Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов. Учебное пособие
.pdf
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
f
x
f
xfy
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
xx
0
(7)
.)()(lim
xfxf
0
0
Аналогично определяется непрерывность справа.
Определение 5. Пусть функция
рой правой полуокрестности точки
y
называется непрерывной справа в точке
)(
y
и в самой точке
x
0
0
xx
0
(8)
.)()(lim
xfxf
0
Замечание. Пусть функция
окрестности точки
x и в самой точке 0x . Можно доказать, что не-
0
прерывность функции в точке
равносильна ее непрерывности
x
0
определена в некоторой
)(
в этой точке слева и справа, т. е.
0
0
xxxx
00
3. Непрерывность функции на промежутке
Определение 6. Функция
открытом промежутке
y
, если она непрерывна в каждой точ-
),( ba
называется непрерывной на
)(
ке этого промежутка.
Функция
промежутке
промежутка
y
],[ ba
и непрерывна в точке a справа и в точке b слева.
),( ba
называется непрерывной на замкнутом
)(
, если она непрерывна в каждой точке открытого
4. Точки разрыва функции
Определение 7. Пусть функция
рой окрестности точки
называется точкой разрыва функции
x
0
x и, может быть, в самой точке 0x . Точка
0
не является непрерывной в точке
Определение 8. Пусть
1. Точка разрыва
x есть точка разрыва функции
0
называется точкой разрыва первого рода,
x
0
если существуют конечные пределы
y
.
x
0
0
xx
0
определена в некото-
)(
. Функция
x
0
, если
x
0
xfxfxf
.)(lim)()(lim
0
определена в некото-
)(
, если функция
)(
)(
и
)(lim
xf
xx
0
.
)(lim
xf
0
)(
.
91
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
f
x
f
y
f
x
f
y
x
x
x
y
x
2. В противном случае, т. е. если хотя бы один из двух преде-
лов )(lim
ка
xx
x называется точкой разрыва второго рода.
0
xf
, )(lim
0
0
xx
xf
не существует или он бесконечен, точ-
0
0
Геометрическая иллюстрация точек разрыва первого рода при-
ведена на рис. 3.26.
Разность
ке
, где
x
0
1
Если скачок функции
называется скачком функции
12
и
)(lim
xfA
0
xx
0
y
2
0
xx
0
равен нулю, то точка
)(
y
.
)(lim
xfA
в точ-
)(
назы-
x
0
AA
вается точкой устранимого разрыва. Продемонстрируем это на
примере.
A
2
A
1
O
x
0
Рис. 3.26
Пример 3. Рассмотрим функцию
2
9
x
3
x
)(
xf
,3 если ,
x
3 если ,8
x
и построим график этой функции (рис. 3.27).
xfxf
Здесь 6)(lim)(lim
условие непрерывности
0303
xx
, но
xxxx
полнено.
)(xfy
x
, следовательно,
8)3(
не вы-
xfxfxf
)()(lim)(lim
00
00
0
92
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
f
y
x
x
x
y
x
В этом случае говорят, что
точка
устранимого разрыва. Если мы
«переопределим» функцию
y в точке 3
является точкой
x
3
0
)(
x следую-
0
8
6
щим образом
2
9
x
3
x
)(
xf
,3 если ,
x
,3 если ,6
x
3
O
то «новая» функция будет уже непрерывной.
Пример 4. Для функции
xf
1
arctg)( точка
разрыва первого рода (рис. 3.28), так как
1
xf
xf
arctglim)(lim
0000
xx
1
arctglim)(lim
0000
xx
Рис. 3.27
,
2
.
2
)(xfy
3
x
есть точка
0
x
0
1
arctgy
arctg
точка
1
x
x
есть точка
1
x
0
Пример 5. Для функции
2
y
O
2
3.28 Рис.
1
)(xexf
1
разрыва второго рода (рис. 3.29), так как
93
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
f
x
g
xgx
f
xgx
f
xgx
f
x
g
f
y
xgf
x
x
fy
f
f
gx
xfyygxxf
y
X
X
x
xfy
X
xfy
X
X
x
xfy
X
xfy
X
xfy
X
X
x
xx
1
1
x
exf .lim)(lim
0101
1
1
,0lim)(lim
xx
x
exf
0101
y
1
1
x
ey
1
O
1
Рис. 3.29
x
5. Простейшие теоремы о непрерывных функциях
Сформулируем без доказательства следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть функции
. Тогда в точке
x
0
,
)()(
ство
, то функция
0)(
xg
0
)()(
Теорема 2. Если функция
а функция
функция
непрерывна в точке
)(u
непрерывна в точке
))((
непрерывны и функции
x
0
. Если дополнительно выполняется неравен-
xf
)()(xg
)(
и
непрерывны в точке
)(
тоже непрерывна в точке
непрерывна в точке
u
)(
)(00xgu
, то сложная
.
x
0
)()(
.
x
0
x
0
Теорема 3. Каждая элементарная функция (см. определение 2
§ 2) непрерывна на всяком промежутке, содержащемся в ее области
определения.
Пример 6. Элементарная функция
y
arcsin
имеет область оп-
x
ределения (0,1]. Следовательно, она непрерывна на промежутке (0,1].
Теорема 4. О непрерывности обратной функции.
Если функция )(
промежутке
и промежуток
),( ba
строго монотонна и непрерывна на
, где
),( dc
c
,
d
)(a
, есть
)(b
,
,
94
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
gx
xfy
ygx
xfy
X
X
x
xfy
xfy
X
X
x
xfy
xfy
X
xfy
X
X
x
ее область значений, то обратная к ней функция )(y
рывна на промежутке
.
),( dc
Справедливость этой теоремы геометрически очевидна
(рис. 3.30), так как кривые с уравнениями
и
)(
одна и та же кривая.
y
dbf )(
)(xfy
)(ygx
caf )(
непре-
суть
)(
O
a
Рис. 3.30
b
x
В заключение приведем два важных свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке.
6. Теоремы Вейерштрасса и Больцано – Коши
Определение 9. Пусть функция
тором множестве
и пусть Xx
полняется неравенство ,)()(
наименьшим значением функции
Определение 10. Пусть функция
тором множестве
и пусть Xx
полняется неравенство ,)()(
наибольшим значением функции
Определение 11. Пусть функция
тором множестве
на множестве
для всех
. Функция
, если найдется такое положительное число M, что
справедливо неравенство
. Если для любого
1
xfxf то число )(1xf называется
1
. Если для любого
2
xfxf
то число )(2xf называется
2
определена на неко-
)(
на множестве X.
)(
определена на неко-
)(
)(
на множестве X.
определена на неко-
)(
называется ограниченной
)(
.)( Mxf
вы-
вы-
95
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
xxf
M
y
xfy
Aaf
f
xfy
y
xfy
M
f
xfyf
f
f
Пример 7. Функция
]2,0(
(можно взять 1
), ее наибольшее значение равно единице,
sin)( ограничена на промежутке
наименьшего значения не существует.
Теорема 5. Теорема Вейерштрасса.
Если функция непрерывна на замкнутом промежутке, то она
ограничена на этом промежутке и среди ее значений существуют
наименьшее и наибольшее (рис. 3.31).
)(xfy
)(
xf
2
)(
xf
1
x
b
2
O
[]
x
a
1
Рис. 3.31
x
Доказательство этой теоремы мы опускаем. Заметим, что как
требование замкнутости промежутка, так и требование непрерывности функции на нем существенны для справедливости теоремы.
Теорема 6. Теорема Больцано – Коши.
Пусть функция
определена и непрерывна на замкну-
)(
том промежутке ],[ ba и на концах этого промежутка принимает не-
равные значения
Тогда, каково бы ни было число
ществует такая точка
между a и b, что
и
)(
.)(
.)(Bbf
, лежащее между A и B, су-
Доказательство мы опускаем, но заметим, что теорема имеет
прозрачный геометрический смысл (рис. 3.32). Любая горизонтальная прямая
ресечет график функции
y , пересекающая ось Oy между точками A и B, пе-
хотя бы один раз.
)(
96
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
y
xfy
Mm
f
xfy
f
f
f
)(xfy
Bbf
)(
Aaf )(
O
a
Рис. 3.32
b
Следствие 1. Пусть функция
рывна на замкнутом промежутке
, M и m суть ее наибольшее
],[ ba
определена и непре-
)(
и наименьшее значения на этом промежутке. Тогда для любого
числа
что
такого, что ,
(рис. 3.33).
)(
существует число ],[ ba
y
такое,
)(xfy
M
O
m
a
Рис. 3.33
x
b
Следствие 2. Если функция
том промежутке
и числа
],[ ba
и
)(a
ют разные знаки, то существует точка
(рис. 3.34).
0)(
непрерывна на замкну-
)(
отличны от нуля и име-
)(b
такая, что
),( ba
97
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
y
x
f
f
f
x
x
x
xx
)(xfy
)(bf
f
0)(
O
a
)(af
Рис. 3.34
x
b
Геометрически это означает, что кривая-график непрерывной функции )(
лежащие по разные стороны относительно оси
y , соединяющая точки ))(,( a
a и ))(,( b
, обязательно пе-
Ox
b ,
ресечет ось Ox хотя бы в одной точке.
0
§ 8. Раскрытие неопределенностей вида
1. Раскрытие неопределенностей вида
Для раскрытия неопределенности вида
0
0
0
0
,
и
0
, заданной отноше-
нием многочленов, нужно в числителе и знаменателе выделить
множитель, стремящийся к нулю, и сократить на него дробь под
знаком предела.
Пример 1. Вычислить
2
xx
65
lim
x
2
2
.
4
98
Аналитическая геометрия. Векторная алгебра. Теория пределов
x
x
x
x
Решение. Так как 0)65(lim
x
2
перед нами задача о раскрытии неопределенности вида
2
xx
и 0)4(lim
2
x
x
2
0
0
, то
. Для ее
раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители.
Используя формулу
22
xxx .
)2()2(2
Так как квадратный трехчлен
x , то он раскладывается на множители
и 3
2
22
2
имеет корни
65
, получаем
bababa
)()(
1
2
x
2
.
)3)(2(65
xxxx
Следовательно,
lim
2
2
65
xx
2
4
x
lim
)3)(2(
xx
lim
xx
xxx
)2)(2(
3
x
22
x
2
1
32
22
.
4
0
Для раскрытия неопределенности вида
, содержащей ир-
0
рациональные выражения, необходимо с помощью алгебраических
преобразований избавиться от иррациональности там, где она создает неопределенность, выделить множитель, стремящийся к нулю,
и сократить на него дробь под знаком предела.
Пример 2. Вычислить
2
11
xx
lim
x
0
2
.
2
0)11(lim
Решение. Поскольку
0
xxx
и
то перед нами задача о раскрытии неопределенности вида
2
x
0
0
0
, со-
0)(lim
xx
держащая иррациональные функции.
Для ее раскрытия воспользуемся формулой
, в которой сомножители
)()( baba
)( ba
и
будем на-
)( ba
22
ba
зывать сопряженными друг другу.
,
99
Г. В. Красоленко, Н. В. Сванидзе, Г. В. Якунина
x
x
x.
x
x
x
x
Умножим и разделим выражение, стоящее под знаком преде-
ла, на сопряженное числителю выражение
2
, в ре-
11 xx
зультате получим:
lim
22
)11)(11(
xxxx
0
22
)11)((
xxxx
lim
xx
0
2
)1()1(
xx
22
)11)((
xxxx
2
xx
lim
0
lim
22
xx
xxxx
0
)11)((
)1(
xx
2
)11)(1(
xxxx
x
lim
0
x
1
1
.
2
2
xxx
)11)(1(
2. Раскрытие неопределенностей вида
Для раскрытия неопределенности вида
, заданной отно-
шением многочленов или иррациональными выражениями, необходимо выделить наивысшую степень переменной под знаком предела, и затем числитель и знаменатель дроби разделить на переменную в наивысшей степени.
Пример 3. Вычислить
2
)23)(12(
lim
x
xx
)6(
x
.
3
Решение. Исследуем, как ведут себя числитель и знаменатель
дроби, стоящей под знаком предела, при
Мы видим, что числитель стремится к
.
как
32
18)3(2 xxx
(x в третьей степени), остальными слагаемыми в числителе можно
пренебречь, так как они «растут» значительно медленнее, то есть
32
18~)23)(12( xxx при x.
Аналогично можно установить, что и знаменатель стремится
к бесконечности как x в третьей степени при
33
при
~)6( xx
, т. е.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]