дополнительной информации о функциях
никакого заключения о существовании и величине предела
)(
.
xx
xg
)(
0
одновременно
)(
. В этом случае, не имея
и
)(
, нельзя сделать
)(
lim
xx
0
Задача нахождения этого предела или доказательства, что он не
существует, называется задачей раскрытия неопределенности вида
Рассматриваются также задачи о раскрытии неопределенно-
стей вида
,
,
0,
0
,
1
и
0
. Некоторые из них
0
будут подробно изучены в § 8.
§ 7. Непрерывность функции
1. Непрерывность функции в точке
Определение 1. Пусть функция )(
рой окрестности точки
x и в самой точке 0x . Функция
0
называется непрерывной в точке
определена в некото-
x , если
0
y
)1(.)()(lim
xx
0
Пример 1. Можно доказать, что 5lnlnlim
xfxf
0
5
xx
(рис. 3.24).
Из (1) следует, что если функция непрерывна в точке
возможен предельный переход под знаком функции, т. е.
.)lim()()(lim
0
xfxfxf
xxxx
00
)(
xf
)(
xg
0
0
x , то
0
.
.
)(
88
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
f
x
x
f
x
5ln
xln
x
O
x
Рис. 3.24
5
Определение 2. Пусть функция
тором промежутке
. Возьмем произвольные точки x и
),( ba
y
определена на неко-
)(
x
0
из
этого промежутка. Тогда число
xxx
(2)
0
называется приращением аргумента при переходе от
x к x, а число
0
(3)
)()(
xfxfy
0
называется приращением функции в точке
приращению аргумента
.
, соответствующим
x
0
Замечания
Вместо
1.
Из (2) следует, что
2.
используют также обозначение
y
. Поэтому (3) можно перепи-
xxx
0
.
)(
xf
0
сать так:
(4)
.)()(
xfxxfy
00
Рассмотрим геометрический смысл приращения функции
3.
ограничившись для простоты возрастающей функцией
,y
y и 0
)(
(рис. 3.25).
Используя понятие приращения функции, можно видоизменить определение 1. Именно равенство (1) равносильно равенству
xfxf
xx
0
0
(5)
.0))()((lim
89
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
y
x
f
x
x
f
x
f
x
fx
f
xfy
x
fx
fx
f
xfx
f
x
f
)(xfy
)(
xxf
0
y
)(0xf
x
O
x
0
Рис. 3.25
0
x
xx
Положим
xxx
и )()(
0
. Тогда (5)
xfxxfy
00
принимает вид
.0lim
0
yx
(6)
Таким образом, мы приходим к следующему определению,
равносильному определению 1.
Определение 3. Функция
в точке
, если в этой точке 0lim
x
0
yx
y
0
называется непрерывной
)(
, т. е. если бесконечно ма-
лому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Пример 2. Докажем, что функция
2
xy непрерывна в любой
точке x.
222
xxxxxxy
.)(2)(
и находим
0
yx
y
Решение. Фиксируем x, берем произвольное
Далее, пользуясь теоремами о пределах, получаем 0lim
2
Это и означает, что функция
xy непрерывна в точке x.
2. Односторонняя непрерывность
Определение 4. Пусть функция
рой левой полуокрестности точки
y
называется непрерывной слева в точке
)(
90
y
x и в самой точке 0x . Функция
0
определена в некото-
)(
, если
x
0
:
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]